QCM : Étude des fonctions — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction paire sur son domaine ?

Pour tout x du domaine, -x appartient au domaine et f(-x)=-f(x).
Pour tout x du domaine, x+T appartient au domaine et f(x+T)=f(x).
Pour tout x du domaine, 2a-x appartient au domaine et f(2a-x)=f(x).
Pour tout x du domaine, -x appartient au domaine et f(-x)=f(x).

Pour tout x du domaine, -x appartient au domaine et f(-x)=f(x).

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en deux points opposés, avec un domaine symétrique par rapport à l’origine. La relation f(-x)=-f(x) caractérise au contraire une fonction impaire.

2. Une fonction vérifie, pour tout x de son domaine, que -x appartient aussi au domaine et que f(-x)=-f(x). Comment est-elle qualifiée ?

Elle est symétrique par rapport à une droite verticale.
Elle est paire.
Elle est impaire.
Elle est périodique.

Elle est impaire.

Explication

La relation entre les valeurs opposées est précisément celle d’une fonction impaire. Une fonction paire vérifierait f(-x)=f(x), tandis que la périodicité concerne une translation de l’argument.

3. Quelle relation doit être vérifiée pour qu’une fonction soit périodique de période T ?

Pour tout x du domaine, 2a-x appartient au domaine et f(2a-x)=2b-f(x).
Pour tout x du domaine, -x appartient au domaine et f(-x)=f(x).
Pour tout x du domaine, -x appartient au domaine et f(-x)=-f(x).
Pour tout x du domaine, x+T appartient au domaine et f(x+T)=f(x).

Pour tout x du domaine, x+T appartient au domaine et f(x+T)=f(x).

Explication

Une période T reproduit la même valeur après une translation de T, ce qui impose f(x+T)=f(x) lorsque x et x+T appartiennent au domaine. Les relations avec -x décrivent des propriétés de parité, et celle avec 2a-x décrit un centre de symétrie.

4. Quelle égalité caractérise la symétrie de la courbe d’une fonction par rapport à la droite x=a ?

f(-x)=-f(x), avec -x dans le domaine lorsque x y appartient.
f(x+T)=f(x), avec x+T dans le domaine lorsque x y appartient.
f(2a-x)=2b-f(x), avec 2a-x dans le domaine lorsque x y appartient.
f(2a-x)=f(x), avec 2a-x dans le domaine lorsque x y appartient.

f(2a-x)=f(x), avec 2a-x dans le domaine lorsque x y appartient.

Explication

La réflexion d’une abscisse x par rapport à x=a donne 2a-x, et la valeur de la fonction reste inchangée. La relation faisant intervenir 2b-f(x) correspond à un centre de symétrie.

5. Pour établir que le point A(a,b) est un centre de symétrie de la courbe d’une fonction, quelle condition faut-il vérifier ?

f(-x)=f(x), avec -x dans le domaine pour tout x du domaine.
f(2a-x)=f(x), avec 2a-x dans le domaine pour tout x du domaine.
f(x+T)=f(x), avec x+T dans le domaine pour tout x du domaine.
f(2a-x)=2b-f(x), avec 2a-x dans le domaine pour tout x du domaine.

f(2a-x)=2b-f(x), avec 2a-x dans le domaine pour tout x du domaine.

Explication

Une symétrie centrale autour de A(a,b) transforme la valeur f(x) en sa valeur complémentaire 2b-f(x) à l’abscisse 2a-x. L’égalité f(2a-x)=f(x) décrit plutôt une symétrie axiale de la courbe.

6. Que peut-on conclure si lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a} f(x)=\infty ?

La droite y=ax est une direction asymptotique.
La droite x=a est une asymptote verticale.
La droite y=a est une asymptote horizontale.
La droite y=ax+b est une asymptote oblique.

La droite x=a est une asymptote verticale.

Explication

Une limite infinie lorsque x tend vers le réel a indique que la courbe se rapproche de la droite verticale x=a. Une asymptote horizontale nécessiterait une limite finie lorsque x tend vers l’infini.

7. Quelle situation caractérise une asymptote horizontale d’équation y=a ?

La limite de f(x) vaut l’infini lorsque x tend vers le réel a.
La limite de f(x) vaut a lorsque x tend vers plus ou moins l’infini.
La limite de f(x)/x vaut une constante non nulle à l’infini.
La limite de f(x)-ax vaut l’infini lorsque x tend vers l’infini.

La limite de f(x) vaut a lorsque x tend vers plus ou moins l’infini.

Explication

Une asymptote horizontale y=a résulte d’une limite finie de f(x) égale à a lorsque x tend vers l’infini ou vers moins l’infini. Une limite infinie en un réel conduit plutôt à une asymptote verticale.

8. Lorsqu’une fonction tend vers l’infini et que lim⁡x→∞f(x)x=a\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a avec a non nul, quelle étape faut-il effectuer ensuite ?

Étudier la limite de f(x)+axf(x)+ax.
Calculer la limite de xf(x)\frac{x}{f(x)}.
Rechercher une période T vérifiant f(x+T)=f(x).
Étudier la limite de f(x)−axf(x)-ax.

