QCM : Nombres réels et intervalles (17 questions)

Question 1

1. Un nombre positif a pour écriture décimale $12,000$ . À quel ensemble appartient-il comme entier naturel ?

À

\mathbb{D}

mais pas à

\mathbb{Z}

À

\mathbb{N}

À

\mathbb{Q}

mais pas à

\mathbb{D}

À

\mathbb{Z}

mais pas à

\mathbb{N}

Explication

Un entier naturel est positif et sa partie décimale est nulle; $12,000$ représente donc l’entier naturel 12. Le classement dans $\mathbb{Z}$ sans $\mathbb{N}$ méconnaît sa positivité, tandis que $\mathbb{D}$ sans $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ sans $\mathbb{D}$ ne conviennent pas à ce nombre entier.

Answer

À $$\mathbb{N}$$

Question 2

2. Le quotient $\frac{-42}{7}$ vaut un nombre entier relatif. Quelle propriété caractérise son appartenance à $\mathbb{Z}$ ?

Il peut s’écrire comme une fraction de dénominateur puissance de 10.

Il est positif et sa partie décimale est nulle.

Il peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 1.

Il est réel sans pouvoir s’écrire comme une fraction.

Explication

Un entier relatif peut s’écrire sous forme d’une fraction dont le dénominateur est 1; ici, $\frac{-42}{7}=-6=\frac{-6}{1}$ . La puissance de 10 caractérise les décimaux, la positivité est requise pour les naturels, et l’impossibilité d’une écriture fractionnaire décrit les irrationnels.

Answer

Il peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 1.

Question 3

3. Une mesure est écrite sous la forme $\frac{37}{1000}$ . Quelle propriété permet de la classer comme nombre décimal ?

Son quotient est un entier relatif.

Son numérateur est un entier positif.

Son dénominateur est un entier quelconque.

Son dénominateur est une puissance de 10.

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10; $1000=10^3$ . Une fraction quelconque ne suffit pas, le dénominateur 1 caractérise ici les entiers relatifs, et le numérateur positif n’est pas le critère définissant les décimaux.

Answer

Son dénominateur est une puissance de 10.

Question 4

4. On classe un nombre connu comme décimal, sans autre information sur sa valeur. Quelle relation entre ensembles découle de la chaîne d’inclusions numériques ?

Il appartient aussi à

\mathbb{Q}

et à

\mathbb{R}

.

Il appartient aussi à

\mathbb{N}

et à

\mathbb{Z}

.

Il appartient à

\mathbb{Q}

, mais pas à

\mathbb{R}

.

Il appartient à

\mathbb{Z}

, mais pas à

\mathbb{Q}

.

Explication

La chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ implique que tout décimal est rationnel et réel. L’inclusion ne permet pas de conclure qu’un décimal est entier, et les choix qui l’excluent des rationnels ou des réels inversent la relation.

Answer

Il appartient aussi à $$\mathbb{Q}$$ et à $$\mathbb{R}$$.

Question 5

5. Un réel $x$ ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Quelle classification lui correspond ?

Un nombre qui n’appartient pas à

\mathbb{R}

.

Un entier relatif.

Un nombre rationnel.

Un nombre irrationnel.

Explication

Un irrationnel est un nombre réel qui n’est pas rationnel, donc qui ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Dire qu’il n’appartient pas à $\mathbb{R}$ confond irrationalité et non-réalité; les rationnels ont une écriture fractionnaire, et les entiers relatifs en ont une de dénominateur 1.

Answer

Un nombre irrationnel.

Question 6

6. Lorsqu’on classe un nombre réel dans les ensembles des rationnels et des irrationnels, quelle situation est possible ?

Il est rationnel ou irrationnel, mais pas les deux.

Il est à la fois rationnel et irrationnel.

Il est rationnel et n’appartient pas aux réels.

Il n’est ni rationnel ni irrationnel.

Explication

Les rationnels et les irrationnels sont des catégories incompatibles parmi les réels : aucun réel n’appartient aux deux à la fois. Une écriture décimale non terminée ne donne pas une double classification, et les deux autres réponses contredisent la distinction entre ces catégories ou leur appartenance à $\mathbb{R}$ .

