QCM : Étude de fonctions (I.1) (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la notion de fonction :

Pour la fonction y=7x+5y=7x+5, on obtient y=40 lorsque x=0.
Une fonction correspond à une valeur fixe indépendante de toute variable.
Une fonction peut associer des valeurs appartenant à différents ensembles.
Une fonction établit une relation entre des variables.
Une fonction permet d’exprimer une dépendance entre des quantités variables.

Une fonction peut associer des valeurs appartenant à différents ensembles. · Une fonction établit une relation entre des variables. · Une fonction permet d’exprimer une dépendance entre des quantités variables.

Explication

Une fonction est une relation entre des variables et peut exprimer une dépendance entre différentes quantités. Elle peut associer des valeurs appartenant à différents ensembles. Pour y=7x+5y=7x+5, la valeur y=40 est obtenue lorsque x=5, et non lorsque x=0. Une fonction ne correspond donc pas par définition à une valeur fixe indépendante de toute variable.

2. Dans l’écriture y=f(x)y=f(x), quelles propositions décrivent correctement les variables ?

La variable yy est la variable dépendante.
La variable xx est déterminée par la valeur obtenue pour yy.
La variable xx est la variable indépendante.
Pour la fonction y=7x+5y=7x+5, on obtient y=40 lorsque x=0.
La variable yy est indépendante de la valeur de xx.

La variable $$y$$ est la variable dépendante. · La variable $$x$$ est la variable indépendante.

Explication

Dans y=f(x)y=f(x), xx est la variable indépendante et yy est la variable dépendante, car y dépend de x. Pour y=7x+5y=7x+5, on obtient y=40 lorsque x=5, tandis que x=0 donne y=5. Les deux variables n’exercent donc pas le même rôle dans cette écriture.

3. Une expression contenant une division par x−3x-3 admet dans son domaine réel :

La valeur x=3x=3 incluse lorsque le numérateur est nul.
La valeur x=3x=3 admissible lorsque le quotient est considéré comme indéterminé.
Les valeurs de xx pour lesquelles le dénominateur est non nul.
La valeur x=3x=3 exclue du domaine réel.
Toutes les valeurs réelles, puisque le quotient peut être simplifié.

Les valeurs de $$x$$ pour lesquelles le dénominateur est non nul. · La valeur $$x=3$$ exclue du domaine réel.

Explication

Le dénominateur x−3x-3 doit être non nul, donc x=3x=3 est exclu. Un numérateur nul ne rend pas une division par zéro définie, et une forme indéterminée ne constitue pas une valeur réelle admissible.

4. À propos du domaine réel d’une expression contenant une racine carrée de xx :

La condition d’existence impose x≤0x\leq 0.
Les valeurs négatives de xx sont admissibles dans le domaine réel.
La condition porte sur la positivité du résultat plutôt que sur celle de xx.
Les valeurs admissibles vérifient x≥0x\geq 0.
La valeur x=0x=0 appartient au domaine réel.

Les valeurs admissibles vérifient $$x\geq 0$$. · La valeur $$x=0$$ appartient au domaine réel.

Explication

Dans les réels, une racine carrée de xx exige x≥0x\geq 0. La valeur zéro appartient donc au domaine réel, tout comme les valeurs positives, tandis que les valeurs négatives en sont exclues.

5. Pour la fonction f(x)=7x+1f(x)=7x+1, quelles affirmations concernant x=2x=2 sont exactes ?

Le résultat f(2)f(2) n’est pas un nombre réel.
Le calcul donne f(2)=14f(2)=14.
On obtient f(2)=15f(2)=15.
La valeur x=2x=2 est exclue du domaine réel.
La fonction est définie en x=2x=2.

On obtient $$f(2)=15$$. · La fonction est définie en $$x=2$$.

Explication

Le calcul donne f(2)=7×2+1=15f(2)=7\times2+1=15, qui est un réel. La fonction est donc définie en x=2x=2, et cette valeur n’est pas exclue du domaine.