Étudier la limite de $$f(x)-ax$$.

Explication

Lorsque le quotient f(x)/x tend vers une valeur non nulle a, il faut examiner f(x)-ax pour déterminer une éventuelle asymptote oblique ou une direction asymptotique. Le quotient inverse et l’expression avec un signe plus ne correspondent pas à la procédure indiquée.

9. Si lim⁡x→∞[f(x)−ax]=b\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]=b avec a non nul, quelle droite est une asymptote oblique à la courbe ?

La droite y=b.
La droite y=ax+b.
La droite y=ax.
La droite x=a.

La droite y=ax+b.

Explication

La différence entre f(x) et ax tendant vers b signifie que la courbe se rapproche de la droite y=ax+b. Si cette différence tendait vers l’infini, y=ax serait une direction asymptotique plutôt qu’une asymptote oblique.

10. Pour le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\neq 0, quelle expression permet de calculer directement son discriminant ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=b2−4ac\Delta=\frac{b^2-4a}{c}
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=2b−4ac\Delta=2b-4ac

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant d’un trinôme général s’écrit Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. La formule Δ′=b′2−ac\Delta'={b'}^2-ac correspond au discriminant réduit et exige que b=2b′b=2b'.

11. Que peut-on déduire d’un trinôme dont le discriminant vérifie Δ=0\Delta=0 ?

Il possède deux racines distinctes.
Il possède une racine double.
Il ne possède aucune racine réelle.
Il change de signe en deux valeurs distinctes.

Il possède une racine double.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, les deux racines éventuelles coïncident en une racine double. Deux racines distinctes correspondent au cas Δ>0\Delta>0, tandis que Δ<0\Delta<0 indique l’absence de racine réelle.

12. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction ff en un réel aa ?

lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) existe, quelle que soit la valeur de f(a)f(a)
f(a)=0f(a)=0 et lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0
ff possède une dérivée en tout point voisin de aa

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Explication

La continuité en aa exige que la limite en aa existe et soit égale à la valeur f(a)f(a). L’existence d’une limite seule ne garantit pas cette égalité.

13. Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle continue ?

Sur R\mathbb{R}, y compris en 00
Sur ]−∞,0[ ∪ ]0,+∞[]-\infty,0[\,\cup\,]0,+\infty[
Sur [0,+∞[[0,+\infty[, avec une valeur en 00
Sur ]−∞,0]]-\infty,0] et [0,+∞[[0,+\infty[ séparément

Sur $$]-\infty,0[\,\cup\,]0,+\infty[$$

Explication

La fonction inverse est continue sur chacun des intervalles où elle est définie, soit ]−∞,0[]-\infty,0[ et ]0,+∞[]0,+\infty[. Elle n’est pas définie en 00, contrairement aux fonctions polynomiales qui sont continues sur R\mathbb{R}.

14. Sur un intervalle II, quelle hypothèse permet d’assurer que 1g\frac{1}{g} et fg\frac{f}{g} sont continues lorsque ff et gg sont continues ?

g(x)≠0g(x)\neq 0 pour tout x∈Ix\in I
f(x)≠0f(x)\neq 0 pour tout x∈Ix\in I
f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour tout x∈Ix\in I
g(x)>0g(x)>0 en un point de II

$$g(x)\neq 0$$ pour tout $$x\in I$$

Explication

La non-annulation de gg sur II garantit que les expressions 1/g1/g et f/gf/g sont définies et continues sur cet intervalle. La condition portant sur ff concerne plutôt la continuité de certaines puissances à exposant entier relatif.

15. Comment construire un prolongement continu en aa lorsque ff est définie autour de aa, sauf en aa, et que lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a}f(x)=\ell avec ℓ∈R\ell\in\mathbb{R} ?

Remplacer f(x)f(x) par ℓ\ell pour tout xx de l’intervalle
Supprimer le point aa et conserver la fonction sur son domaine initial
Définir g(a)=0g(a)=0 et conserver g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs
Définir g(a)=ℓg(a)=\ell et g(x)=f(x)g(x)=f(x) pour x≠ax\neq a

Définir $$g(a)=\ell$$ et $$g(x)=f(x)$$ pour $$x\neq a$$

Explication

Attribuer à la fonction la valeur de sa limite en aa rend possible l’égalité lim⁡x→ag(x)=g(a)\lim_{x\to a}g(x)=g(a). Les autres constructions ne garantissent pas la continuité ou modifient inutilement les valeurs de la fonction.

16. Laquelle de ces expressions constitue une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

3×43\times 4
0+70+7
52\frac{5}{2}
00\frac{0}{0}

$$\frac{0}{0}$$

Explication

La forme 00\frac{0}{0} est indéterminée : elle ne permet pas de connaître directement la limite et nécessite une étude supplémentaire. Les autres expressions proposées ont une valeur déterminée par les règles usuelles des opérations.

17. Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle, quelle comparaison faut-il effectuer en priorité ?

Le quotient des termes de plus bas degré des deux polynômes
Le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur
La valeur de la fonction au point où le dénominateur s’annule
La somme des constantes du numérateur et du dénominateur

Le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur

Explication

À l’infini, une fonction rationnelle se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré. Les constantes et les éventuelles annulations du dénominateur ne déterminent pas cette limite à l’infini.

