QCM : Étude de fonctions (I.1) — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Les propriétés caractérisant la périodicité d’une fonction comprennent :

La comparaison des valeurs f(x−P)f(x-P) et f(x+P)f(x+P) sans considérer f(x)f(x)
La période correspondant au plus petit réel positif vérifiant la relation de périodicité
La fonction f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) ayant pour période 2π2\pi
La période étant définie comme le plus grand réel positif conservant les valeurs
L’existence d’un réel P>0P>0 conservant les valeurs de la fonction après translation

La période correspondant au plus petit réel positif vérifiant la relation de périodicité · La fonction $$f(x)=\sin(x)$$ ayant pour période $$2\pi$$ · L’existence d’un réel $$P>0$$ conservant les valeurs de la fonction après translation

Explication

Une fonction est périodique lorsqu’un même décalage positif conserve les valeurs de la fonction et maintient les points dans le domaine. La période désigne le plus petit décalage positif possédant cette propriété, tandis que le sinus possède une période égale à 2π2\pi.

2. Concernant l’interprétation d’une limite en un point :

La limite existe même lorsque les valeurs approchées de xx sont hors domaine.
La limite coïncide nécessairement avec la valeur f(a)f(a).
La limite décrit le comportement de f(x)f(x) près de aa.
La limite concerne le point aa sans examiner son voisinage.
La distance entre xx et aa peut devenir aussi petite que souhaité.

La limite décrit le comportement de $$f(x)$$ près de $$a$$. · La distance entre $$x$$ et $$a$$ peut devenir aussi petite que souhaité.

Explication

La limite décrit le comportement de f(x)f(x) lorsque xx s’approche de aa, sans se réduire à la valeur au point. Elle n’est définie que si les valeurs approchées de xx appartiennent au domaine réel de la fonction.

3. Concernant la composition de fonctions, quelles propositions sont exactes ?

La fonction h(x)=sin⁡(x2+3)h(x)=\sin(x^2+3) commence par appliquer le sinus à x.
Pour z=f(x)z=f(x) et y=g(x)y=g(x), on obtient z=f(g(x))z=f(g(x)).
Dans f∘gf\circ g, la fonction f est appliquée avant la fonction g.
Si z=y2−3z=y^2-3 et y=7x+1y=7x+1, alors z=(7x+1)2−3z=(7x+1)^2-3.
Si y dépend de x et z dépend de y, z dépend de x par l’intermédiaire de y.

Pour $$z=f(x)$$ et $$y=g(x)$$, on obtient $$z=f(g(x))$$. · Si $$z=y^2-3$$ et $$y=7x+1$$, alors $$z=(7x+1)^2-3$$. · Si y dépend de x et z dépend de y, z dépend de x par l’intermédiaire de y.

Explication

La dépendance en chaîne permet de relier directement z à x par l’intermédiaire de y. Dans l’écriture f∘gf\circ g, on applique d’abord g, puis f, et l’exemple numérique donne bien z=(7x+1)2−3z=(7x+1)^2-3. La décomposition de hh suit l’ordre ajout de 3, carré, puis sinus ; l’ordre inverse modifierait la fonction.

4. Une expression comporte une division par x−3x-3. Quelles réponses sont exactes concernant son domaine réel ?

La valeur x=3x=3 est exclue du domaine
La valeur x=0x=0 est exclue par principe
Le dénominateur vaut zéro lorsque x=3x=3
Toute valeur donnant un quotient réel peut appartenir au domaine
Une division par un dénominateur nul fournit un réel admissible

La valeur $$x=3$$ est exclue du domaine · Le dénominateur vaut zéro lorsque $$x=3$$ · Toute valeur donnant un quotient réel peut appartenir au domaine

Explication

La valeur x=3x=3 est exclue lorsqu’un dénominateur contient x−3x-3, car celui-ci devient nul. En revanche, un quotient réel obtenu avec un dénominateur non nul est admissible.

5. Les critères permettant de distinguer une relation uniforme d’une relation multiforme sont :

Une relation multiforme associe plusieurs valeurs de yy à au moins un xx
Une relation uniforme peut être notée y=f(x)y=f(x)
Une relation multiforme impose une valeur unique de yy pour chaque xx
Une relation uniforme associe une seule valeur de yy à chaque xx
La multiplicité des valeurs de yy caractérise l’uniformité

Une relation multiforme associe plusieurs valeurs de $$y$$ à au moins un $$x$$ · Une relation uniforme peut être notée $$y=f(x)$$ · Une relation uniforme associe une seule valeur de $$y$$ à chaque $$x$$

Explication

Une fonction uniforme associe à chaque valeur de xx exactement une valeur de yy. Une relation multiforme autorise plusieurs valeurs de yy pour un même xx, comme dans y2=xy^2=x pour x>0x>0.

