Fiche de révision : Fonction dérivée

📋 Plan du Cours

1. Définition de la dérivée
2. Dérivées des fonctions usuelles
3. Opérations sur les dérivées
4. Variations d’une fonction
5. Extremum d’une fonction

📖 1. Définition de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée f′ associe à tout réel x de I le nombre dérivé de f en x.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction dérivée de f(x)=x^2 est $f'(x)=2x$. — Joseph Louis Lagrange, 1736 ; 1813

Compléments

• Pour f(x)=x^2, le taux de variation entre a et a+h vaut $2a+h$ et le nombre dérivé en a vaut $2a$.

💡 Astuce mémo

Taux de variation → nombre dérivé → fonction dérivée

📖 2. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dérivée d’une fonction constante f(x)=a est $f'(x)=0$.

📐 Formule — La dérivée de f(x)=ax est $f'(x)=a$.

📐 Formule — Pour tout entier n≥1, la dérivée de f(x)=x^n est $f'(x)=nx^{n-1}$.

📖 3. Opérations sur les dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule — Si u et v sont dérivables sur I, alors $(u+v)'=u'+v'$.

📐 Formule — Si k est une constante et u est dérivable, alors $(ku)'=ku'$.

📐 Formule — Si u ne s’annule pas sur I, alors $(1/u)'=-u'/u^2$.

Compléments

• Pour f(x)=x^3+x^2, l’application de la règle de la somme donne $f'(x)=3x^2+2x$.

📖 4. Variations d’une fonction

★ À maîtriser

📌 Si une fonction f est définie et dérivable sur un intervalle I et vérifie f′(x)≤0 sur I, alors f est décroissante sur I.

📌 Si une fonction f est définie et dérivable sur un intervalle I et vérifie f′(x)≥0 sur I, alors f est croissante sur I.

• Pour dresser le tableau de variations, on calcule f′, on résout f′(x)=0, on étudie le signe de f′, puis on déduit les variations de f.

Compléments

• Pour f(x)=x^3+9/2 x^2−12x+5, on a f′(x)=3x^2+9x−12 et f′ s’annule en −4 et 1.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → sens de variation de f

📖 5. Extremum d’une fonction

★ À maîtriser

📌 Si f′ s’annule et change de signe en un réel c d’un intervalle ouvert I, alors f admet un extremum en x=c.

• Pour rechercher un extremum, on calcule f′, on résout f′(x)=0, on étudie le changement de signe de f′, puis on calcule la valeur de f au point critique.

• La fonction f(x)=5x^2−3x+4 admet un minimum égal à 71/20 en x=3/10.

Compléments

• Pour f(x)=5x^2−3x+4, la dérivée s’annule en x=3/10 et change de signe de négatif à positif.

💡 Astuce mémo

f′ s’annule → f′ change de signe → extremum

📊 Tableaux de synthèse

Opérations de dérivation