18. Si ff est définie sur II, gg sur JJ et f(I)⊂Jf(I)\subset J, comment s’écrit la composée de ff puis de gg ?

g∘fg\circ f, définie par x↦g(f(x))x\mapsto g(f(x))
f+gf+g, définie par x↦f(x)+g(x)x\mapsto f(x)+g(x)
g∘fg\circ f, définie par x↦f(g(x))x\mapsto f(g(x))
f∘gf\circ g, définie par x↦g(f(x))x\mapsto g(f(x))

$$g\circ f$$, définie par $$x\mapsto g(f(x))$$

Explication

La composée applique d’abord ff, puis gg, ce qui donne g(f(x))g(f(x)) et se note g∘fg\circ f. L’écriture f∘gf\circ g correspond à l’ordre inverse, lorsque cette composition est définie.

19. Quelles conditions permettent de conclure que g∘fg\circ f est continue en aa ?

ff et gg sont dérivables en aa, sans condition sur la valeur f(a)f(a)
gg est continue en aa, tandis que f(a)f(a) appartient au domaine de ff
ff est continue en aa, f(a)f(a) appartient au domaine de gg et gg est continue en f(a)f(a)
ff est continue en f(a)f(a) et gg est continue en g(a)g(a)

$$f$$ est continue en $$a$$, $$f(a)$$ appartient au domaine de $$g$$ et $$g$$ est continue en $$f(a)$$

Explication

La continuité de la composée repose sur la continuité de ff en aa, l’appartenance de f(a)f(a) au domaine de gg et la continuité de gg en ce point. La continuité de gg doit donc être vérifiée en f(a)f(a), et non simplement en aa.

20. Près de aa, on sait que u(x)≤f(x)≤v(x)u(x)\le f(x)\le v(x) et que u(x)→lu(x)\to l ainsi que v(x)→lv(x)\to l. Quelle conclusion est justifiée ?

f(x)→u(x)f(x)\to u(x) puisque uu est la borne inférieure
La limite de ff reste indéterminée malgré les deux encadrements
f(x)→lf(x)\to l par le théorème des gendarmes
f(x)→0f(x)\to 0 parce que ff est encadrée

$$f(x)\to l$$ par le théorème des gendarmes

Explication

Deux fonctions qui encadrent ff et tendent vers la même limite ll imposent à ff de tendre vers ll. Le simple fait d’être encadrée ne force pas une limite nulle ni une égalité avec une borne.

21. Si ff est continue sur [a,b][a,b] et si kk est compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), quelle affirmation est garantie ?

La valeur kk est nécessairement atteinte en aa ou en bb
Il n’existe un tel cc que si ff est strictement monotone
Il existe au moins un c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=kf(c)=k
Il existe exactement un c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=kf(c)=k

Il existe au moins un $$c\in[a,b]$$ tel que $$f(c)=k$$

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’au moins un antécédent pour toute valeur située entre f(a)f(a) et f(b)f(b). L’unicité demanderait une hypothèse supplémentaire, comme la stricte monotonie.

22. Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b][a,b] prend-elle chaque valeur comprise entre f(a)f(a) et f(b)f(b) combien de fois ?

Au moins deux fois, car la continuité crée plusieurs solutions
Une seule fois, avec un unique antécédent dans [a,b][a,b]
Une fois à chaque extrémité, en aa et en bb
Le nombre d’antécédents dépend uniquement de la valeur de f(a)f(a)

Une seule fois, avec un unique antécédent dans $$[a,b]$$

Explication

La continuité assure l’existence d’un antécédent et la stricte monotonie empêche deux antécédents distincts d’avoir la même image. Chaque valeur intermédiaire possède donc un unique antécédent.

23. Quelle est l’image de [a,b][a,b] par une fonction continue sur cet intervalle fermé et borné ?

Un intervalle nécessairement égal à [f(a),f(b)][f(a),f(b)], sans tenir compte des valeurs intermédiaires
Un intervalle fermé borné [m,M][m,M], où mm et MM sont le minimum et le maximum de ff
Un ensemble réduit aux valeurs f(a)f(a) et f(b)f(b)
Un intervalle ouvert ]m,M[]m,M[, car les extrêmes ne sont pas atteints

Un intervalle fermé borné $$[m,M]$$, où $$m$$ et $$M$$ sont le minimum et le maximum de $$f$$

Explication

Une fonction continue sur [a,b][a,b] atteint un minimum mm et un maximum MM, et son image est l’intervalle fermé [m,M][m,M]. Les valeurs prises à l’intérieur peuvent dépasser celles des deux extrémités, donc l’image n’est pas forcément [f(a),f(b)][f(a),f(b)].

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Qu'impose la parité d'une fonction f sur son domaine ?

Pour tout x, -x appartient aussi au domaine de f.

Quelle égalité caractérise une fonction paire f ?

f(-x) = f(x) pour tout x du domaine.

Qu'impose la parité impaire d'une fonction f sur son domaine ?

Pour tout x, -x appartient aussi au domaine de f.

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