6. Concernant le domaine de définition d’une fonction, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Il rassemble les valeurs admissibles de la variable xx
Une fonction est définie en x0x_0 si f(x0)f(x_0) est un réel connu
Le domaine décrit les valeurs de yy associées aux antécédents
Le domaine comprend les valeurs pour lesquelles l’expression est réelle
Il contient les valeurs de f(x)f(x) obtenues comme résultats

Il rassemble les valeurs admissibles de la variable $$x$$ · Une fonction est définie en $$x_0$$ si $$f(x_0)$$ est un réel connu · Le domaine comprend les valeurs pour lesquelles l’expression est réelle

Explication

Le domaine rassemble les valeurs de xx pour lesquelles l’expression est définie et réelle. Il ne correspond pas à l’ensemble des résultats f(x)f(x), et une fonction est définie en x0x_0 lorsque le remplacement fournit un réel connu.

7. Concernant la caractérisation d’une fonction croissante, quelles sont les propositions exactes ?

Si x1<x2x_1<x_2, alors f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2).
La croissance compare les images de deux éléments du domaine.
La fonction peut conserver la même valeur pour deux arguments distincts ordonnés.
La croissance impose une augmentation stricte de la valeur de la fonction.
Si x1<x2x_1<x_2, alors f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2).

La croissance compare les images de deux éléments du domaine. · La fonction peut conserver la même valeur pour deux arguments distincts ordonnés. · Si $$x_1<x_2$$, alors $$f(x_1)\leq f(x_2)$$.

Explication

Une fonction croissante conserve ou augmente ses valeurs lorsque les arguments augmentent. La condition s’écrit avec une inégalité large entre les images de deux arguments ordonnés.

8. Les propriétés d’une fonction impaire comprennent :

La relation f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout élément du domaine.
La conservation de la valeur de la fonction entre deux arguments opposés.
La relation f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour tout élément du domaine.
L’appartenance de −x-x au domaine lorsque x appartient au domaine.
La comparaison de f(−x)f(-x) avec −f(x)-f(x) lors du test de parité.

La relation $$f(-x)=-f(x)$$ pour tout élément du domaine. · L’appartenance de $$-x$$ au domaine lorsque x appartient au domaine. · La comparaison de $$f(-x)$$ avec $$-f(x)$$ lors du test de parité.

Explication

Une fonction impaire associe à des arguments opposés des valeurs opposées, avec un domaine contenant lui aussi ces arguments opposés. L’égalité avec f(x) correspond à une fonction paire, et non impaire.

9. Concernant la périodicité des fonctions, quelles sont les réponses exactes ?

La fonction f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) possède la période 2π2\pi.
La relation périodique s’écrit f(x−P)=f(x)=f(x+P)f(x-P)=f(x)=f(x+P).
Une fonction périodique admet un nombre P>0P>0 reproduisant ses valeurs.
La définition impose l’appartenance de x−Px-P et x+Px+P au domaine.
La période désigne le plus petit nombre positif vérifiant la périodicité.

La fonction $$f(x)=\sin(x)$$ possède la période $$2\pi$$. · La relation périodique s’écrit $$f(x-P)=f(x)=f(x+P)$$. · Une fonction périodique admet un nombre $$P>0$$ reproduisant ses valeurs. · La définition impose l’appartenance de $$x-P$$ et $$x+P$$ au domaine. · La période désigne le plus petit nombre positif vérifiant la périodicité.

Explication

Une fonction périodique reproduit ses valeurs après un déplacement positif P, les points déplacés devant appartenir au domaine. La période fondamentale est le plus petit nombre positif satisfaisant cette propriété, et le sinus possède la période 2π.

10. Concernant la parité des fonctions :

Une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour tout élément de son domaine.
Une fonction paire peut avoir un domaine qui exclut l’opposé d’un élément donné.
Le calcul de f(−x)f(-x) permet de comparer la fonction à f(x)f(x) et à −f(x)-f(x).
Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout élément de son domaine.
Une fonction impaire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout élément de son domaine.

Une fonction impaire vérifie $$f(-x)=-f(x)$$ pour tout élément de son domaine. · Le calcul de $$f(-x)$$ permet de comparer la fonction à $$f(x)$$ et à $$-f(x)$$. · Une fonction paire vérifie $$f(-x)=f(x)$$ pour tout élément de son domaine.

Explication

Une fonction paire conserve sa valeur lorsque l’on remplace x par -x, tandis qu’une fonction impaire change de signe. Le domaine doit également contenir les opposés des éléments considérés, et le calcul de f(-x) permet de distinguer les deux cas.

