Fiche de révision : Espaces vectoriels et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Espaces vectoriels et propriétés
2. Sous-espaces et combinaisons linéaires
3. Sommes directes et supplémentaires
4. Familles libres et bases
5. Dimension et coordonnées
6. Sommes directes multiples
7. Applications linéaires et rang
8. Projections et symétries
9. Matrices d’applications linéaires
10. Changements de base et trace

📖 1. Espaces vectoriels et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble non vide muni d’une addition formant un groupe abélien et d’une multiplication par les scalaires réels satisfaisant la distributivité, l’associativité scalaire et l’action de 1.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace vectoriel réel, si $\lambda x=0_E$, alors $\lambda=0$ ou $x=0_E$.

Compléments

• Dans un espace vectoriel réel, on a $\lambda 0_E=0_E$, $0x=0_E$ et $(-\lambda)x=\lambda(-x)=-(\lambda x)$, en particulier $-x=(-1)x$.

📖 2. Sous-espaces et combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Partie non vide stable par addition et par multiplication par tout scalaire réel.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de v_1,…,v_n est un vecteur de la forme $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n$ avec des scalaires réels λ_1,…,λ_n.
• Sous-espace engendré : Le sous-espace engendré par v_1,…,v_n est $\mathrm{Vect}(v_1,\ldots,v_n)$, l’ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires.

📝 Points essentiels

📌 Une partie F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si $0_E\in F$ et, pour tous x,y dans F et tous scalaires λ,μ, on a $\lambda x+\mu y\in F$.

💡 Astuce mémo

Combiner → engendrer → intersecter → sommer

📖 3. Sommes directes et supplémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de sous-espaces : Pour deux sous-espaces F et G, leur somme est $F+G=\{x+y\mid x\in F,\ y\in G\}=\mathrm{Vect}(F\cup G)$, tandis que leur intersection contient les vecteurs appartenant simultanément à F et G.
• Sous-espaces supplémentaires : F et G sont supplémentaires dans E si $E=F+G$ et $F\cap G=\{0_E\}$, ce qui se note $E=F\oplus G$.

📝 Points essentiels

📌 On a $E=F\oplus G$ si et seulement si tout vecteur x de E possède une décomposition unique $x=y+z$ avec y dans F et z dans G.

💡 Astuce mémo

Intersection nulle = somme directe ; somme totale = supplémentaires

📖 4. Familles libres et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille (u_1,…,u_n) est libre si $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n=0_E$ implique $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$; sinon elle est liée.
• Famille génératrice : Une famille (u_1,…,u_n) est génératrice de E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire de u_1,…,u_n, c’est-à-dire si $E=\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_n)$.
• Base : Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice de E.

📝 Points essentiels

• Une famille contenant le vecteur nul ou deux vecteurs égaux est toujours liée, et une famille réduite à (u) est libre si et seulement si $u\ne0_E$.

💡 Astuce mémo

Libre = aucune relation nulle non triviale ; génératrice = tout vecteur est accessible

📖 5. Dimension et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension : La dimension d’un espace vectoriel de dimension finie est le nombre d’éléments commun à toutes ses bases, et la dimension de $\{0_E\}$ est définie comme égale à 0.
• Coordonnées : Si B=(b_1,…,b_n) est une base de E, tout vecteur u s’écrit de manière unique sous la forme $u=c_1b_1+\cdots+c_nb_n$; les scalaires c_1,…,c_n sont ses coordonnées dans B.

📝 Points essentiels

📌 Dans un espace de dimension n, toute famille libre de moins de n vecteurs peut être complétée en une base, et toute famille libre ou génératrice de n vecteurs est une base.

📐 Formule — Pour deux sous-espaces F et G d’un espace de dimension finie, $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$.

