Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et inclusions numériques
2. Rationnels et irrationnels
3. Racines carrées et calculs
4. Rationalisation et expression conjuguée
5. Hauteur du triangle équilatéral
6. Intervalles et inégalités réelles
7. Ensembles de réels positifs et négatifs
8. Réunion et intersection d’ensembles

📖 1. Ensembles et inclusions numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Un entier naturel est un nombre positif dont la partie décimale est nulle et appartient à ℕ.
• Entier relatif : Un entier relatif est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 1 et appartient à ℤ.
• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction, pas nécessairement décimale.

★ À maîtriser

• Les ensembles numériques sont inclus les uns dans les autres selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• Tout entier naturel ou relatif est un nombre décimal.

📖 2. Rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n’est pas rationnel.

★ À maîtriser

• Aucun nombre réel n’est à la fois rationnel et irrationnel.

Compléments

• La diagonale d’un carré de côté 1 mesure √2, car le théorème de Pythagore donne AC² = 1² + 1² = 2.

• √2, √3, −4√3, √3 − 8 et π sont présentés comme des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Une fraction place un nombre dans ℚ ; √2 échappe à ℚ tout en restant réel.

📖 3. Racines carrées et calculs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, élevée au carré, vaut a : $(\sqrt a)^2=a$.

• Pour simplifier une racine carrée, on extrait les facteurs carrés parfaits du radicande.

Compléments

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, le produit des racines carrées vaut la racine carrée du produit : $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$.

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b > 0, le quotient des racines carrées vérifie $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$.

• La simplification de √50 donne 5√2, car 50 = 25 × 2.

📐 Formule - Le développement du carré d’une différence donne $(\sqrt a-\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b$.

📖 4. Rationalisation et expression conjuguée

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression conjuguée : L’expression conjuguée de √a + √b est √a − √b.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a > 0, rationaliser l’inverse d’une racine revient à écrire $\frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a}$.

Compléments

• Le produit de deux expressions conjuguées de la forme √a + √b et √a − √b vaut a − b.

💡 Astuce mémo

Multiplier par le radical du dénominateur fait disparaître ce radical.

📖 5. Hauteur du triangle équilatéral

★ À maîtriser

• Dans un triangle équilatéral de côté a, appliquer Pythagore à la hauteur issue d’un sommet, qui partage la base en deux segments de longueur a/2, donne une hauteur de longueur a√3/2.

Compléments

• La hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1 vaut √3/2.

📖 6. Intervalles et inégalités réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Un intervalle de ℝ est une portion de la droite réelle délimitée par deux bornes incluses ou exclues.

★ À maîtriser

• L’inégalité x > 3 équivaut à l’appartenance x ∈ ]3 ; +∞[.

Compléments

• Les inégalités x < 3, x ≥ 3 et x ≤ 3 correspondent respectivement à x ∈ ]−∞ ; 3[, x ∈ [3 ; +∞[ et x ∈ ]−∞ ; 3].

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 7. Ensembles de réels positifs et négatifs

★ À maîtriser

• ℝ₋ = ]−∞ ; 0] désigne les réels négatifs ou nuls, donc x ≤ 0.

• ℝ₊ = ]0 ; +∞[ désigne les réels strictement positifs, donc x > 0.

Compléments

• ℝ₋* = ]−∞ ; 0[ désigne les réels strictement négatifs, donc x < 0.

• ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ = ℝ \ {0} désigne les réels différents de zéro.

💡 Astuce mémo

ℝ₋ inclut zéro, ℝ₋* l’exclut.

📖 8. Réunion et intersection d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection A ∩ B d’événements regroupe les issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : La réunion A ∪ B d’événements regroupe les issues qui appartiennent à A ou à B.

★ À maîtriser

• Pour le lancer d’un dé à six faces, l’événement A « obtenir un nombre pair » est représenté par A = {2, 4, 6}.

• Pour le lancer d’un dé à six faces, l’événement B « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » est représenté par B = {4, 5, 6}.

Compléments

• Lors d’un lancer de dé à six faces, l’ensemble des issues est {1, 2, 3, 4, 5, 6}.