Fiche de révision : Fonction logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Fonction exponentielle et bijection
2. Définition et valeurs de référence
3. Propriétés algébriques du logarithme
4. Résolution des équations logarithmiques
5. Variations et inéquations logarithmiques

📖 1. Fonction exponentielle et bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : L’unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa dérivée et prend la valeur 1 en 0.

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ℝ, et elle est strictement positive sur ℝ.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\exp'(x)=\exp(x)$.

• La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur son image, l’intervalle ]0 ; +∞[.

Compléments

• La fonction exponentielle vérifie exp(0) = 1 et exp(1) = e, avec e ≈ 2,718.

📖 2. Définition et valeurs de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : La fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie sur ]0 ; +∞[ et à valeurs dans ℝ.

★ À maîtriser

• Pour tout réel x > 0, ln x est l’unique antécédent de x par la fonction exponentielle.

• Les valeurs de référence sont ln 1 = 0 et ln e = 1.

Compléments

📌 Le logarithme décimal sert notamment à manipuler les puissances de 10 et est surtout utilisé en sciences physiques, particulièrement en chimie, tandis que le logarithme népérien est utilisé en mathématiques.

💡 Astuce mémo

À x > 0 correspond ln x dans ℝ ; à y ∈ ℝ correspond eʸ > 0.

📖 3. Propriétés algébriques du logarithme

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a > 0 et b > 0, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

📐 Formule - Pour a > 0 et tout entier relatif n, $\ln(a^n)=n\ln a$.

Compléments

📐 Formule - Pour a > 0, $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$.

📐 Formule - Pour a > 0, $\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln a$.

💡 Astuce mémo

Produit → somme ; quotient → différence.

📖 4. Résolution des équations logarithmiques

★ À maîtriser

• Pour a > 0 et b > 0, ln a = ln b si et seulement si a = b, car le logarithme népérien est une bijection de ]0 ; +∞[ sur ℝ.

• Pour résoudre ln x = 4, on détermine le domaine x > 0, on écrit 4 = ln(e⁴), puis on obtient x = e⁴ et on vérifie que cette solution appartient au domaine.

Compléments

• L’équation ln x = 4 a pour ensemble de solutions {e⁴}.

💡 Astuce mémo

Domaine, réécriture logarithmique, vérification.

📖 5. Variations et inéquations logarithmiques

📝 Points essentiels

• La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, comme sa fonction réciproque exponentielle.

📌 Pour a > 0 et b > 0, la stricte croissance du logarithme implique que a > b entraîne ln a > ln b.