Fiche de révision : Fonctions composées et limites

📋 Plan du Cours

1. Composition et dérivation des fonctions
2. Dérivées successives
3. Limites et asymptotes
4. Limites des fonctions de référence
5. Opérations sur les limites
6. Limites de produits et quotients
7. Limites par composition
8. Lever les formes indéterminées
9. Théorèmes de comparaison et encadrement
10. Croissance comparée de l’exponentielle

📖 1. Composition et dérivation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Composée de u suivie de v lorsque f = v ○ u et que u(x) appartient au domaine de v pour tout x considéré.

★ À maîtriser

📌 Pour calculer (v ○ u)(x), on calcule d’abord u(x), puis on applique v à u(x) ; en général, v ○ u ≠ u ○ v, et v ○ u peut exister sans que u ○ v existe.

📐 Formule - Si f = v ○ u, alors $f'(x)=u'(x)\times v'(u(x))$.

Compléments

• Pour u(x) = x² et v(x) = (3x − 1)/(x + 1), (v ○ u)(x) = (3x² − 1)/(x² + 1) est défini sur ℝ, tandis que (u ○ v)(x) = ((3x − 1)/(x + 1))² est défini sur ℝ{−1}.

📐 Formule - Pour une fonction dérivable u, les dérivées de puissances composées sont $(u^n)'=nu^{n-1}u'$ pour n ≠ 0, et $\left(\frac{1}{u^n}\right)'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}$ pour n ≥ 1, avec u(x) ≠ 0 pour l’inverse.

📐 Formule - Les dérivées des fonctions composées usuelles sont $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ pour u(x) > 0 et $(e^u)'=e^u u'$.

💡 Astuce mémo

Dans « v rond u », appliquer d’abord u, puis v.

📖 2. Dérivées successives

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : Dérivée de la fonction dérivée f′ ; f est deux fois dérivable sur I lorsque f′ est elle-même dérivable sur I.

📝 Points essentiels

• Les dérivées successives d’ordre supérieur se notent f⁽ⁿ⁾, par exemple la dérivée troisième ou quatrième.

• Pour f(x) = −2x³ + 2x − 7, f′(x) = −6x² + 2, f″(x) = −12x et f⁽³⁾(x) = −12.

📖 3. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie à l’infini : La fonction f a pour limite le réel ℓ quand x tend vers +∞ si, pour tout intervalle ouvert contenant ℓ, f(x) appartient à cet intervalle pour x assez grand ; la droite y = ℓ est alors une asymptote horizontale en +∞.
• Asymptote verticale : Si f tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers a, la droite x = a est une asymptote verticale à sa courbe représentative.
• Limite infinie à l’infini : La limite de f est +∞ quand x tend vers +∞ si, pour tout réel A, f(x) > A pour x assez grand ; elle est −∞ si, pour tout réel B, f(x) < B pour x assez grand, et les définitions s’étendent à x tendant vers −∞.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = 1/x, le domaine est ℝ{0} et ses bornes sont −∞, +∞, 0 par valeurs positives et 0 par valeurs négatives.

• Une fonction qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞ n’est pas nécessairement croissante, et une fonction sinusoïdale peut n’avoir ni limite finie ni limite infinie à l’infini.

• Pour étudier une asymptote verticale en a, on examine la limite au voisinage de la valeur interdite, éventuellement séparément à droite et à gauche.

• Pour g(x) = −1/(x − 3)², les limites à gauche et à droite de 3 valent −∞, donc x = 3 est une asymptote verticale.

• Pour f(x) = 1/x, la limite à droite de 0 vaut +∞ et celle à gauche vaut −∞ ; la droite x = 0 est une asymptote verticale.

📌 Si a appartient au domaine de f et si f admet une limite ℓ en a, alors ℓ = f(a).

📖 4. Limites des fonctions de référence

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout entier naturel n ≥ 1, $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; si n est impair, $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$, et si n est pair, $\lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty$.

📐 Formule - Les limites de la racine carrée et de l’exponentielle sont $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📖 5. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Limite qui ne peut pas être calculée directement à l’aide des propriétés sur les opérations de limites.

★ À maîtriser

📌 Si f tend vers ℓ et g vers ℓ′ lorsque x tend vers a, alors f + g tend vers ℓ + ℓ′.

Compléments

• La somme d’une fonction tendant vers +∞ et d’une fonction tendant vers −∞ constitue une forme indéterminée.

📖 6. Limites de produits et quotients

★ À maîtriser

📌 Si f tend vers ℓ et g vers ℓ′ lorsque x tend vers a, alors leur produit tend vers ℓℓ′.

📌 Si f tend vers ℓ et g vers ℓ′ non nul lorsque x tend vers a, alors le quotient tend vers ℓ/ℓ′.

Compléments

📌 Si f tend vers un réel ℓ non nul et g vers +∞, alors le produit tend vers +∞ ou −∞ selon le signe de ℓ.

📌 Si le dénominateur tend vers 0, le signe du quotient dépend du signe du dénominateur et des signes du numérateur et du dénominateur.

• La limite de $(e^x+2)(\frac1x-3)$ lorsque x tend vers −∞ vaut −6, ce qui donne une asymptote horizontale d’équation y = −6.

• La limite de $\frac{-7}{x^2}$ lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives vaut −∞, donc la courbe admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

📖 7. Limites par composition

★ À maîtriser

📌 Si une suite u_n tend vers b et si f(x) tend vers c lorsque x tend vers b, alors f(u_n) tend vers c.

Compléments

• Lorsque n tend vers +∞, l’expression $e^{\frac1n+5}$ tend vers $e^5$.

📖 8. Lever les formes indéterminées

★ À maîtriser

• Les quatre formes indéterminées sont +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0.

Compléments

• Pour lever une forme indéterminée à l’infini dans un polynôme, on factorise par le terme de plus haut degré.

• Pour lever une forme indéterminée dans une fraction rationnelle à l’infini, on factorise au numérateur et au dénominateur par les termes de plus haut degré.

• Pour lever une forme indéterminée avec des radicaux, on utilise l’expression conjuguée.

• Pour $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{(x-2)(2x-1)}$, la simplification par le facteur commun x−2 donne $\frac{x-3}{2x-1}$ et la limite en 2 vaut −1/3.

📖 9. Théorèmes de comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si f(x) ≥ g(x) près de α et si g tend vers +∞ en α, alors f tend vers +∞ en α.

📌 Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) près de α et si h et g tendent toutes deux vers ℓ, alors f tend vers ℓ.

Compléments

• Comme −1 ≤ sin x ≤ 1 et x > 0, on a −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x, donc sin(x)/x tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Comparaison : une borne tend vers l’infini ; gendarmes : les deux bornes convergent vers la même limite.

📖 10. Croissance comparée de l’exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier n ≥ 1, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

• Lorsque x tend vers −∞, $xe^x\to0$ et, pour tout entier n ≥ 1, $x^ne^x\to0$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque x tend vers +∞, $\frac{e^x}{\sqrt{x}}\to+\infty$.

• À +∞, l’exponentielle e^x l’emporte sur les puissances x^n.

• Lorsque x tend vers +∞, $x(e^x-x)$ tend vers +∞.