QCM : Fonctions composées et limites (21 questions)

Question 1

1. On définit $u(x)=x+2$ et $v(t)=t^2$ . Pour calculer $(v\circ u)(3)$ , quelle opération faut-il effectuer ?

Calculer

u(3)

, puis ajouter deux au résultat obtenu

Calculer d’abord

u(3)

, puis élever le résultat au carré

Calculer

u(3)

et

v(3)

, puis additionner les résultats

Calculer d’abord

v(3)

, puis ajouter deux au résultat

Explication

Dans $v\circ u$ , on applique d’abord la fonction intérieure $u$ , puis $v$ au résultat. Inverser l’ordre correspond à $u\circ v$ , additionner les images ne calcule pas une composée, et ajouter deux après le carré ne correspond pas à $v(u(3))$ .

Answer

Calculer d’abord $$u(3)$$, puis élever le résultat au carré

Question 2

2. Pour deux fonctions $u$ et $v$ , quelle condition permet de définir $f=v\circ u$ pour les valeurs de $x$ considérées ?

Les valeurs

v(x)

doivent appartenir au domaine de définition de

u

Les valeurs

u(x)

doivent appartenir au domaine de définition de

v

Les valeurs

x

doivent appartenir au domaine de définition de

v

Les domaines de définition de

u

et

v

doivent être identiques

Explication

La composée $v\circ u$ est définie lorsque les sorties de $u$ peuvent servir d’entrées à $v$ . La condition sur $v(x)$ inverse les fonctions, l’égalité des domaines n’est pas requise, et la condition sur $x$ dans le domaine de $v$ ne garantit pas que $u(x)$ y appartient.

Answer

Les valeurs $$u(x)$$ doivent appartenir au domaine de définition de $$v$$

Question 3

3. Une fonction est définie par $f(x)=v(u(x))$ , avec $u(2)=5$ , $u'(2)=3$ et $v'(5)=-4$ . Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?

12

-12

-4

7

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne $f'(2)=u'(2)\times v'(u(2))=3\times(-4)=-12$ . Utiliser $v'(2)$ prend la mauvaise entrée, additionner les dérivées n’est pas la règle, et inverser le produit ne change pas ici la valeur obtenue.

Answer

La dérivée de la fonction $$f'$$

Answer

f tend vers ℓ en +∞ et y = ℓ est une asymptote horizontale

Answer

La droite x = 4

Answer

$$-\infty$$

Answer

La forme est indéterminée

Answer

$$+\infty-\infty$$

Answer

Multiplier par l’expression conjuguée

Answer

$$f(x)\to+\infty$$ lorsque $$x\to a$$

Answer

$$f(x)\to 3$$ lorsque $$x\to a$$

Answer

Il tend vers $$+\infty$$.

Question 4

4. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle, et sa dérivée $f'$ y est également dérivable. Que représente $f''$ ?

Une fonction dont la dérivée est

f

La dérivée de la fonction

f

La dérivée de la fonction

f'

La dérivée de la fonction identité

x\mapsto x

Explication

La dérivée seconde est obtenue en dérivant la fonction dérivée $f'$ , soit $f''=(f')'$ . La dérivée de $f$ est $f'$ , celle de l’identité vaut 1, et une fonction dont la dérivée est $f$ serait une primitive de $f$ .

Question 5

5. Pour $f(x)=-2x^3+2x-7$ , quelle est la dérivée troisième $f^{(3)}(x)$ ?

-6x^2

-12

-6

-12x

Explication

On dérive successivement : $f'(x)=-6x^2+2$ , puis $f''(x)=-12x$ , enfin $f^{(3)}(x)=-12$ . La valeur $-12x$ correspond à la dérivée seconde, tandis que $-6x^2$ s’arrête à la dérivée du terme cubique et $-6$ omet le facteur 2 du coefficient initial.

Question 6

6. Quand, pour tout intervalle ouvert contenant un réel ℓ, les valeurs de f(x) appartiennent à cet intervalle dès que x est assez grand, quelle conclusion peut-on tirer ?

f tend vers ℓ en +∞ et y = ℓ est une asymptote horizontale

f tend vers +∞ et x = ℓ est une asymptote verticale

f tend vers ℓ en +∞ et x = ℓ est une asymptote verticale

f tend vers −∞ et y = ℓ est une asymptote horizontale

Explication

L’appartenance des valeurs de f à tout intervalle ouvert contenant ℓ pour x assez grand caractérise la limite finie ℓ en +∞, associée à l’asymptote horizontale y = ℓ. Une limite infinie n’est pas une limite finie, et une asymptote verticale s’écrit x = a.

