QCM : Équivalents et développements limités (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’écriture f(x)=g(x)+ox0((x−x0)n)f(x)=g(x)+o_{x_0}((x-x_0)^n) au voisinage de x0x_0 ?

Il existe une constante cc telle que f(x)=g(x)+c(x−x0)n+1f(x)=g(x)+c(x-x_0)^{n+1} près de x0x_0.
Le quotient f(x)/g(x)f(x)/g(x) tend vers zéro lorsque xx tend vers x0x_0.
Il existe une fonction ε\varepsilon tendant vers un en x0x_0 telle que f(x)=g(x)+ε(x)(x−x0)nf(x)=g(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^n.
Il existe une fonction ε\varepsilon tendant vers zéro en x0x_0 telle que f(x)=g(x)+ε(x)(x−x0)nf(x)=g(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^n.

Il existe une fonction $$\varepsilon$$ tendant vers zéro en $$x_0$$ telle que $$f(x)=g(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^n$$.

Explication

Le reste s’écrit comme le produit de (x−x0)n (x-x_0)^n par une fonction dont la limite en x0x_0 est nulle. Une fonction ε\varepsilon tendant vers un ne décrit pas un reste en petit o.

2. Lorsque deux fonctions ff et gg sont équivalentes au voisinage de x0x_0, quelle limite caractérise cette relation ?

lim⁡x→x0f(x)g(x)=0\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0
lim⁡x→x0g(x)f(x)=0\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=0
lim⁡x→x0(f(x)−g(x))=1\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=1
lim⁡x→x0f(x)g(x)=1\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

Explication

L’équivalence est définie par un quotient f(x)/g(x)f(x)/g(x) qui tend vers un. Un quotient tendant vers zéro caractérise plutôt la relation de petit o, et non l’équivalence.

3. Quelle forme générale décrit un développement limité à l’ordre nn en x0x_0 ?

Un polynôme en xx augmenté d’un reste constant non nul.
Une somme de dérivées en x0x_0 sans puissances de x−x0x-x_0.
Une fraction rationnelle en x−x0x-x_0 sans terme de reste.
Un polynôme en x−x0x-x_0 augmenté d’un reste en petit o.

Un polynôme en $$x-x_0$$ augmenté d’un reste en petit o.

Explication

Un développement limité à l’ordre nn exprime la fonction par un polynôme en x−x0x-x_0 et un reste en petit o. Un reste constant non nul ne correspond pas à cette forme.

4. Sous quelles hypothèses peut-on obtenir le développement limité de Taylor-Young d’ordre nn de ff en x0x_0 ?

Si ff est de classe Cn+1C^{n+1} au seul point x0x_0, sans condition sur un intervalle.
Si ff est de classe CnC^n sur un intervalle II et x0∈Ix_0\in I.
Si ff est continue sur II et x0x_0 est une borne extérieure à II.
Si ff est dérivable une fois sur II et x0∉Ix_0\notin I.

Si $$f$$ est de classe $$C^n$$ sur un intervalle $$I$$ et $$x_0\in I$$.

Explication

La formule de Taylor-Young à l’ordre nn s’applique lorsque ff est de classe CnC^n sur un intervalle contenant x0x_0. La seule continuité ne fournit pas les dérivées requises pour cette formule.

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Que signifie f(x)=g(x)+ox0((x−x0)n)f(x)=g(x)+o_{x_0}((x-x_0)^n) ?

Il existe une fonction ε\varepsilon tendant vers zéro en x0x_0 telle que f(x)=g(x)+ε(x)(x−x0)nf(x)=g(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^n.

Quelle limite caractérise l’équivalence asymptotique de ff et gg en x0x_0 ?

lim⁡x→x0f(x)g(x)=1\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

Que représente un développement limité de la fonction à l’ordre nn en x0x_0 ?

Un polynôme en x−x0x-x_0 augmenté d’un reste en petit o.

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