Fiche de révision : Étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Parité et périodicité
2. Axes et centres de symétrie
3. Branches infinies et asymptotes
4. Trinôme du second degré
5. Continuité et opérations
6. Limites et prolongement
7. Comparaison et composition
8. Valeurs intermédiaires et images

📖 1. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Si, pour tout x de son domaine, -x appartient aussi au domaine et f(-x)=f(x)
• Fonction impaire : Si, pour tout x de son domaine, -x appartient aussi au domaine et f(-x)=-f(x)
• Fonction périodique : Si, pour tout x de son domaine, x+T appartient au domaine et f(x+T)=f(x)

📝 Points essentiels

📌 Si f est paire ou impaire, l’étude peut être limitée à l’intersection de son domaine avec [0,+∞[.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine.

📖 2. Axes et centres de symétrie

📝 Points essentiels

📌 La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de la courbe de f si, pour tout x du domaine, 2a-x appartient au domaine et f(2a-x)=f(x).

📌 Le point A(a,b) est un centre de symétrie de la courbe de f si, pour tout x du domaine, 2a-x appartient au domaine et f(2a-x)=2b-f(x).

💡 Astuce mémo

Un miroir vertical pour l’axe x = a, un demi-tour autour du point A(a,b) pour le centre.

📖 3. Branches infinies et asymptotes

📝 Points essentiels

📌 Si lim f(x)=∞ quand x tend vers a, alors la droite x=a est une asymptote verticale à la courbe.

📌 Si lim f(x)=a quand x tend vers ±∞, alors la droite y=a est une asymptote horizontale à la courbe.

• Pour étudier une branche infinie lorsque f(x) tend vers l’infini, on calcule d’abord la limite de $\frac{f(x)}{x}$ ; si elle vaut 0, la branche est de direction (O,i), si elle est infinie, la branche est de direction (O,j), et si elle vaut a≠0, on étudie ensuite $f(x)-ax$.

📌 Si $\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]=b$ avec a≠0, alors y=ax+b est une asymptote oblique ; si cette limite est infinie, y=ax est une direction asymptotique.

💡 Astuce mémo

Limite de f, puis f(x)/x, puis f(x)−ax : verticale/horizontale, direction ou oblique.

📖 4. Trinôme du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le trinôme ax²+bx+c avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et, si b=2b′, le discriminant réduit est $\Delta'={b'}^2-ac$.

📌 Si Δ<0, le trinôme n’a pas de racine et est du signe de a ; si Δ=0, il possède une racine double ; si Δ>0, il possède deux racines distinctes.

Compléments

📐 Formule — Lorsque Δ>0, les racines du trinôme sont $x'=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x''=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Pour les racines x′ et x″ d’un trinôme, on a $x'+x''=-\frac{b}{a}$ et $x'x''=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant négatif : aucune racine ; nul : racine double ; positif : deux racines.

📖 5. Continuité et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Si et seulement si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

★ À maîtriser

• Les fonctions de référence ont les domaines de continuité suivants:
  • Fonction constante : ℝ
  • Fonction affine : ℝ
  • Fonction carré : ℝ
  • Fonction inverse : ]−∞,0[ et ]0,+∞[
  • Fonction polynôme : ℝ
  • Fonction rationnelle : chacun des intervalles de son domaine
  • Fonction racine carrée : [0,+∞[
  • Fonction valeur absolue : ℝ

📌 Si g(x)≠0 sur I, alors 1/g et f/g sont continues sur I ; si f(x)≠0 sur I, f^n est continue pour tout entier relatif n ; si f(x)>0 sur I, √f est continue sur I.

Compléments

📌 Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors f+g, αf, f−g et f^n pour n entier naturel non nul sont continues sur I.

💡 Astuce mémo

Continuité des fonctions de départ → continuité des sommes, produits, quotients et compositions sous conditions.

📖 6. Limites et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : Si f est définie sur un intervalle privé de a et si $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ avec ℓ réel, définir g(a)=ℓ et g(x)=f(x) pour x≠a donne un prolongement de f continu en a.

★ À maîtriser

• Les formes indéterminées usuelles sont:
  • 0/0
  • ∞−∞
  • ∞/∞
  • 0×∞

📌 À l’infini, la limite d’une fonction polynomiale est celle de son terme de plus haut degré, et la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.

Compléments

📌 Une fonction est continue à droite en a si $\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ et continue à gauche en a si $\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.

💡 Astuce mémo

Limite finie en un point manquant → valeur ajoutée égale à la limite → prolongement continu.

📖 7. Comparaison et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si f est définie sur I, g sur J et f(I)⊂J, la fonction x↦g(f(x))

★ À maîtriser

📌 Si f est continue en a, f(a) appartient au domaine de g et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.

📌 Si u(x)≤f(x)≤v(x) près de a et si u et v tendent toutes deux vers l, alors f tend vers l selon le théorème des gendarmes.

Compléments

📌 Si u(x)≤v(x) près de a et si les limites de u et v sont respectivement l et l′, alors l≤l′.

💡 Astuce mémo

Comparer les fonctions, encadrer, puis composer les limites.

📖 8. Valeurs intermédiaires et images

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent dans [a,b].

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle, tout réel compris entre f(a) et f(b) possède un unique antécédent dans [a,b].

• L’image d’un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m,M], où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [a,b].

Compléments

📌 Si f est continue sur un intervalle et ne s’y annule jamais, alors f garde un signe constant sur cet intervalle.

📌 L’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature que l’intervalle de départ.

💡 Astuce mémo

Continuité garantit une solution ; monotonie stricte garantit son unicité.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines