QCM : Fonction logarithme népérien (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition de la fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée et vaut 1 en 1.
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, égale à son opposée et vaut 1 en 0.
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée et vaut 1 en 0.
La fonction exponentielle est continue sur ℝ, égale à sa dérivée et vaut 1 en 0.
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée et vaut 0 en 0.

La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée et vaut 1 en 0.

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Les valeurs en 0 ou 1, l’égalité à l’opposée et la seule continuité ne reprennent pas cette définition.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les caractéristiques de la fonction exponentielle, lesquelles sont exactes ?

La fonction exponentielle est strictement décroissante et positive sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle est définie et continue sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle est définie et continue seulement pour les réels positifs.
La fonction exponentielle est dérivable et strictement croissante sur l’ensemble des réels.

La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives sur l’ensemble des réels. · La fonction exponentielle est définie et continue sur l’ensemble des réels. · La fonction exponentielle est dérivable et strictement croissante sur l’ensemble des réels.

Explication

La fonction exponentielle est définie, continue et dérivable sur ℝ, strictement croissante et strictement positive. Elle est donc croissante, et son domaine n’est pas limité aux réels positifs.

3. Pour tout réel xx, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant la dérivée de l’exponentielle :

La dérivée de exp⁡(x)\exp(x) est égale à xexp⁡(x)x\exp(x).
La dérivée de exp⁡(x)\exp(x) est égale à −exp⁡(x)-\exp(x).
La dérivée de exp⁡(x)\exp(x) est égale à exe^x.
La dérivée de exp⁡(x)\exp(x) est égale à exp⁡(x)\exp(x).
La dérivée de exp⁡(x)\exp(x) est égale à exp⁡′(x)\exp'(x).

La dérivée de $$\exp(x)$$ est égale à $$e^x$$. · La dérivée de $$\exp(x)$$ est égale à $$\exp(x)$$. · La dérivée de $$\exp(x)$$ est égale à $$\exp'(x)$$.

Explication

La dérivée de l’exponentielle est l’exponentielle elle-même, soit exp⁡(x)\exp(x), également notée exe^x. Elle n’est pas son opposée ni xexp⁡(x)x\exp(x).

4. L’image de la fonction exponentielle et la bijection qu’elle réalise se caractérisent ainsi :

L’image de la fonction exponentielle est l’intervalle [0;+∞[[0 ; +\infty[.
La fonction exponentielle réalise une bijection de ]0;+∞[]0 ; +\infty[ sur ℝ.
La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
L’image de la fonction exponentielle est l’intervalle ]0;+∞[]0 ; +\infty[.
L’ensemble de départ de cette bijection est ℝ.

La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur $$]0 ; +\infty[$$. · L’image de la fonction exponentielle est l’intervalle $$]0 ; +\infty[$$. · L’ensemble de départ de cette bijection est ℝ.

Explication

L’exponentielle établit une bijection de ℝ sur son image, l’intervalle ]0;+∞[]0 ; +\infty[. L’intervalle image n’inclut pas zéro et les ensembles de départ et d’arrivée ne sont pas inversés.

5. À propos du domaine et de l’ensemble des valeurs du logarithme népérien :

Le logarithme népérien prend ses valeurs dans ℝ.
Le logarithme népérien est défini pour tout réel.
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle.
L’exponentielle est définie pour tout réel.
Le logarithme népérien est défini sur ]0;+∞]0 ; +\infty.

Le logarithme népérien prend ses valeurs dans ℝ. · Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle. · L’exponentielle est définie pour tout réel. · Le logarithme népérien est défini sur $$]0 ; +\infty$$.

Explication

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle, de domaine ]0;+∞[]0 ; +\infty[ et à valeurs dans ℝ. C’est l’exponentielle, et non le logarithme, qui est définie pour tout réel.

6. Quelles sont les valeurs de référence exactes du logarithme népérien ?

Le logarithme népérien de 1 vaut 1.
Le logarithme népérien de 1 vaut 0.
Le logarithme népérien de ee vaut 1.
Le logarithme népérien de 0 vaut 1.
Le logarithme népérien de ee vaut 0.

Le logarithme népérien de 1 vaut 0. · Le logarithme népérien de $$e$$ vaut 1.

Explication

Les valeurs de référence sont ln⁡1=0\ln 1=0 et ln⁡e=1\ln e=1. Les valeurs proposées pour ln⁡1\ln 1 et ln⁡e\ln e sont donc inversées dans les distracteurs, et le logarithme népérien n’est pas défini en 0.

7. Concernant les usages du logarithme décimal et du logarithme népérien, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le logarithme népérien sert notamment à manipuler les puissances de 10.
Le logarithme décimal est surtout utilisé en sciences physiques.
Le logarithme décimal aide à manipuler les puissances de 10.
Le logarithme népérien est surtout utilisé en chimie.
Le logarithme décimal est principalement utilisé en mathématiques.