Question 7

7. Au voisinage de x = 4, une fonction tend vers +∞. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

La droite y = +∞

La droite x = +∞

La droite x = 4

La droite y = 4

Explication

Une limite égale à +∞ lorsque x tend vers a entraîne une asymptote verticale d’équation x = a ; ici, c’est x = 4. La droite y = 4 est horizontale, tandis que +∞ n’est pas une coordonnée réelle pour une droite.

Question 8

8. Pour la fonction définie par $f(x)=x^7$ , vers quelle limite tend f(x) lorsque x tend vers $-\infty$ ?

La limite n’existe pas

+\infty

0

-\infty

Explication

Une puissance d’exposant impair conserve le signe de x ; ainsi, lorsque x tend vers −∞, $x^7$ tend vers −∞. Le résultat +∞ correspond au cas d’un exposant pair à −∞, et la limite à +∞ ne décrit pas le comportement demandé.

Question 9

9. Une grandeur est modélisée par $g(t)=e^t$ . Quelle est sa limite lorsque $t\to-\infty$ ?

La limite n’existe pas

0

+\infty

-\infty

Explication

L’exponentielle tend vers 0 lorsque son argument tend vers −∞. La limite +∞ vaut pour l’exponentielle quand l’argument tend vers +∞ ; les limites de puissances ou de la racine carrée ne s’appliquent pas à cette fonction.

Question 10

10. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $-3$ et que $g(x)$ tend vers $8$ . Quelle est la limite de $f(x)+g(x)$ ?

5

-24

\frac{8}{-3}

-11

Explication

Lorsque les deux limites sont finies, la limite de la somme est la somme des limites : $-3+8=5$ . $-11$ vient d’une soustraction, $-24$ d’un produit et $\frac{8}{-3}$ d’un quotient.

Question 11

11. Quand $x$ tend vers $a$ , une fonction tend vers $+\infty$ et une autre vers $-\infty$ . Que peut-on conclure directement sur la limite de leur somme ?

La limite est

+\infty

La limite est

-\infty

La forme est indéterminée

La limite est

0

Explication

La somme de limites $+\infty$ et $-\infty$ est une forme indéterminée : les informations données ne suffisent pas à calculer directement la limite. Choisir $+\infty$ ou $-\infty$ néglige l’un des termes, tandis que $0$ suppose une compensation qui n’est pas établie.

Question 12

12. Lorsque $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $-4$ et $g(x)$ tend vers $3$ . Vers quelle limite tend leur produit ?

-12

12

-1

-\frac{4}{3}

Explication

La limite d’un produit de deux fonctions ayant des limites finies est le produit de ces limites : $(-4)\times3=-12$ . $-1$ correspond à une somme, $-\frac{4}{3}$ à un quotient et $12$ oublie le signe négatif.

Question 13

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $10$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $-2$ . Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

-20

-\frac{1}{5}

-5

5

Explication

Puisque la limite du dénominateur est non nulle, la limite du quotient est le quotient des limites : $\frac{10}{-2}=-5$ . $-\frac{1}{5}$ inverse le quotient, $-20$ multiplie les limites et $5$ néglige le signe du dénominateur.

Question 14

14. Une suite $u_n$ tend vers $2$ , et une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to2}f(x)=-3$ . Quelle est la limite de $f(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

-3

f(-3)

La limite n’est pas déterminable

2

Explication

Le théorème de composition donne la limite de $f(u_n)$ égale à la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers la limite de $u_n$ , soit $-3$ . Répondre $2$ confond la limite de la suite avec celle de son image.

Question 15

15. Quand $n$ tend vers $+\infty$ , vers quelle valeur tend l’expression $e^{\frac{1}{n}+2}$ ?

e^2

e^0=1

2

e^3

Explication

Comme $\frac{1}{n}$ tend vers 0, l’exposant tend vers 2; par continuité de l’exponentielle, l’expression tend vers $e^2$ . La réponse 2 confond la limite de l’exposant avec celle de son exponentielle.