6. Une expression contient x\sqrt{x}. Quelles propositions décrivent correctement ses valeurs réelles admissibles ?

Son domaine réel contient la valeur x=0x=0.
Son domaine réel peut contenir des valeurs positives de xx.
La condition d’existence impose x≤0x\leq0.
Une valeur négative de xx produit une racine carrée réelle.
Le domaine réel regroupe les valeurs de yy pour lesquelles x\sqrt{x} est définie.

Son domaine réel contient la valeur $$x=0$$. · Son domaine réel peut contenir des valeurs positives de $$x$$.

Explication

La racine carrée réelle de xx existe lorsque x≥0x\geq0. Le domaine réel concerne donc les valeurs de x : il inclut zéro et peut contenir des valeurs positives, tandis qu’une valeur négative de x ne produit pas une racine carrée réelle.

7. Concernant une relation uniforme, quelles propositions sont exactes ?

La relation y2=xy^2=x est uniforme pour les valeurs positives de x.
Une relation uniforme donne y=±xy=\pm\sqrt{x} pour une valeur positive de x.
Chaque valeur du domaine correspond à une valeur de sortie.
Pour chaque x0x_0 du domaine, f(x0)f(x_0) est exactement déterminée.
Une même valeur de xx correspond à plusieurs valeurs de yy.

Chaque valeur du domaine correspond à une valeur de sortie. · Pour chaque $$x_0$$ du domaine, $$f(x_0)$$ est exactement déterminée.

Explication

Une relation uniforme associe exactement une valeur de sortie à chaque valeur d’entrée de son domaine. Pour chaque x0x_0 du domaine, f(x0)f(x_0) est donc déterminée. La relation y2=xy^2=x donne au contraire y=±xy=\pm\sqrt{x} pour une valeur positive de x, avec plusieurs valeurs de y ; elle est ainsi multiforme.

8. Parmi les propositions suivantes concernant une fonction paire, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La comparaison entre nombres opposés concerne les variations de la fonction.
Pour tout élément du domaine, son opposé appartient aussi au domaine.
La relation caractéristique s’écrit f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Les valeurs en deux nombres opposés sont égales.
La relation caractéristique s’écrit f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).

Pour tout élément du domaine, son opposé appartient aussi au domaine. · Les valeurs en deux nombres opposés sont égales. · La relation caractéristique s’écrit $$f(-x)=f(x)$$.

Explication

Une fonction paire possède un domaine symétrique et vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). L’égalité avec −f(x)-f(x) correspond à l’imparité, tandis que la parité ne définit pas le sens de variation.

9. Concernant la caractérisation d’une fonction croissante, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’ordre croissant des antécédents entraîne un ordre non décroissant des images.
Elle compare les images de deux éléments ordonnés de son domaine.
La relation de croissance autorise l’égalité entre les deux images.
Pour x1<x2x_1<x_2, on obtient f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2).
Pour x1<x2x_1<x_2, on obtient f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2).

L’ordre croissant des antécédents entraîne un ordre non décroissant des images. · Elle compare les images de deux éléments ordonnés de son domaine. · La relation de croissance autorise l’égalité entre les deux images. · Pour $$x_1<x_2$$, on obtient $$f(x_1)\leq f(x_2)$$.

Explication

Une fonction croissante vérifie, pour x1<x2x_1<x_2, l’inégalité f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2). Les images peuvent donc être égales ; l’inégalité inversée décrit la décroissance.

10. Concernant l’exemple de la fonction sinus, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La fonction f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) possède pour période fondamentale le nombre π\pi.
Le nombre 2π2\pi vérifie la condition de répétition de la fonction sinus.
Les valeurs de sin⁡(x)\sin(x) se répètent après un déplacement de 2π2\pi.
La fonction f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) est une fonction périodique.
Une période de sin⁡(x)\sin(x) vaut 2π2\pi.