Answer

Il est rationnel ou irrationnel, mais pas les deux.

Question 7

7. Pour calculer $\left(\sqrt{13}\right)^2$ , quel résultat obtient-on ?

\sqrt{26}

\sqrt{13}

26

13

Explication

Pour un radicande positif, le carré de sa racine carrée restitue ce radicande : $\left(\sqrt{13}\right)^2=13$ . $26$ correspond au double, tandis que $\sqrt{13}$ conserve la racine.

Answer

Écrire $$108=36\times3$$, puis obtenir $$6\sqrt3$$

Answer

$$\frac{\sqrt{11}}{11}$$

Answer

$$\sqrt{19}-\sqrt{6}$$

Answer

$$5\sqrt{3}$$ cm

Answer

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ unité

Answer

Une portion de la droite réelle

Answer

$$x\in ]-\infty;3]$$

Answer

Elle vérifie $$x>0$$.

Answer

$$\{2,4,6\}$$

Answer

$$\{4,5,6\}$$

Question 8

8. Pour simplifier $\sqrt{108}$ , quelle démarche permet d’obtenir une racine plus simple ?

Écrire

108=10\times8

, puis obtenir

18

Écrire

108=36\times3

, puis obtenir

36\sqrt3

Écrire

108=36\times3

, puis obtenir

6\sqrt3

Écrire

108=18\times6

, puis obtenir

18\sqrt6

Explication

La simplification consiste à extraire du radicande un facteur carré parfait : $\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=6\sqrt3$ . $18\sqrt6$ ne provient pas d’un facteur carré parfait, et $36\sqrt3$ oublie de prendre la racine de 36.

Question 9

9. Quelle écriture sans radical au dénominateur est équivalente à $\frac{1}{\sqrt{11}}$ ?

\frac{11}{\sqrt{11}}

\frac{1}{11}

\frac{\sqrt{11}}{11}

\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}

Explication

Pour rationaliser l’inverse d’une racine, on écrit $\frac{1}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a}$ ; avec $a=11$ , on obtient $\frac{\sqrt{11}}{11}$ . $\frac{1}{11}$ omet le facteur $\sqrt{11}$ au numérateur.

Question 10

10. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt{19}+\sqrt{6}$ ?

\sqrt{19}-\sqrt{6}

\sqrt{6}+\sqrt{19}

\sqrt{19}+\sqrt{6}

-\sqrt{19}+\sqrt{6}

Explication

L’expression conjuguée de $\sqrt a+\sqrt b$ s’obtient en remplaçant le signe entre les termes par un signe moins, sans changer les termes. Conserver le signe ou inverser les termes sans changer le signe ne donne pas la conjuguée.

Question 11

11. Un triangle équilatéral a des côtés de longueur $10$ cm. Quelle est la longueur de sa hauteur issue d’un sommet ?

5\sqrt{3}

cm

10

cm

5

cm

\frac{5}{2}

cm

Explication

La hauteur partage la base en deux segments de $5$ cm; Pythagore donne $h^2=10^2-5^2=75$ , donc $h=5\sqrt{3}$ cm. Répondre $10$ cm confond hauteur et côté, $\frac{5}{2}$ cm résulte d’une mauvaise manipulation de la demi-base, et $5$ cm confond la demi-base avec la hauteur.

Question 12

12. Un triangle équilatéral a un côté de longueur $1$ unité. Quelle est la longueur de sa hauteur ?

\frac{\sqrt{3}}{2}

unité

\frac{3}{2}

unités

\frac{1}{2}

unité

1

unité

Explication

Pour un côté de longueur $1$ , la hauteur vaut $\frac{1\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . La valeur $1$ est le côté, $\frac{1}{2}$ est la demi-base, et $\frac{3}{2}$ provient d’une erreur sur le facteur radical.