Question 16

16. Laquelle des expressions suivantes est une forme indéterminée ?

+\infty+\infty

0\times 0

\frac{3}{0}

+\infty-\infty

Explication

La différence $+\infty-\infty$ figure parmi les quatre formes indéterminées. Une somme de deux infinis n’en fait pas partie, et $0\times0$ tend vers 0.

Question 17

17. Pour étudier une limite faisant apparaître une différence de deux radicaux et une forme indéterminée, quelle transformation convient ?

Factoriser numérateur et dénominateur

Factoriser par le terme de plus haut degré

Supprimer les signes de radical

Multiplier par l’expression conjuguée

Explication

Pour lever une indétermination impliquant des radicaux, on multiplie par l’expression conjuguée afin de transformer la différence de racines. La factorisation par le terme dominant concerne les polynômes ou les fractions rationnelles.

Question 18

18. Au voisinage de $a$ , on sait que $f(x)\geq g(x)$ et que $g(x)\to+\infty$ lorsque $x\to a$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $f$ ?

f(x)\to+\infty

lorsque

x\to a

f(x)

tend vers une limite finie lorsque

x\to a

f(x)\to-\infty

lorsque

x\to a

Aucune conclusion sur la limite de

f

n’est possible

Explication

Une fonction minorée par une fonction qui tend vers $+\infty$ tend elle aussi vers $+\infty$ . La limite $-\infty$ inverse le sens de la comparaison, une limite finie attribue à tort à $f$ un comportement borné, et l’absence de conclusion oublie le théorème de comparaison.

Question 19

19. Près de $a$ , une fonction $f$ vérifie $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ , avec $h(x)\to 3$ et $g(x)\to 3$ lorsque $x\to a$ . Vers quelle limite tend $f$ ?

f(x)\to+\infty

lorsque

x\to a

f(x)\to h(x)

lorsque

x\to a

f(x)\to g(x)

lorsque

x\to a

f(x)\to 3

lorsque

x\to a

Explication

Lorsque les deux fonctions qui encadrent $f$ tendent vers la même limite, le théorème des gendarmes donne cette limite à $f$ . Les réponses $h(x)$ et $g(x)$ confondent une fonction avec sa limite, tandis que la divergence ne découle pas de cet encadrement.

Question 20

20. Pour un entier $n\geq1$ , que devient le quotient $\dfrac{e^x}{x^n}$ lorsque $x\to+\infty$ ?

Il tend vers

0

.

Il tend vers

1

.

Il tend vers

+\infty

.

Il tend vers

-\infty

.

Explication

À $+\infty$ , l’exponentielle croît plus vite que toute puissance entière positive, donc le quotient tend vers $+\infty$ . La limite $0$ inverse cette domination, la limite $1$ suppose à tort une croissance comparable, et $-\infty$ transpose un comportement qui ne correspond pas à cette expression.

Question 21

21. Quand $x\to-\infty$ , quelle limite obtient-on pour $x^4e^x$ ?

0

1

+\infty

-\infty

Explication

Lorsque $x\to-\infty$ , le produit $x^n e^x$ tend vers $0$ pour tout entier $n\geq1$ , donc c’est aussi le cas pour $n=4$ . La réponse $+\infty$ applique à tort la croissance à $+\infty$ , $-\infty$ néglige la décroissance exponentielle, et $1$ ne découle pas de la règle.

QCM : Fonctions composées et limites (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On définit $u(x)=x+2$ et $v(t)=t^2$ . Pour calculer $(v\circ u)(3)$ , quelle opération faut-il effectuer ?

2. Pour deux fonctions $u$ et $v$ , quelle condition permet de définir $f=v\circ u$ pour les valeurs de $x$ considérées ?

3. Une fonction est définie par $f(x)=v(u(x))$ , avec $u(2)=5$ , $u'(2)=3$ et $v'(5)=-4$ . Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?

4. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle, et sa dérivée $f'$ y est également dérivable. Que représente $f''$ ?

5. Pour $f(x)=-2x^3+2x-7$ , quelle est la dérivée troisième $f^{(3)}(x)$ ?

6. Quand, pour tout intervalle ouvert contenant un réel ℓ, les valeurs de f(x) appartiennent à cet intervalle dès que x est assez grand, quelle conclusion peut-on tirer ?

7. Au voisinage de x = 4, une fonction tend vers +∞. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

8. Pour la fonction définie par $f(x)=x^7$ , vers quelle limite tend f(x) lorsque x tend vers $-\infty$ ?

9. Une grandeur est modélisée par $g(t)=e^t$ . Quelle est sa limite lorsque $t\to-\infty$ ?

10. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $-3$ et que $g(x)$ tend vers $8$ . Quelle est la limite de $f(x)+g(x)$ ?

11. Quand $x$ tend vers $a$ , une fonction tend vers $+\infty$ et une autre vers $-\infty$ . Que peut-on conclure directement sur la limite de leur somme ?

12. Lorsque $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $-4$ et $g(x)$ tend vers $3$ . Vers quelle limite tend leur produit ?

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $10$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $-2$ . Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

14. Une suite $u_n$ tend vers $2$ , et une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to2}f(x)=-3$ . Quelle est la limite de $f(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

15. Quand $n$ tend vers $+\infty$ , vers quelle valeur tend l’expression $e^{\frac{1}{n}+2}$ ?

16. Laquelle des expressions suivantes est une forme indéterminée ?

17. Pour étudier une limite faisant apparaître une différence de deux radicaux et une forme indéterminée, quelle transformation convient ?

18. Au voisinage de $a$ , on sait que $f(x)\geq g(x)$ et que $g(x)\to+\infty$ lorsque $x\to a$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $f$ ?

19. Près de $a$ , une fonction $f$ vérifie $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ , avec $h(x)\to 3$ et $g(x)\to 3$ lorsque $x\to a$ . Vers quelle limite tend $f$ ?

20. Pour un entier $n\geq1$ , que devient le quotient $\dfrac{e^x}{x^n}$ lorsque $x\to+\infty$ ?

21. Quand $x\to-\infty$ , quelle limite obtient-on pour $x^4e^x$ ?

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QCM : Fonctions composées et limites (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On définit u(x)=x+2u(x)=x+2u(x)=x+2 et v(t)=t2v(t)=t^2v(t)=t2. Pour calculer (v∘u)(3)(v\circ u)(3)(v∘u)(3), quelle opération faut-il effectuer ?

2. Pour deux fonctions uuu et vvv, quelle condition permet de définir f=v∘uf=v\circ uf=v∘u pour les valeurs de xxx considérées ?

3. Une fonction est définie par f(x)=v(u(x))f(x)=v(u(x))f(x)=v(u(x)), avec u(2)=5u(2)=5u(2)=5, u′(2)=3u'(2)=3u′(2)=3 et v′(5)=−4v'(5)=-4v′(5)=−4. Quelle est la valeur de f′(2)f'(2)f′(2) ?

4. Une fonction fff est dérivable sur un intervalle, et sa dérivée f′f'f′ y est également dérivable. Que représente f′′f''f′′ ?

5. Pour f(x)=−2x3+2x−7f(x)=-2x^3+2x-7f(x)=−2x3+2x−7, quelle est la dérivée troisième f(3)(x)f^{(3)}(x)f(3)(x) ?

6. Quand, pour tout intervalle ouvert contenant un réel ℓ, les valeurs de f(x) appartiennent à cet intervalle dès que x est assez grand, quelle conclusion peut-on tirer ?

7. Au voisinage de x = 4, une fonction tend vers +∞. Quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

8. Pour la fonction définie par f(x)=x7f(x)=x^7f(x)=x7, vers quelle limite tend f(x) lorsque x tend vers −∞-\infty−∞ ?

9. Une grandeur est modélisée par g(t)=etg(t)=e^tg(t)=et. Quelle est sa limite lorsque t→−∞t\to-\inftyt→−∞ ?

10. Lorsque xxx tend vers aaa, on sait que f(x)f(x)f(x) tend vers −3-3−3 et que g(x)g(x)g(x) tend vers 888. Quelle est la limite de f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) ?

11. Quand xxx tend vers aaa, une fonction tend vers +∞+\infty+∞ et une autre vers −∞-\infty−∞. Que peut-on conclure directement sur la limite de leur somme ?

12. Lorsque xxx tend vers aaa, f(x)f(x)f(x) tend vers −4-4−4 et g(x)g(x)g(x) tend vers 333. Vers quelle limite tend leur produit ?

13. Lorsque xxx tend vers aaa, le numérateur f(x)f(x)f(x) tend vers 101010 et le dénominateur g(x)g(x)g(x) tend vers −2-2−2. Quelle est la limite de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ ?

14. Une suite unu_nun​ tend vers 222, et une fonction fff vérifie lim⁡x→2f(x)=−3\lim_{x\to2}f(x)=-3limx→2​f(x)=−3. Quelle est la limite de f(un)f(u_n)f(un​) lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

15. Quand nnn tend vers +∞+\infty+∞, vers quelle valeur tend l’expression e1n+2e^{\frac{1}{n}+2}en1​+2 ?

16. Laquelle des expressions suivantes est une forme indéterminée ?

17. Pour étudier une limite faisant apparaître une différence de deux radicaux et une forme indéterminée, quelle transformation convient ?

18. Au voisinage de aaa, on sait que f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)f(x)≥g(x) et que g(x)→+∞g(x)\to+\inftyg(x)→+∞ lorsque x→ax\to ax→a. Quelle conclusion peut-on tirer sur fff ?

19. Près de aaa, une fonction fff vérifie h(x)≤f(x)≤g(x)h(x)\leq f(x)\leq g(x)h(x)≤f(x)≤g(x), avec h(x)→3h(x)\to 3h(x)→3 et g(x)→3g(x)\to 3g(x)→3 lorsque x→ax\to ax→a. Vers quelle limite tend fff ?

20. Pour un entier n≥1n\geq1n≥1, que devient le quotient exxn\dfrac{e^x}{x^n}xnex​ lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

21. Quand x→−∞x\to-\inftyx→−∞, quelle limite obtient-on pour x4exx^4e^xx4ex ?

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1. On définit $u(x)=x+2$ et $v(t)=t^2$ . Pour calculer $(v\circ u)(3)$ , quelle opération faut-il effectuer ?

2. Pour deux fonctions $u$ et $v$ , quelle condition permet de définir $f=v\circ u$ pour les valeurs de $x$ considérées ?

3. Une fonction est définie par $f(x)=v(u(x))$ , avec $u(2)=5$ , $u'(2)=3$ et $v'(5)=-4$ . Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?

4. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle, et sa dérivée $f'$ y est également dérivable. Que représente $f''$ ?

5. Pour $f(x)=-2x^3+2x-7$ , quelle est la dérivée troisième $f^{(3)}(x)$ ?

8. Pour la fonction définie par $f(x)=x^7$ , vers quelle limite tend f(x) lorsque x tend vers $-\infty$ ?

9. Une grandeur est modélisée par $g(t)=e^t$ . Quelle est sa limite lorsque $t\to-\infty$ ?

10. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $-3$ et que $g(x)$ tend vers $8$ . Quelle est la limite de $f(x)+g(x)$ ?

11. Quand $x$ tend vers $a$ , une fonction tend vers $+\infty$ et une autre vers $-\infty$ . Que peut-on conclure directement sur la limite de leur somme ?

12. Lorsque $x$ tend vers $a$ , $f(x)$ tend vers $-4$ et $g(x)$ tend vers $3$ . Vers quelle limite tend leur produit ?

13. Lorsque $x$ tend vers $a$ , le numérateur $f(x)$ tend vers $10$ et le dénominateur $g(x)$ tend vers $-2$ . Quelle est la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

14. Une suite $u_n$ tend vers $2$ , et une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to2}f(x)=-3$ . Quelle est la limite de $f(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

15. Quand $n$ tend vers $+\infty$ , vers quelle valeur tend l’expression $e^{\frac{1}{n}+2}$ ?

18. Au voisinage de $a$ , on sait que $f(x)\geq g(x)$ et que $g(x)\to+\infty$ lorsque $x\to a$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $f$ ?

19. Près de $a$ , une fonction $f$ vérifie $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ , avec $h(x)\to 3$ et $g(x)\to 3$ lorsque $x\to a$ . Vers quelle limite tend $f$ ?

20. Pour un entier $n\geq1$ , que devient le quotient $\dfrac{e^x}{x^n}$ lorsque $x\to+\infty$ ?

21. Quand $x\to-\infty$ , quelle limite obtient-on pour $x^4e^x$ ?