Le nombre $$2\pi$$ vérifie la condition de répétition de la fonction sinus. · Les valeurs de $$\sin(x)$$ se répètent après un déplacement de $$2\pi$$. · La fonction $$f(x)=\sin(x)$$ est une fonction périodique. · Une période de $$\sin(x)$$ vaut $$2\pi$$.

Explication

La fonction sinus est périodique et sa période est 2π2\pi : ses valeurs se répètent après ce déplacement. Le nombre π\pi n’est pas sa période fondamentale, car il change le signe du sinus.

11. Une chaîne de dépendances relie les variables x, y et z. Quelles propositions sont exactes ?

La variable y devient indépendante de x dès que z dépend de y.
Une dépendance indirecte de z par rapport à x peut passer par une variable intermédiaire y.
Une relation entre z et x peut résulter de deux dépendances successives passant par y.
Si y dépend de x et z dépend de y, alors x dépend nécessairement de z par l’intermédiaire de y.
Si y dépend de x et z dépend de y, alors z dépend de x par l’intermédiaire de y.

Une dépendance indirecte de z par rapport à x peut passer par une variable intermédiaire y. · Une relation entre z et x peut résulter de deux dépendances successives passant par y. · Si y dépend de x et z dépend de y, alors z dépend de x par l’intermédiaire de y.

Explication

Lorsque y dépend de x et z dépend de y, z dépend de x indirectement par l’intermédiaire de y. La variable intermédiaire ne rend pas y indépendante de x, et la dépendance ne s’inverse pas nécessairement de z vers x.

12. Concernant l’écriture d’une composition de fonctions, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’expression f∘gf\circ g peut être remplacée par g∘fg\circ f sans modifier le résultat.
La notation f(g(x))=(f∘g)(x)f(g(x))=(f\circ g)(x) traduit la composition de f avec g.
Si z=f(x)z=f(x) et y=g(x)y=g(x), alors la composition s’écrit z=f(g(x))z=f(g(x)).
L’écriture f(g(x))f(g(x)) correspond à l’application de g avant celle de f.
Dans f∘gf\circ g, la fonction f est appliquée avant la fonction g.

La notation $$f(g(x))=(f\circ g)(x)$$ traduit la composition de f avec g. · Si $$z=f(x)$$ et $$y=g(x)$$, alors la composition s’écrit $$z=f(g(x))$$. · L’écriture $$f(g(x))$$ correspond à l’application de g avant celle de f.

Explication

La composition s’écrit f(g(x))=(f∘g)(x)f(g(x))=(f\circ g)(x) : g agit d’abord, puis f. L’ordre des fonctions est donc important, et f∘gf\circ g n’est pas interchangeable avec g∘fg\circ f.

13. Lorsque la variable x tend vers l’infini, quelles propositions sont exactes ?

Lorsque x→−∞x\to-\infty, x devient et reste positif avec une grandeur croissante.
Lorsque x→+∞x\to+\infty, x demeure borné tout en changeant de signe.
Lorsque x→+∞x\to+\infty, x devient et reste aussi grand que l’on veut.
Lorsque x→+∞x\to+\infty, x devient arbitrairement négatif dans la direction considérée.
Lorsque x→−∞x\to-\infty, x se rapproche nécessairement d’un réel fini.

Lorsque $$x\to+\infty$$, x devient et reste aussi grand que l’on veut.

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie que x devient et reste arbitrairement grand. Tendre vers −∞-\infty signifie au contraire que x devient arbitrairement négatif, et non positif ou borné.

14. Pour certaines fonctions étudiées au voisinage d’un réel a, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les limites latérales concernent les comportements de la fonction lorsque x s’éloigne de a vers l’infini.
L’étude séparée des limites à droite et à gauche peut être nécessaire au voisinage de a.
Une limite à gauche examine les valeurs de la fonction lorsque x approche a par des valeurs supérieures à a.
Une limite à droite étudie les valeurs obtenues lorsque x approche a par des valeurs supérieures à a.
Une analyse latérale distingue l’approche de a par des valeurs inférieures ou supérieures à a.

