Fiche de révision : Étude de fonctions (I.1)

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction et variables
2. Domaine de définition
3. Représentation et uniformité
4. Parité des fonctions
5. Croissance et décroissance
6. Périodicité des fonctions
7. Composition et décomposition
8. Limites de fonctions

📖 1. Notion de fonction et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une relation entre des variables.

★ À maîtriser

📌 Dans l’écriture $y=f(x)$, x est la variable indépendante et y est la variable dépendante, car y dépend de x.

Compléments

• Pour la fonction $y=7x+5$, on obtient y=40 lorsque x=5 et y=5 lorsque x=0.

📐 Formule — Une fonction peut dépendre de plusieurs variables, par exemple $y=x_1^2+x_2+x_1x_2$, qui donne y=57 pour x₁=7 et x₂=1.

💡 Astuce mémo

x choisit, y dépend

📖 2. Domaine de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : L’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) est définie et réelle.

★ À maîtriser

• La fonction $y=f(x)$ est définie en x₀ si le remplacement de x par x₀ dans f(x) donne un réel connu.

• Pour une fonction comportant une division par x−3, la valeur x=3 est exclue du domaine, car le dénominateur est nul.

• Pour une fonction comportant une racine carrée de x, seules les valeurs x≥0 sont admissibles dans le domaine réel.

Compléments

• La fonction $f(x)=7x+1$ est définie en x=2, car $f(2)=15$ appartient à ℝ.

💡 Astuce mémo

Expression réelle → valeur de x admissible

📖 3. Représentation et uniformité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction uniforme : Chaque valeur x₀ de son domaine correspond exactement à une valeur f(x₀).
• Fonction multiforme : Lorsqu’au moins une valeur de x correspond à plusieurs valeurs de y.

📝 Points essentiels

• La relation $y^2=x$ est multiforme, car elle donne $y=\pm\sqrt{x}$ pour une valeur positive de x.

💡 Astuce mémo

Un x → un y : uniforme ; un x → plusieurs y : multiforme

📖 4. Parité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Si, pour tout x₀ de son domaine, −x₀ appartient aussi au domaine et $f(-x₀)=f(x₀)$.
• Fonction impaire : Si, pour tout x₀ de son domaine, −x₀ appartient aussi au domaine et $f(-x₀)=-f(x₀)$.

📝 Points essentiels

• Pour tester la parité d’une fonction, on calcule f(−x), puis on compare le résultat à f(x) et à −f(x).

💡 Astuce mémo

Paire : même valeur ; impaire : valeur opposée

📖 5. Croissance et décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Si, pour tous x₁ et x₂ de son domaine, x₁<x₂ implique $f(x_1)\leq f(x_2)$.
• Fonction décroissante : Si, pour tous x₁ et x₂ de son domaine, x₁<x₂ implique $f(x_1)\geq f(x_2)$.

💡 Astuce mémo

x₁ < x₂ : comparer f(x₁) et f(x₂)

📖 6. Périodicité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : S’il existe un nombre P>0 tel que, pour tout x₀ de son domaine, x₀−P et x₀+P appartiennent au domaine et $f(x_0-P)=f(x_0)=f(x_0+P)$.
• Période : Le plus petit nombre P>0 qui vérifie la définition de la périodicité.

📝 Points essentiels

• La fonction $f(x)=\sin(x)$ est périodique de période 2π.

💡 Astuce mémo

x − P, x, x + P donnent la même valeur

📖 7. Composition et décomposition

★ À maîtriser

• Si y dépend de x et z dépend de y, alors z dépend de x par l’intermédiaire de y.

📐 Formule — Si $z=f(x)$ et $y=g(x)$, alors la composition s’écrit $z=f(g(x))=(f\circ g)(x)$.

Compléments

• Si $z=y^2-3$ et $y=7x+1$, alors $z=(7x+1)^2-3$.

• La fonction $h(x)=\sin(x^2+3)$ se décompose en l’ajout de 3 puis l’élévation au carré de x, suivis de l’application du sinus.

💡 Astuce mémo

x → g(x) → f(g(x))

📖 8. Limites de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Le comportement de f(x) lorsque la distance entre x et a devient et reste aussi petite que l’on veut.

★ À maîtriser

📌 Une limite n’a pas de sens si les valeurs de x considérées ne font pas partie du domaine de définition réel de la fonction.

• Si les limites réelles de f et de g lorsque x tend vers a existent, alors la limite de leur somme ou de leur différence est la somme ou la différence des limites.

Compléments

📌 Lorsque x tend vers +∞ ou −∞, x devient et reste aussi grand que l’on veut dans la direction considérée.

📌 Pour certaines limites en a, il faut étudier séparément la limite à droite et la limite à gauche.

💡 Astuce mémo

Approche par la gauche ou par la droite