Équivalents et développements limités

📋 Plan du Cours

1. Équivalents et petit o
2. Développement limité de Taylor

📖 1. Équivalents et petit o

🔑 Notions clés & Définitions

• Petit o : Écrire $f(x)=g(x)+o_{x_0}((x-x_0)^n)$ signifie qu’il existe une fonction $\varepsilon$ au voisinage de $x_0$, de limite nulle en $x_0$, telle que $f(x)=g(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^n$.
• Équivalence asymptotique : Les fonctions $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $x_0$ lorsque $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\Longleftrightarrow f=o_{x_0}(g).$

Compléments

• Lorsque $x\to +\infty$, $\frac{x^2}{e^x}\to 0$, donc $x^2=o(e^x)$.

• Comme $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$, on a $\ln(1+x)\underset{0}{\sim}x$.

📖 2. Développement limité de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Un développement limité à l’ordre $n$ en $x_0$ exprime une fonction comme un polynôme en $x-x_0$, augmenté d’un reste en petit o.

📝 Points essentiels

📐 Formule - $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\left((x-x_0)^n\right).$

📌 Si $f$ est définie sur un intervalle $I$, de classe $C^n$ sur $I$, et si $x_0\in I$, alors son développement limité à l’ordre $n$ en $x_0$ est donné par la formule de Taylor-Young.