📖 6. Sommes directes multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe multiple : La somme $E_1+\cdots+E_k$ est directe si, pour tout i, $E_i\cap(E_1+\cdots+\widehat{E_i}+\cdots+E_k)=\{0_E\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $E_1\oplus\cdots\oplus E_k$, alors $\dim(E_1\oplus\cdots\oplus E_k)=\dim E_1+\cdots+\dim E_k$.

📌 On a $E=E_1\oplus\cdots\oplus E_k$ si et seulement si tout vecteur de E se décompose de manière unique sous la forme $x=x_1+\cdots+x_k$ avec x_i dans E_i.

Compléments

📌 Si B_i est une base de E_i, alors $E=E_1\oplus\cdots\oplus E_k$ si et seulement si la réunion $B_1\cup\cdots\cup B_k$ est une base de E.

💡 Astuce mémo

Sous-espaces → somme directe → dimension → base réunie

📖 7. Applications linéaires et rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application f:E→F est linéaire si $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ pour tous x,y et tout scalaire λ.
• Noyau et image : Le noyau de f est $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in E\mid f(x)=0_F\}$ et son image est $\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}$.

📝 Points essentiels

📌 Une application linéaire f est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(f)=\{0_E\}$, et elle est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(f)=F$.

📐 Formule — Pour une application linéaire f dont l’espace de départ est de dimension finie, le théorème du rang donne $\dim E=\dim(\mathrm{Ker}(f))+\dim(\mathrm{Im}(f))$.

💡 Astuce mémo

Noyau contrôle l’injectivité ; image contrôle la surjectivité

📖 8. Projections et symétries

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection vectorielle : Si $E=F\oplus G$ et $x=y+z$ avec y dans F et z dans G, la projection sur F parallèlement à G est l’application $p_F(x)=y$.
• Symétrie vectorielle : Dans la même décomposition $x=y+z$, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application $s_F(x)=y-z$.

★ À maîtriser

📌 La projection vérifie $p_F^2=p_F$, avec $\mathrm{Ker}(p_F)=G$ et $\mathrm{Im}(p_F)=F$, tandis que la symétrie vérifie $s_F^2=\mathrm{id}_E$.

Compléments

📐 Formule — Pour une projection et la symétrie associée, on a $s_F=2p_F-\mathrm{id}_E$.

💡 Astuce mémo

Projecteur : p²=p ; symétrie : s²=id

📖 9. Matrices d’applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice d’une application linéaire : La matrice de f dans les bases B et C est la matrice dont la j-ième colonne contient les coordonnées de f(b_j) dans la base C.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si X représente les coordonnées de x dans B, Z celles de z=f(x) dans C et A=[f]_{B,C}, alors $Z=AX$.

📐 Formule — Pour des applications composables f et h, leurs matrices vérifient $[h\circ f]_{B,D}=[h]_{C,D}[f]_{B,C}$.

Compléments

📌 Un endomorphisme u de R^n est un automorphisme si et seulement si sa matrice [u]_B est inversible, et alors $[u^{-1}]_B=([u]_B)^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Images des vecteurs de base → colonnes → produit de coordonnées

📖 10. Changements de base et trace

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : La matrice de passage $P_{B\to B'}=[\mathrm{id}_{\mathbb R^n}]_{B',B}$ contient dans ses colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B' dans l’ancienne base B.
• Trace : Pour une matrice carrée A=(a_{ij}), la trace est $\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$, c’est-à-dire la somme des coefficients diagonaux.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si X et X' sont les coordonnées d’un même vecteur dans B et B', alors $X=PX'$ et $P^{-1}=P_{B'\to B}$.

📐 Formule — Si A=[f]B et A'=[f]{B'} représentent le même endomorphisme dans deux bases, alors $A'=P^{-1}AP$; les matrices A et A' sont semblables.

📌 Deux matrices semblables ont la même trace, car $\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A)$; la trace d’un endomorphisme est donc indépendante de la base choisie.

💡 Astuce mémo

Passage de base → similitude → invariant : la trace

📊 Tableaux de synthèse

Critères des applications linéaires