QCM : Fonction polynôme du second degré — 4 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R} ?

f(x)=2x2−5x+1f(x)=2x^2-5x+1
f(x)=2x−5f(x)=\frac{2}{x}-5
f(x)=2x3−5x+1f(x)=2x^3-5x+1
f(x)=2x−5f(x)=2x-5

$$f(x)=2x^2-5x+1$$

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0, donc elle comporte un terme en x2x^2. L’expression affine 2x−52x-5 ne contient pas de terme en x2x^2 et relève du premier degré.

2. Pourquoi la fonction définie par f(x)=3x−7f(x)=3x-7 n’est-elle pas une fonction polynôme du second degré ?

Elle est définie par une expression comportant deux termes.
Elle contient un terme constant égal à −7-7.
Elle ne contient pas de terme en x2x^2.
Son coefficient de xx est égal à 33.

Elle ne contient pas de terme en $$x^2$$.

Explication

La forme 3x−73x-7 est affine, car son degré maximal est celui de xx et aucun terme en x2x^2 n’apparaît. La présence d’un terme constant ou d’un coefficient de xx ne suffit pas à caractériser le second degré.

3. Pour une fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelle relation donne l’abscisse α\alpha associée à la forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}
α=b2a\alpha=\frac{b}{2a}
α=c2a\alpha=\frac{c}{2a}
α=−2ab\alpha=-\frac{2a}{b}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$

Explication

Dans la forme canonique, l’abscisse est calculée par α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}, puis l’ordonnée correspondante est β=f(α)\beta=f(\alpha). La relation b2a\frac{b}{2a} omet le signe négatif nécessaire.

4. Pour mettre f(x)=4x2−8x+11f(x)=4x^2-8x+11 sous forme canonique, quel résultat obtient-on ?

f(x)=4(x−1)2−7f(x)=4(x-1)^2-7
f(x)=4(x−1)2+7f(x)=4(x-1)^2+7
f(x)=4(x+1)2+7f(x)=4(x+1)^2+7
f(x)=4(x−2)2+11f(x)=4(x-2)^2+11

$$f(x)=4(x-1)^2+7$$

Explication

On calcule α=−−82×4=1\alpha=-\frac{-8}{2\times4}=1, puis β=f(1)=7\beta=f(1)=7, ce qui conduit à la forme canonique indiquée. Le signe dans x−1x-1 et la valeur de β\beta dépendent directement de ces deux calculs.

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Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.

Pourquoi f(x)=3x−7 n'est-elle pas une fonction polynôme du second degré ?

Elle ne contient pas de terme en x².

Quelle est la forme canonique de f(x)=ax²+bx+c ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha).

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