11. Les caractéristiques d’une relation fonctionnelle comprennent :

Une relation entre plusieurs variables mathématiques
Une variable yy dont la valeur dépend de xx
Une écriture possible sous la forme y=f(x)y=f(x)
Une variable xx appelée variable dépendante
Une valeur de xx déterminée par la valeur de yy

Une relation entre plusieurs variables mathématiques · Une variable $$y$$ dont la valeur dépend de $$x$$ · Une écriture possible sous la forme $$y=f(x)$$

Explication

Une fonction relie des variables entre elles. Dans y=f(x)y=f(x), la valeur de yy est déterminée par celle de xx, qui est donc indépendante, tandis que yy est dépendante.

12. Pour une valeur positive de xx dans la relation y2=xy^2=x, quelles propositions sont exactes ?

La relation est multiforme pour une valeur positive de xx
La relation donne y=±xy=\pm\sqrt{x}
La relation est uniforme parce qu’elle contient un carré
Deux valeurs opposées de yy peuvent correspondre au même xx
Chaque valeur positive de xx correspond à une seule valeur de yy

La relation est multiforme pour une valeur positive de $$x$$ · La relation donne $$y=\pm\sqrt{x}$$ · Deux valeurs opposées de $$y$$ peuvent correspondre au même $$x$$

Explication

Pour une valeur positive de xx, l’équation y2=xy^2=x donne y=±xy=\pm\sqrt{x}, donc deux valeurs possibles de yy. Cette relation est ainsi multiforme et non uniforme.

13. Au sujet d’une fonction décroissante, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour x1<x2x_1<x_2, on a f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2).
La décroissance compare les images lorsque les arguments appartiennent au domaine.
La relation de décroissance utilise une inégalité large entre les images.
Une fonction décroissante peut prendre la même valeur en deux points ordonnés.
Pour x1<x2x_1<x_2, on a f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2).

La décroissance compare les images lorsque les arguments appartiennent au domaine. · La relation de décroissance utilise une inégalité large entre les images. · Une fonction décroissante peut prendre la même valeur en deux points ordonnés. · Pour $$x_1<x_2$$, on a $$f(x_1)\geq f(x_2)$$.

Explication

Une fonction décroissante associe une image supérieure ou égale au premier argument lorsque celui-ci est inférieur au second. Cette relation est l’inverse de celle d’une fonction croissante et autorise aussi l’égalité des images.

14. Concernant l’ordre des opérations dans une composition de fonctions, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La relation z=f(x)z=f(x) et y=g(x)y=g(x) donne z=f(g(x))z=f(g(x))
Dans f∘gf\circ g, la fonction gg est appliquée avant la fonction ff
Pour z=y2−3z=y^2-3 et y=7x+1y=7x+1, on obtient z=7x+12−3z=7x+1^2-3
Pour z=y2−3z=y^2-3 et y=7x+1y=7x+1, on obtient z=(7x+1)2−3z=(7x+1)^2-3
Dans f∘gf\circ g, la fonction ff est appliquée avant la fonction gg

La relation $$z=f(x)$$ et $$y=g(x)$$ donne $$z=f(g(x))$$ · Dans $$f\circ g$$, la fonction $$g$$ est appliquée avant la fonction $$f$$ · Pour $$z=y^2-3$$ et $$y=7x+1$$, on obtient $$z=(7x+1)^2-3$$

Explication

Si z=f(x)z=f(x) et y=g(x)y=g(x), alors zz s’obtient en appliquant d’abord gg à xx, puis ff au résultat. Dans l’exemple donné, remplacer yy par 7x+17x+1 dans y2−3y^2-3 conduit à z=(7x+1)2−3z=(7x+1)^2-3.

15. À propos d’une fonction contenant x\sqrt{x}, quelles sont les réponses exactes ?

La condition d’admissibilité s’écrit x>0x>0
La condition d’admissibilité s’écrit x≥0x\geq 0
La valeur x=0x=0 peut appartenir au domaine réel
La racine carrée réelle impose une condition sur le signe de xx
Les valeurs négatives de xx sont exclues du domaine réel

La condition d’admissibilité s’écrit $$x\geq 0$$ · La valeur $$x=0$$ peut appartenir au domaine réel · La racine carrée réelle impose une condition sur le signe de $$x$$ · Les valeurs négatives de $$x$$ sont exclues du domaine réel

Explication

Pour que x\sqrt{x} soit réelle, il faut que x≥0x\geq 0. Les valeurs négatives ne satisfont donc pas la condition d’admissibilité dans le domaine réel.