Question 13

13. Quel objet mathématique est délimité par deux réels appelés bornes, qui peuvent être incluses ou exclues ?

La droite réelle dans son intégralité

Un segment dont les deux extrémités sont incluses

Un ensemble formé par ses deux bornes

Une portion de la droite réelle

Explication

Un intervalle est une portion de la droite réelle délimitée par deux bornes, incluses ou exclues. Le segment fermé impose l’inclusion des deux extrémités, les bornes ne sont pas les seuls éléments de l’intervalle, et l’intervalle n’est pas nécessairement toute la droite.

Question 14

14. Un nombre réel $x$ doit satisfaire $x\leq 3$ . Quelle écriture décrit exactement l’ensemble de ses valeurs ?

x\in [3;+\infty[

x\in ]-\infty;3]

x\in ]-\infty;3[

x\in ]3;+\infty[

Explication

L’inégalité $x\leq 3$ comprend tous les réels inférieurs ou égaux à $3$ , d’où $]-\infty;3]$ . L’intervalle ouvert en $3$ exclut la borne, tandis que les intervalles orientés vers $+\infty$ correspondent à des valeurs supérieures à $3$ .

Question 15

15. Pour qu’une mesure réelle appartienne à $\mathbb{R}_{+}$ , quelle propriété doit-elle vérifier ?

Elle vérifie

x>0

.

Elle vérifie

x\geq0

.

Elle vérifie

x<0

.

Elle vérifie

x\leq0

.

Explication

$\mathbb{R}_{+}=]0;+\infty[$ désigne les réels strictement positifs, donc la mesure doit vérifier $x>0$ . La condition $x\geq0$ inclut zéro, et les deux inégalités avec $x<0$ ou $x\leq0$ décrivent des valeurs négatives.

Question 16

16. Lors d’un lancer d’un dé à six faces, l’événement « obtenir un nombre pair » est observé. Quel ensemble représente ses issues ?

\{1,3,5\}

\{2,4,6\}

\{4,6\}

\{2,4,5,6\}

Explication

Les issues paires du dé sont 2, 4 et 6, donc l’événement est représenté par $\{2,4,6\}$ . L’ensemble $\{1,3,5\}$ regroupe les issues impaires, $\{4,6\}$ oublie 2 et $\{2,4,5,6\}$ inclut 5.

Question 17

17. Un dé à six faces est lancé. Quel ensemble représente l’événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » ?

\{4,6\}

\{4,5,6\}

\{5,6\}

\{3,4,5,6\}

Explication

Les issues du dé qui sont supérieures ou égales à 4 sont 4, 5 et 6, soit $\{4,5,6\}$ . L’ensemble commençant par 3 abaisse la borne, celui commençant par 5 exclut 4, et $\{4,6\}$ ne garde que les issues paires.

QCM : Nombres réels et intervalles (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un nombre positif a pour écriture décimale $12,000$ . À quel ensemble appartient-il comme entier naturel ?

2. Le quotient $\frac{-42}{7}$ vaut un nombre entier relatif. Quelle propriété caractérise son appartenance à $\mathbb{Z}$ ?

3. Une mesure est écrite sous la forme $\frac{37}{1000}$ . Quelle propriété permet de la classer comme nombre décimal ?

4. On classe un nombre connu comme décimal, sans autre information sur sa valeur. Quelle relation entre ensembles découle de la chaîne d’inclusions numériques ?

5. Un réel $x$ ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Quelle classification lui correspond ?

6. Lorsqu’on classe un nombre réel dans les ensembles des rationnels et des irrationnels, quelle situation est possible ?

7. Pour calculer $\left(\sqrt{13}\right)^2$ , quel résultat obtient-on ?

8. Pour simplifier $\sqrt{108}$ , quelle démarche permet d’obtenir une racine plus simple ?

9. Quelle écriture sans radical au dénominateur est équivalente à $\frac{1}{\sqrt{11}}$ ?

10. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt{19}+\sqrt{6}$ ?

