Fiche de révision : Équations, Thalès et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Résolution des équations du premier degré
2. Mise en équation des problèmes
3. Équations produit nul
4. Configuration et théorème de Thalès
5. Calculs et simplification des fractions
6. Divisibilité et décomposition en facteurs premiers
7. Nombres premiers et nombres copremiers

📖 1. Résolution des équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Résoudre une équation : Trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’égalité.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on regroupe les termes en x d’un côté, les constantes de l’autre, puis on divise par le coefficient de x.

Compléments

📌 Lorsqu’un terme change de côté dans une égalité, son signe change.

• L’équation 3x − 5 = 2x + 7 a pour solution x = 12.

💡 Astuce mémo

Regrouper les x, regrouper les constantes, puis diviser.

📖 2. Mise en équation des problèmes

★ À maîtriser

• Pour mettre un problème en équation, on choisit l’inconnue, on traduit les données en deux expressions à l’aide de cette inconnue, puis on égalise ces expressions.

Compléments

• Pour le problème « un nombre augmenté de 5 est égal au double de ce nombre diminué de 3 », l’équation est x + 5 = 2x − 3 et le nombre cherché est 8.

💡 Astuce mémo

Choisir l’inconnu, écrire deux expressions, puis les égaler.

📖 3. Équations produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Une équation de la forme A × B = 0, où A et B sont des expressions littérales.

★ À maîtriser

📌 Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, donc A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

Compléments

• La règle du produit nul permet de transformer une équation de degré 2 en deux équations de degré 1 lorsque le membre de gauche est un produit de facteurs.

• L’équation (2x − 3)(x + 4) = 0 a pour solutions x = 1,5 et x = −4.

💡 Astuce mémo

Un produit nul impose A = 0 ou B = 0, pas nécessairement les deux.

📖 4. Configuration et théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Configuration de Thalès : Deux triangles semblables, emboîtés ou opposés par leur sommet en forme de papillon.

★ À maîtriser

• Dans la configuration de Thalès présentée avec les triangles AMN et ABC, les côtés correspondants vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

• Pour calculer une longueur avec le théorème de Thalès, on remplace les longueurs connues dans les rapports égaux, puis on applique un produit en croix à deux rapports.

Compléments

• Pour que les triangles de la configuration soient semblables, deux côtés doivent être parallèles.

• Pour calculer une longueur avec Thalès, il faut connaître au moins trois longueurs des deux triangles.

• Pour prouver ou réfuter un parallélisme avec Thalès, il faut calculer séparément au moins deux rapports complets, puis les comparer.

• Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles ; si ces rapports sont différents, elles ne sont pas parallèles.

💡 Astuce mémo

Deux triangles emboîtés ou en papillon, reliés par des côtés parallèles.

📖 5. Calculs et simplification des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction qui ne peut pas être simplifiée et dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

📐 Formule - La division de fractions se transforme en multiplication par l’inverse de la seconde fraction : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des fractions de même dénominateur, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

📐 Formule - Le produit de deux fractions est $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

• La fraction 6/8 se simplifie en 3/4, tandis que 2/7 est irréductible.

💡 Astuce mémo

Pour diviser, on inverse la seconde fraction ; pour multiplier, on ne l’inverse pas.

📖 6. Divisibilité et décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Un nombre est un diviseur d’un autre si ce dernier est un multiple de ce nombre ; par exemple, 4 est un diviseur de 60 puisque 60 = 4 × 15.
• Décomposition en facteurs premiers : L’expression d’un nombre comme un produit de nombres premiers, unique pour chaque nombre.

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et divisible par 9 si cette somme est divisible par 9.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 60 est $60=2^2\times3\times5$.

📖 7. Nombres premiers et nombres copremiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Deux nombres qui n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• Les nombres premiers jusqu’à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

📌 Pour montrer qu’un nombre n’est pas premier, il suffit de trouver un troisième diviseur.

📌 Pour tester si un nombre a est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers jusqu’à $\sqrt{a}$ ; si aucun ne le divise, a est premier.

• 8 et 15 sont premiers entre eux, tandis que 12 et 18 ne le sont pas car ils ont 2, 3 et 6 comme diviseurs communs en plus de 1.

💡 Astuce mémo

Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; deux nombres premiers entre eux partagent seulement le diviseur 1.