16. Pour la relation y=7x+5y=7x+5, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La valeur de yy obtenue pour x=5x=5 est 4040
La variable xx commande le calcul de la variable yy
La relation contient une variable indépendante et une variable dépendante
La valeur y=5y=5 correspond à x=1x=1
La valeur de yy obtenue pour x=0x=0 est 00

La valeur de $$y$$ obtenue pour $$x=5$$ est $$40$$ · La variable $$x$$ commande le calcul de la variable $$y$$ · La relation contient une variable indépendante et une variable dépendante

Explication

Pour y=7x+5y=7x+5, remplacer xx par 5 donne 4040, tandis que remplacer xx par 0 donne 55. Dans une écriture fonctionnelle, xx est la variable indépendante et yy dépend de cette valeur.

17. Pour f(x)=7x+1f(x)=7x+1, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant x=2x=2 :

La valeur x=2x=2 appartient au domaine de définition
Le résultat obtenu appartient à R\mathbb{R}
Le remplacement de xx par 2 rend l’expression indéfinie
Le calcul donne f(2)=15f(2)=15
La valeur f(2)f(2) est égale à 1414

La valeur $$x=2$$ appartient au domaine de définition · Le résultat obtenu appartient à $$\mathbb{R}$$ · Le calcul donne $$f(2)=15$$

Explication

Pour f(x)=7x+1f(x)=7x+1, le remplacement de xx par 2 donne f(2)=15f(2)=15, qui est un réel. La fonction est donc définie en cette valeur.

18. Une fonction est-elle paire ou impaire selon les critères suivants ?

Une fonction paire peut avoir un domaine qui exclut systématiquement l’opposé d’un réel admis.
L’égalité f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) caractérise une fonction paire.
Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) sur un domaine symétrique par rapport à zéro.
Le test de parité consiste à calculer f(−x)f(-x) puis à effectuer les comparaisons appropriées.
Une fonction impaire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour toute valeur de son domaine.

Une fonction paire vérifie $$f(-x)=f(x)$$ sur un domaine symétrique par rapport à zéro. · Le test de parité consiste à calculer $$f(-x)$$ puis à effectuer les comparaisons appropriées.

Explication

Une fonction est impaire lorsque son domaine est symétrique par rapport à zéro et que f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). Pour tester la parité, on calcule f(−x)f(-x) puis on le compare à f(x)f(x) et à −f(x)-f(x) ; l’égalité avec f(x)f(x) caractérise une fonction paire.

19. Si ff et gg possèdent des limites réelles en aa, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La limite de f−gf-g est le quotient des limites de ff et gg.
La limite de f+gf+g est le produit des limites de ff et gg.
La limite de f−gf-g est la différence des limites de ff et gg.
L’existence des limites de ff et gg permet ces règles pour leur somme et différence.
La limite de f+gf+g est la somme des limites de ff et gg.

La limite de $$f-g$$ est la différence des limites de $$f$$ et $$g$$. · L’existence des limites de $$f$$ et $$g$$ permet ces règles pour leur somme et différence. · La limite de $$f+g$$ est la somme des limites de $$f$$ et $$g$$.

Explication

Lorsque les limites réelles de ff et gg existent en aa, la limite de leur somme est la somme des limites et celle de leur différence est la différence des limites. La multiplication ou la division exigent d’autres règles et conditions, notamment pour le dénominateur.

20. Une fonction est étudiée au voisinage d’un réel aa. Quelles propositions sont exactes ?

Les valeurs de xx étudiées doivent appartenir au domaine réel.
Une limite est envisageable lorsque le domaine contient des valeurs approchant aa.
La limite se définit à partir de valeurs de xx extérieures au domaine réel.
Une valeur interdite en aa exclut toute limite en ce point.
Des valeurs voisines de aa peuvent être étudiées si elles appartiennent au domaine.

Les valeurs de $$x$$ étudiées doivent appartenir au domaine réel. · Une limite est envisageable lorsque le domaine contient des valeurs approchant $$a$$. · Des valeurs voisines de $$a$$ peuvent être étudiées si elles appartiennent au domaine.

Explication

La limite en aa nécessite que les valeurs de xx considérées appartiennent au domaine réel de la fonction. Une valeur interdite comme x=3x=3 peut toutefois être approchée si les valeurs voisines restent dans le domaine; l’absence de définition sur tout voisinage empêche en revanche l’étude.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 11 flashcards sur Étude de fonctions (I.1).

Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ?

Une fonction est une relation entre des variables.

Définition d'une fonction

Relation entre variables avec dépendance.

Dans l'écriture y=f(x)y=f(x), quelle variable dépend de l'autre ?

La variable y dépend de la variable x.

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