Le logarithme décimal est surtout utilisé en sciences physiques. · Le logarithme décimal aide à manipuler les puissances de 10.

Explication

Le logarithme décimal facilite la manipulation des puissances de 10 et s’utilise surtout en sciences physiques, particulièrement en chimie. Le logarithme népérien, lui, est utilisé en mathématiques.

8. Concernant le logarithme d’un produit de nombres positifs :

Pour a>0a>0 et b>0b>0, ln⁡(ab)=ln⁡a×ln⁡b\ln(ab)=\ln a\times\ln b.
Le logarithme d’un produit de facteurs positifs donne une somme de logarithmes.
Pour a>0a>0 et b>0b>0, ln⁡(ab)=ln⁡a−ln⁡b\ln(ab)=\ln a-\ln b.
Pour a>0a>0 et b>0b>0, ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b)=\ln a+\ln b.
Pour a>0a>0 et b>0b>0, ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b.

Le logarithme d’un produit de facteurs positifs donne une somme de logarithmes. · Pour $$a>0$$ et $$b>0$$, $$\ln(ab)=\ln a+\ln b$$.

Explication

Pour deux facteurs positifs, ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b : le logarithme transforme le produit en somme. La différence correspond au logarithme d’un quotient, et la propriété ne s’applique pas ainsi à une somme ni à un produit de logarithmes.

9. Parmi les propositions suivantes concernant le logarithme d’une puissance, lesquelles sont exactes ?

Pour a>0a>0 et tout entier relatif nn, ln⁡(an)=ln⁡a+n\ln(a^n)=\ln a+n.
Pour a>0a>0 et tout entier relatif nn, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a.
Pour a>0a>0, ln⁡(a2)=2ln⁡a\ln(a^2)=2\ln a.
Pour a>0a>0 et tout entier relatif nn, ln⁡(an)=1nln⁡a\ln(a^n)=\frac{1}{n}\ln a.
Pour a>0a>0, ln⁡(a−1)=−ln⁡a\ln(a^{-1})=-\ln a.

Pour $$a>0$$ et tout entier relatif $$n$$, $$\ln(a^n)=n\ln a$$. · Pour $$a>0$$, $$\ln(a^2)=2\ln a$$. · Pour $$a>0$$, $$\ln(a^{-1})=-\ln a$$.

Explication

La règle générale est ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a pour a>0a>0 et un entier relatif nn. Elle donne notamment les cas de l’exposant 2 et de l’exposant −1 ; les formes avec une somme ou un facteur inverse ne conviennent pas.

10. Concernant l’égalité de deux logarithmes népériens :

Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes équivaut à l’égalité de ces réels.
Pour deux réels positifs, des logarithmes égaux correspondent à des arguments égaux.
Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes entraîne l’égalité de ces réels.
Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes entraîne que ces réels sont opposés.
Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes entraîne que leur produit vaut un.

Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes équivaut à l’égalité de ces réels. · Pour deux réels positifs, des logarithmes égaux correspondent à des arguments égaux. · Pour deux réels positifs, l’égalité de leurs logarithmes entraîne l’égalité de ces réels.

Explication

Le logarithme népérien est injectif sur les réels positifs : des logarithmes égaux équivalent donc à des arguments égaux. L’égalité des logarithmes n’impose ni des arguments opposés ni un produit égal à un.

11. Concernant les variations de la fonction logarithme népérien :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle ]0;+∞[]0;+\infty[.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’ensemble des réels.
La fonction logarithme népérien possède le même sens de variation que l’exponentielle.
La fonction logarithme népérien conserve l’ordre des réels positifs sur son domaine.
La fonction logarithme népérien est strictement décroissante sur l’intervalle ]0;+∞[]0;+\infty[.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle $$]0;+\infty[$$. · La fonction logarithme népérien possède le même sens de variation que l’exponentielle. · La fonction logarithme népérien conserve l’ordre des réels positifs sur son domaine.

Explication

Le logarithme népérien est strictement croissant sur ]0;+∞[]0;+\infty[, comme sa fonction réciproque, l’exponentielle ; il conserve donc l’ordre sur ce domaine. Il n’est pas décroissant et son domaine n’est pas l’ensemble des réels.

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Comment caractérise-t-on la fonction exponentielle par sa dérivée et sa valeur en zéro ?

C’est l’unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} égale à sa dérivée et valant 1 en 0.

Sur quel ensemble la fonction exponentielle est-elle définie, continue et dérivable ?

Sur R\mathbb{R}.

Quel est le sens de variation de la fonction exponentielle sur R\mathbb{R} ?

Elle est strictement croissante.

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