QCM : Exponentielle et nombres complexes (7 questions)

Question 1

1. Combien de solutions réelles admet l’équation $x^5-5x+1=0$ ?

Quatre solutions réelles

Deux solutions réelles

Une seule solution réelle

Trois solutions réelles

Explication

Cette équation polynomiale admet trois solutions réelles. Le fait qu’elle soit de degré cinq ne signifie pas qu’elle possède cinq solutions réelles.

Answer

Trois solutions réelles

Question 2

2. Quelle expression est proposée comme exemple de simplification algébrique d’exponentielles ?

(e^x+e^{-x})^2+(e^x-e^{-x})^2

(e^x-e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2

(e^x+e^x)^2-(e^{-x}-e^{-x})^2

(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2

Explication

Cette différence de deux carrés est présentée comme un exemple de simplification algébrique d’exponentielles. L’expression avec une addition entre les carrés est un autre calcul possible, mais ce n’est pas l’exemple indiqué.

Answer

$$ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 $$

Question 3

3. Quel rôle joue la factorisation de $2e^x-4e^{2x}+2e^{3x}$ sous la forme $2e^x(1-e^x)^2$ pour étudier son signe ?

Elle permet de conclure que l’expression est négative ou nulle pour tout réel

x

.

Elle montre que l’expression s’annule pour chaque réel

x

.

Elle montre que le signe de l’expression change à chaque entier

x

.

Elle permet de conclure que l’expression est positive ou nulle pour tout réel

x

.

Explication

Le facteur $2e^x$ est strictement positif, tandis que $(1-e^x)^2$ est positif ou nul, donc leur produit ne peut pas être négatif. La factorisation ne rend pas l’expression toujours nulle : elle s’annule lorsque $e^x=1$ , c’est-à-dire lorsque $x=0$ .

Answer

Elle permet de conclure que l’expression est positive ou nulle pour tout réel $$x$$.

Question 4

4. En quoi les fonctions $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ diffèrent-elles quant à leur comportement lorsque l’on remplace $x$ par $-x$ ?

\operatorname{ch}

est impaire et

\operatorname{sh}

est paire.

Les deux fonctions sont paires.

\operatorname{ch}

est paire et

\operatorname{sh}

est impaire.

Les deux fonctions sont impaires.

Explication

Le cosinus hyperbolique vérifie $\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x$ , tandis que le sinus hyperbolique vérifie $\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x$ . Inverser ces parités confond les comportements respectifs des deux fonctions.

Answer

$$\operatorname{ch}$$ est paire et $$\operatorname{sh}$$ est impaire.

Question 5

5. Quel effet a l’augmentation de l’entier $n>0$ sur l’encadrement de $e$ fourni par $u_n$ et $v_n$ ?

Elle augmente l’écart entre les deux bornes, qui devient supérieur à

\frac{e}{n}

.

Elle laisse les bornes inchangées, car

u_n

et

v_n

ne dépendent pas de

n

.

Elle réduit l’écart entre les deux bornes, qui est inférieur à

\frac{e}{n}

.

Elle fait de

u_n

une borne supérieure et de

v_n

une borne inférieure de

e

.

Explication

Comme $0<v_n-u_n<\frac{e}{n}$ , la borne supérieure de l’écart diminue lorsque $n$ augmente, et les deux suites convergent vers $e$ . L’inversion des bornes est incorrecte : l’encadrement reste $u_n<e<v_n$ .

Answer

Elle réduit l’écart entre les deux bornes, qui est inférieur à $$\frac{e}{n}$$.

Question 6

6. Pour résoudre une équation logarithmique comportant plusieurs termes, quelle vérification faut-il effectuer avant de manipuler les logarithmes ?

Vérifier que chaque argument de logarithme est strictement positif dans l’ensemble de définition.

Vérifier que la somme des arguments de logarithme est strictement positive dans l’ensemble de définition.

Vérifier que chaque argument de logarithme est différent de zéro dans l’ensemble de définition.

Vérifier que chaque argument de logarithme est inférieur à un dans l’ensemble de définition.

Explication

Un logarithme réel est défini lorsque son argument est strictement positif, donc cette condition doit être vérifiée pour chacun des logarithmes de l’équation. Vérifier seulement que les arguments sont non nuls ne suffit pas, car un argument négatif n’est pas admissible.

Answer

Vérifier que chaque argument de logarithme est strictement positif dans l’ensemble de définition.

Question 7

7. Quelle propriété relie le module d’un produit de nombres complexes aux modules de ses facteurs ?

Le module du produit est la somme des modules des facteurs.

Le module du produit est la différence des modules des facteurs.

Le module du produit est le quotient des modules des facteurs.

Le module du produit est le produit des modules des facteurs.

Explication

Le module est multiplicatif : pour deux nombres complexes, le module de leur produit est égal au produit de leurs modules. La somme des modules ne donne pas le module du produit, mais peut intervenir dans une majoration du module d’une somme.

Answer

Le module du produit est le produit des modules des facteurs.

QCM : Exponentielle et nombres complexes (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Combien de solutions réelles admet l’équation $x^5-5x+1=0$ ?

2. Quelle expression est proposée comme exemple de simplification algébrique d’exponentielles ?

3. Quel rôle joue la factorisation de $2e^x-4e^{2x}+2e^{3x}$ sous la forme $2e^x(1-e^x)^2$ pour étudier son signe ?

4. En quoi les fonctions $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ diffèrent-elles quant à leur comportement lorsque l’on remplace $x$ par $-x$ ?

5. Quel effet a l’augmentation de l’entier $n>0$ sur l’encadrement de $e$ fourni par $u_n$ et $v_n$ ?

6. Pour résoudre une équation logarithmique comportant plusieurs termes, quelle vérification faut-il effectuer avant de manipuler les logarithmes ?

7. Quelle propriété relie le module d’un produit de nombres complexes aux modules de ses facteurs ?

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1. Combien de solutions réelles admet l’équation x5−5x+1=0x^5-5x+1=0x5−5x+1=0 ?

2. Quelle expression est proposée comme exemple de simplification algébrique d’exponentielles ?

3. Quel rôle joue la factorisation de 2ex−4e2x+2e3x2e^x-4e^{2x}+2e^{3x}2ex−4e2x+2e3x sous la forme 2ex(1−ex)22e^x(1-e^x)^22ex(1−ex)2 pour étudier son signe ?

4. En quoi les fonctions ch⁡\operatorname{ch}ch et sh⁡\operatorname{sh}sh diffèrent-elles quant à leur comportement lorsque l’on remplace xxx par −x-x−x ?

5. Quel effet a l’augmentation de l’entier n>0n>0n>0 sur l’encadrement de eee fourni par unu_nun​ et vnv_nvn​ ?

6. Pour résoudre une équation logarithmique comportant plusieurs termes, quelle vérification faut-il effectuer avant de manipuler les logarithmes ?

7. Quelle propriété relie le module d’un produit de nombres complexes aux modules de ses facteurs ?

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3. Quel rôle joue la factorisation de $2e^x-4e^{2x}+2e^{3x}$ sous la forme $2e^x(1-e^x)^2$ pour étudier son signe ?

4. En quoi les fonctions $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ diffèrent-elles quant à leur comportement lorsque l’on remplace $x$ par $-x$ ?

5. Quel effet a l’augmentation de l’entier $n>0$ sur l’encadrement de $e$ fourni par $u_n$ et $v_n$ ?