11. Un triangle équilatéral a des côtés de longueur $10$ cm. Quelle est la longueur de sa hauteur issue d’un sommet ?

12. Un triangle équilatéral a un côté de longueur $1$ unité. Quelle est la longueur de sa hauteur ?

13. Quel objet mathématique est délimité par deux réels appelés bornes, qui peuvent être incluses ou exclues ?

14. Un nombre réel $x$ doit satisfaire $x\leq 3$ . Quelle écriture décrit exactement l’ensemble de ses valeurs ?

15. Pour qu’une mesure réelle appartienne à $\mathbb{R}_{+}$ , quelle propriété doit-elle vérifier ?

16. Lors d’un lancer d’un dé à six faces, l’événement « obtenir un nombre pair » est observé. Quel ensemble représente ses issues ?

17. Un dé à six faces est lancé. Quel ensemble représente l’événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » ?

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QCM : Nombres réels et intervalles (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un nombre positif a pour écriture décimale 12,00012,00012,000. À quel ensemble appartient-il comme entier naturel ?

2. Le quotient −427\frac{-42}{7}7−42​ vaut un nombre entier relatif. Quelle propriété caractérise son appartenance à Z\mathbb{Z}Z ?

3. Une mesure est écrite sous la forme 371000\frac{37}{1000}100037​. Quelle propriété permet de la classer comme nombre décimal ?

4. On classe un nombre connu comme décimal, sans autre information sur sa valeur. Quelle relation entre ensembles découle de la chaîne d’inclusions numériques ?

5. Un réel xxx ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Quelle classification lui correspond ?

6. Lorsqu’on classe un nombre réel dans les ensembles des rationnels et des irrationnels, quelle situation est possible ?

7. Pour calculer (13)2\left(\sqrt{13}\right)^2(13​)2, quel résultat obtient-on ?

8. Pour simplifier 108\sqrt{108}108​, quelle démarche permet d’obtenir une racine plus simple ?

9. Quelle écriture sans radical au dénominateur est équivalente à 111\frac{1}{\sqrt{11}}11​1​ ?

10. Quelle est l’expression conjuguée de 19+6\sqrt{19}+\sqrt{6}19​+6​ ?

11. Un triangle équilatéral a des côtés de longueur 101010 cm. Quelle est la longueur de sa hauteur issue d’un sommet ?

12. Un triangle équilatéral a un côté de longueur 111 unité. Quelle est la longueur de sa hauteur ?

13. Quel objet mathématique est délimité par deux réels appelés bornes, qui peuvent être incluses ou exclues ?

14. Un nombre réel xxx doit satisfaire x≤3x\leq 3x≤3. Quelle écriture décrit exactement l’ensemble de ses valeurs ?

15. Pour qu’une mesure réelle appartienne à R+\mathbb{R}_{+}R+​, quelle propriété doit-elle vérifier ?

16. Lors d’un lancer d’un dé à six faces, l’événement « obtenir un nombre pair » est observé. Quel ensemble représente ses issues ?

17. Un dé à six faces est lancé. Quel ensemble représente l’événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » ?

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1. Un nombre positif a pour écriture décimale $12,000$ . À quel ensemble appartient-il comme entier naturel ?

2. Le quotient $\frac{-42}{7}$ vaut un nombre entier relatif. Quelle propriété caractérise son appartenance à $\mathbb{Z}$ ?

3. Une mesure est écrite sous la forme $\frac{37}{1000}$ . Quelle propriété permet de la classer comme nombre décimal ?

5. Un réel $x$ ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Quelle classification lui correspond ?

7. Pour calculer $\left(\sqrt{13}\right)^2$ , quel résultat obtient-on ?

8. Pour simplifier $\sqrt{108}$ , quelle démarche permet d’obtenir une racine plus simple ?

9. Quelle écriture sans radical au dénominateur est équivalente à $\frac{1}{\sqrt{11}}$ ?

10. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt{19}+\sqrt{6}$ ?

11. Un triangle équilatéral a des côtés de longueur $10$ cm. Quelle est la longueur de sa hauteur issue d’un sommet ?

12. Un triangle équilatéral a un côté de longueur $1$ unité. Quelle est la longueur de sa hauteur ?

14. Un nombre réel $x$ doit satisfaire $x\leq 3$ . Quelle écriture décrit exactement l’ensemble de ses valeurs ?

15. Pour qu’une mesure réelle appartienne à $\mathbb{R}_{+}$ , quelle propriété doit-elle vérifier ?