Fiche de révision : Exponentielle et nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et polynômes
2. Calculs avec l’exponentielle
3. Calculs et équations exponentielles
4. Fonctions hyperboliques
5. Encadrement de la constante e
6. Fonctions logarithmes
7. Calculs cartésiens complexes
8. Racines et équations complexes
9. Forme polaire et identités trigonométriques

📖 1. Fonctions et polynômes

★ À maîtriser

• L’équation $x^5-5x+1=0$ admet trois solutions réelles.

Compléments

• L’exercice étudie les domaines de définition de fonctions contenant une racine carrée, un quotient ou un logarithme, notamment $f(x)=\sqrt{\frac{2+3x}{5-2x}}$, $g(x)=\sqrt{x^2-2x-5}$ et $h(x)=\ln(4x+3)$.

• Les fonctions $x\mapsto \frac1x$, $x\mapsto \frac1{1+x^2}$, $x\mapsto \frac{x}{1+x^2}$ et $x\mapsto \sqrt{x}$ sont proposées comme exemples de fonctions à montrer non polynomiales sur leur ensemble de définition.

• Le polynôme $P(X)=\frac{(X-1)(X-3)}{(2-1)(2-3)}$ est donné comme exemple pour construire des polynômes de degré 2 prenant des valeurs prescrites en certains points.

• La fonction $f(x)=\frac{4x+3}{2x-5}$ est proposée pour étudier son domaine de définition, des transformations de son expression et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$.

📖 2. Calculs avec l’exponentielle

📝 Points essentiels

• L’expression $e^4\sqrt[3]{\frac{e^{-5}\left(\frac{e^2}{e^{-3}}\right)^3(e^3)^2}{e^8}}$ est proposée comme exemple de simplification avec les puissances de l’exponentielle.

• L’expression $(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2$ est proposée comme exemple de simplification algébrique d’exponentielles.

• L’expression $(e^3-e)(1+e^2)(e^3+e^{-3})^2$ est proposée comme exemple de développement d’un produit contenant des exponentielles.

📖 3. Calculs et équations exponentielles

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel $x$, $e^x>0$ ; une somme de deux exponentielles est donc strictement positive.

Compléments

• L’expression exponentielle $2e^x-4e^{2x}+2e^{3x}$ se factorise en $2e^x(1-e^x)^2$.

• L’équation $e^{2x+4}=1$ se résout en imposant $2x+4=0$, car la fonction exponentielle vaut 1 uniquement en 0.

• L’équation $e^{-3x+7}=e^{-2}$ se résout par égalité des exposants, soit $-3x+7=-2$.

📖 4. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Ch cosinus hyperbolique : La fonction cosinus hyperbolique est définie sur les réels par $\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2$.
• Sh sinus hyperbolique : La fonction sinus hyperbolique est définie sur les réels par $\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel $x$, $\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x$ et $\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x$ ; ch est paire tandis que sh est impaire.

📐 Formule - Pour tout réel $x$, $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$.

Compléments

📐 Formule - Les exponentielles s’expriment par $e^x=\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x,\qquad e^{-x}=\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x$.

📐 Formule - Les formules du double angle sont $\operatorname{ch}(2x)=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x,\qquad \operatorname{sh}(2x)=2\operatorname{ch}x\operatorname{sh}x$.

💡 Astuce mémo

ch est paire, sh est impaire

📖 5. Encadrement de la constante e

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite u_n : La suite $u_n$ est définie par $u_n=(1+\frac1n)^n$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier $n>0$, $u_n<e<v_n$ et $0<v_n-u_n<\frac en$.

• Les suites $u_n$ et $v_n$ convergent vers $e$.

Compléments

📌 Pour tout $x>0$, $1+x<e^x$ ; pour tout $x<0$, $e^x<\frac1{1-x}$.

📖 6. Fonctions logarithmes

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation contenant des logarithmes, chaque argument doit être strictement positif dans l’ensemble de définition.

📌 Pour tout $x>0$, $\ln x\leq x-1$.

Compléments

• Pour tout réel $x$, $\ln\left(\frac{1+e^x}{1+e^{-x}}\right)=x$.

📌 Pour tout $x>0$, $\ln x\leq \frac{x}{e}$.

📖 7. Calculs cartésiens complexes

★ À maîtriser

• Le nombre complexe $i$ vérifie $i^2=-1$ et $1/i=-i$.

📐 Formule - Pour tout nombre complexe $z$, le module du produit vérifie $|zw|=|z||w|$ et, pour $w\ne0$, le module du quotient vérifie $\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}$.

Compléments

• La somme de nombres complexes écrits sous forme cartésienne s’obtient en additionnant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.

• Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe non nul en forme cartésienne, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

📖 8. Racines et équations complexes

★ À maîtriser

• Pour chercher les racines carrées de $a+ib$, on pose $z=x+iy$, puis on identifie les parties réelle et imaginaire de $z^2=a+ib$ et on utilise l’égalité des modules.

📐 Formule - Pour $P(z)=z^2+bz+c$ de racines $z_1,z_2\in\mathbb C$, $z_1+z_2=-b,\qquad z_1z_2=c$.

📐 Formule - Les racines $n$-ièmes de 1 s’écrivent sous forme exponentielle $e^{2ik\pi/n}$ pour les entiers $k$ de 0 à $n-1$.

Compléments

• Les racines carrées de 1 sont 1 et $-1$.

• Le nombre $j=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$ vérifie $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$ ; $j$ et $j^2$ sont les racines de $1+z+z^2=0$.

📖 9. Forme polaire et identités trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule d’Euler est $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

📐 Formule - Les formules d’Euler donnent $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Compléments

📐 Formule - La formule de Moivre est $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ pour tout entier $n$.

• Pour résoudre une équation bicarrée en $z$, on pose $w=z^2$, on résout l’équation obtenue en $w$, puis on cherche les racines carrées des valeurs de $w$.