L’étude séparée des limites à droite et à gauche peut être nécessaire au voisinage de a. · Une limite à droite étudie les valeurs obtenues lorsque x approche a par des valeurs supérieures à a. · Une analyse latérale distingue l’approche de a par des valeurs inférieures ou supérieures à a.

Explication

La limite à droite correspond à une approche de a par des valeurs supérieures, tandis que la limite à gauche correspond à des valeurs inférieures. Les limites latérales étudient donc le voisinage de a, et non un comportement à l’infini.

15. Concernant l’existence d’une limite réelle en un point, quelles propositions sont exactes ?

Les valeurs de x utilisées pour une limite doivent appartenir au domaine réel de définition de la fonction.
Toute fonction possède une limite réelle en chaque point de son domaine de définition.
Une limite en a peut être étudiée avec des valeurs de x extérieures au domaine réel de la fonction.
Une limite réelle n’a pas de sens si les valeurs considérées pour x ne sont pas dans le domaine réel.
Le domaine réel n’intervient pas dans l’étude d’une limite lorsque x tend vers a.

Les valeurs de x utilisées pour une limite doivent appartenir au domaine réel de définition de la fonction. · Une limite réelle n’a pas de sens si les valeurs considérées pour x ne sont pas dans le domaine réel.

Explication

Les valeurs de x considérées doivent appartenir au domaine réel de définition ; sinon l’étude de la limite n’a pas de sens. En revanche, l’appartenance au domaine ne garantit pas l’existence d’une limite réelle en chaque point.

16. Comment reconnaître une relation multiforme parmi les relations suivantes ?

La multiplicité des valeurs de y caractérise la multiformité de la relation.
La relation cesse d’être uniforme dès qu’un x possède plusieurs images.
La relation peut fournir deux valeurs distinctes de y pour un même x.
La relation associe exactement une valeur de y à chaque valeur de x.
Une même valeur de x peut être associée à plusieurs valeurs de y.

La multiplicité des valeurs de y caractérise la multiformité de la relation. · La relation cesse d’être uniforme dès qu’un x possède plusieurs images. · La relation peut fournir deux valeurs distinctes de y pour un même x. · Une même valeur de x peut être associée à plusieurs valeurs de y.

Explication

Une relation est multiforme lorsqu’une valeur de x correspond à plusieurs valeurs de y. Une association exactement unique entre x et y caractérise au contraire une relation uniforme.

17. Pour vérifier la parité d’une fonction, quelles démarches sont exactes ?

Comparer f(−x)f(-x) avec f(x)f(x) pour rechercher une fonction paire.
Comparer f(−x)f(-x) avec −f(x)-f(x) pour rechercher une fonction impaire.
Comparer directement f(x)f(x) avec la variable opposée sans calculer f(−x)f(-x).
Calculer l’expression de f(−x)f(-x) à partir de celle de f(x)f(x).
Vérifier que les comparaisons obtenues valent pour les valeurs du domaine concernées.

Comparer $$f(-x)$$ avec $$f(x)$$ pour rechercher une fonction paire. · Comparer $$f(-x)$$ avec $$-f(x)$$ pour rechercher une fonction impaire. · Calculer l’expression de $$f(-x)$$ à partir de celle de $$f(x)$$. · Vérifier que les comparaisons obtenues valent pour les valeurs du domaine concernées.

Explication

Le test de parité consiste à calculer f(−x)f(-x), puis à le comparer à f(x)f(x) et à −f(x)-f(x). L’égalité avec f(x)f(x) caractérise la parité, tandis que l’égalité avec −f(x)-f(x) caractérise l’imparité; une simple opposition de la variable ne suffit pas.

18. Parmi les propriétés suivantes, lesquelles caractérisent une fonction impaire ?

À chaque valeur x0x_0 du domaine correspondent plusieurs valeurs de yy.
La valeur en l’opposé d’un argument est l’opposée de la valeur initiale.
La relation entre les deux valeurs repose sur une égalité avec f(x0)f(x_0).
Elle vérifie f(−x0)=−f(x0)f(-x_0)=-f(x_0) pour tout x0x_0 du domaine.
Son domaine contient avec chaque x0x_0 la valeur opposée −x0-x_0.

La valeur en l’opposé d’un argument est l’opposée de la valeur initiale. · Elle vérifie $$f(-x_0)=-f(x_0)$$ pour tout $$x_0$$ du domaine. · Son domaine contient avec chaque $$x_0$$ la valeur opposée $$-x_0$$.

Explication

Une fonction impaire doit avoir un domaine symétrique par rapport à zéro et satisfaire f(−x0)=−f(x0)f(-x_0)=-f(x_0). L’association de plusieurs valeurs de yy à un même x0x_0 décrit une relation multiforme, tandis que f(−x0)=f(x0)f(-x_0)=f(x_0) caractérise une fonction paire et que l’inégalité f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2) décrit une fonction décroissante.

19. Concernant la comparaison des images de deux nombres, quelles propositions décrivent une fonction croissante ?

La définition autorise des images égales lorsque les arguments sont distincts.
L’ordre croissant des arguments entraîne un ordre non décroissant des images.
Si x1<x2x_1<x_2, alors f(x1)≤f(x2)f(x_1)\leq f(x_2).
La condition s’applique à tous les couples d’arguments du domaine.
Deux arguments ordonnés peuvent imposer f(x1)≥f(x2)f(x_1)\geq f(x_2) pour une fonction croissante.

La définition autorise des images égales lorsque les arguments sont distincts. · L’ordre croissant des arguments entraîne un ordre non décroissant des images. · Si $$x_1<x_2$$, alors $$f(x_1)\leq f(x_2)$$. · La condition s’applique à tous les couples d’arguments du domaine.

Explication

Une fonction croissante vérifie x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2) pour tous les arguments du domaine. Les images peuvent donc être égales, mais l’inégalité inversée correspond au sens décroissant.

20. Concernant la définition d’une fonction périodique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Il existe un nombre réel P>0P>0 qui reproduit les valeurs de la fonction.
La périodicité compare les valeurs de la fonction à des abscisses séparées par PP.
La valeur vérifie f(x0−P)=f(x0)=f(x0+P)f(x_0-P)=f(x_0)=f(x_0+P) pour chaque x0x_0 admissible.
Pour tout point x0x_0 du domaine, les nombres x0−Px_0-P et x0+Px_0+P appartiennent au domaine.
La relation de périodicité impose f(x0−P)=f(x0)=f(x0+2P)f(x_0-P)=f(x_0)=f(x_0+2P) pour chaque x0x_0.

Il existe un nombre réel $$P>0$$ qui reproduit les valeurs de la fonction. · La périodicité compare les valeurs de la fonction à des abscisses séparées par $$P$$. · La valeur vérifie $$f(x_0-P)=f(x_0)=f(x_0+P)$$ pour chaque $$x_0$$ admissible. · Pour tout point $$x_0$$ du domaine, les nombres $$x_0-P$$ et $$x_0+P$$ appartiennent au domaine.

Explication

Une fonction est périodique s’il existe un réel P>0P>0 tel que, pour tout x0x_0 du domaine, x0−Px_0-P et x0+Px_0+P appartiennent au domaine et vérifient f(x0−P)=f(x0)=f(x0+P)f(x_0-P)=f(x_0)=f(x_0+P). La dernière relation remplace à tort le décalage +P+P par +2P+2P, qui n’est pas la définition demandée.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 11 flashcards sur Étude de fonctions (I.1).

Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ?

Une fonction est une relation entre des variables.

Dans l'écriture y=f(x)y=f(x), quelle variable dépend de l'autre ?

La variable y dépend de la variable x.

Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction ?

L'ensemble des valeurs de x où f(x) est définie et réelle.

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Approfondir avec la fiche

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