Fiche de révision : Nombres réels et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Propriétés des racines carrées
3. Conjugués et rationalisation
4. Intervalles et ensembles de réels
5. Réunion et intersection d’ensembles

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$, où $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$.
• Entier naturel : Nombre positif dont la partie décimale est nulle et qui appartient à l’ensemble ℕ.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Compléments

• Chaque nombre réel est l’abscisse d’un point de la droite des réels.

📖 2. Propriétés des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour $a\geq 0$, $\sqrt a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$.

★ À maîtriser

📌 Pour $a\geq0$ et $b\geq0$, $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$.

📌 En général, $\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt{a+b}$ et $\sqrt a-\sqrt b\neq\sqrt{a-b}$.

Compléments

• Pour $b>0$, le quotient de racines vérifie $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$ lorsque $a\geq0$.

• Le théorème de Pythagore donne la diagonale d’un carré de côté 2 : $AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$.

💡 Astuce mémo

Le produit des racines se regroupe ; la somme, elle, ne se distribue pas sous la racine.

📖 3. Conjugués et rationalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines conjuguées : Les expressions $\sqrt a+\sqrt b$ et $\sqrt a-\sqrt b$ sont des racines conjuguées.
• Expression conjuguée : Pour $a>0$ et $b>0$, $\sqrt a-\sqrt b$ est l’expression conjuguée de $\sqrt a+\sqrt b$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le produit de deux expressions conjuguées vérifie $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$.

• Pour rationaliser le dénominateur de $\frac1{\sqrt6}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt6$, ce qui donne $\frac{\sqrt6}{6}$.

📖 4. Intervalles et ensembles de réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de ℝ : Partie de ℝ délimitée par deux bornes réelles, qui peuvent être incluses ou exclues.

★ À maîtriser

📌 La borne 3 est exclue dans $]3; +\infty[$, qui représente $x>3$, et incluse dans $[3; +\infty[$, qui représente $x\geq3$.

Compléments

• Les inégalités $x<2$, $x>2$, $x\leq2$ et $x\geq2$ correspondent respectivement aux intervalles $]-\infty;2[$, $]2;+\infty[$, $]-\infty;2]$ et $[2;+\infty[$.

• L’ensemble des réels négatifs est $\mathbb{R}^- = ]-\infty;0]$, soit l’ensemble des réels $x\leq0$.

• L’ensemble des réels strictement positifs est $\mathbb{R}^+ = ]0;+\infty[$, soit l’ensemble des réels $x>0$.

• L’ensemble des réels non nuls est $\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$, soit l’ensemble des réels $x\neq0$.

📖 5. Réunion et intersection d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : L’union de deux ensembles $A$ et $B$ est notée $A\cup B$.
• Intersection : L’intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est notée $A\cap B$.

📝 Points essentiels

• Pour un dé équilibré à six faces, l’univers des résultats est $\{1;2;3;4;5;6\}$.

• Dans l’exemple du dé, l’événement « obtenir un chiffre pair » correspond à $A=\{2;4;6\}$ et l’événement « obtenir un multiple de 3 » à $B=\{3;6\}$.