QCM : Fonctions, dérivation et probabilités — 71 questions

Explication

Les entiers naturels comprennent les nombres entiers positifs ainsi que zéro. En revanche, les nombres négatifs et non entiers proposés ne font pas partie de $\mathbb{N}$.

Explication

L’addition commence par la colonne des unités, puis progresse vers la gauche avec report des retenues. Commencer par la gauche ne permet pas de gérer correctement les retenues produites ensuite.

Explication

Multiplier un entier par 1 000 revient à ajouter trois zéros à sa droite, ce qui donne 47 000. Ajouter deux zéros correspondrait à une multiplication par 100.

Explication

La multiplication est effectuée avant l’addition : $3\times4=12$, puis $6+12=18$. Le résultat 36 correspondrait à effectuer l’addition avant la multiplication, sans parenthèses.

Explication

Dans une division euclidienne, le reste est le terme ajouté au produit du diviseur par le quotient. Ici, il vaut donc 87, tandis que 3 est le quotient et 123 le diviseur.

Explication

Après avoir soustrait le produit correspondant, on abaisse le chiffre suivant du dividende pour poursuivre la division. Les autres opérations ne décrivent pas l’étape suivante de cette méthode.

Explication

Une fraction possède un numérateur au-dessus et un dénominateur au-dessous, lequel doit être non nul. Le dénominateur peut être négatif, mais il ne peut pas être égal à zéro.

Explication

Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{2\times5}{3\times4}=\frac{10}{12}$. Additionner les termes ou croiser les facteurs ne correspond pas à cette règle.

Explication

L’exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur : $7^3=7\times7\times7$. La base est 7, tandis que le résultat vaut 343.

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : $x^4\times x^3=x^{4+3}=x^7$. Multiplier les exposants donnerait une règle incorrecte.

Explication

Les nombres 3 et −3 ont pour carré 9, donc ils résolvent l’équation. La racine carrée principale désigne toutefois le nombre positif, soit $\sqrt{9}=3$.

Explication

Pour des nombres positifs, la racine carrée d’un produit se décompose en produit des racines carrées. Une décomposition analogue de $\sqrt{x+y}$ en somme de racines n’est pas une règle générale.

Explication

La lettre $x$ est la variable de l’expression et peut prendre différentes valeurs. L’expression complète est notée $E$, tandis que le résultat dépend de la valeur attribuée à $x$.

Explication

Évaluer une expression consiste à remplacer toutes les occurrences de la variable par la valeur donnée, ce qui donne $E(5)=5^2+5=30$. Conserver une occurrence de $x$ ne correspond donc pas à une évaluation complète.

Explication

En regroupant les monômes de même degré, on obtient $x^3-2x^3=-x^3$, $3x^2-x^2=2x^2$ et $x+2x=3x$. Les termes constants restent égaux à $-5$.

Explication

Le produit de la différence et de la somme d’un même couple de termes vérifie $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Les formes comportant $2ab$ correspondent aux carrés d’une somme ou d’une différence.

Explication

Un tel système relie deux variables, comme $x$ et $y$, au moyen de deux équations qui doivent être vérifiées en même temps. Deux calculs séparés ne constituent pas une résolution simultanée.

Explication

La substitution consiste à isoler une variable dans une équation, puis à remplacer cette variable par son expression dans l’autre. La multiplication et la combinaison de lignes relèvent plutôt de la méthode de Gauss.

Explication

La méthode de Gauss combine les lignes après les avoir éventuellement multipliées afin d’éliminer une inconnue. Elle permet alors de résoudre l’équation à une seule inconnue obtenue, contrairement à la substitution.

Explication

Avec $ad-bc=0$, une égalité fausse comme $0=1$ révèle une incompatibilité entre les équations : aucune solution n’existe. Une égalité vraie comme $0=0$ aurait indiqué une infinité de solutions.

Explication

Dans $ax^n$, $a$ est le coefficient, $x$ l’inconnue et $n$ un entier positif ou nul. Le degré est associé à l’exposant, et non au coefficient.

Explication

Un polynôme est formé par une somme de monômes, par exemple $ax^2+bx+c$. Il peut contenir plusieurs termes et n’est pas défini par le nombre d’inconnues de l’équation associée.

Explication

Le discriminant est calculé par la formule $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ sert ensuite à déterminer les solutions lorsque le discriminant est approprié.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les formules $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ donnent deux solutions réelles distinctes. Une solution unique correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

Le caractère statistique est la caractéristique étudiée sur chaque individu, ici la taille. L’ensemble des élèves constitue la population, tandis que le nombre total et la moyenne sont des résultats de l’étude.

Explication

La couleur des yeux est une variable qualitative, car ses valeurs sont des catégories et les calculs arithmétiques n’y ont pas de sens. Les autres variables prennent des valeurs numériques quantitatives.

Explication

Une variable quantitative discrète prend un nombre fini de valeurs distinctes, appelées modalités. Une variable continue peut prendre ses valeurs dans un intervalle, tandis que les deux autres descriptions concernent des variables qualitatives.

Explication

La fréquence relative se calcule en divisant l’effectif de la modalité par l’effectif total, soit $f_i=\frac{n_i}{n}=\frac{12}{40}=0{,}3$. Le nombre 12 représente l’effectif, et non la fréquence.

Explication

La notation $f(x)$ désigne le résultat obtenu en appliquant la fonction f à la valeur x. La lettre f désigne la fonction elle-même, et non le nombre calculé.

Explication

L’image de 3 par f est le résultat obtenu pour cette valeur, donc −2. Le nombre 3 est l’antécédent, tandis que $f(-2)$ concerne l’image éventuelle de −2.

Explication

Un antécédent de y est une valeur x dont l’image par f vaut y, ce qui s’écrit $f(x)=y$. L’égalité inversée décrit une autre relation et ne définit pas l’antécédence recherchée.

Explication

Il faut exclure les valeurs annulant un dénominateur ainsi que celles rendant négative l’expression sous une racine carrée. Ici, cela impose notamment d’écarter x=2 et les valeurs telles que x+1<0.

Explication

Dans une fonction affine $f(x)=ax+b$, a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine. Ainsi, 3 indique la pente de la droite et −5 son intersection avec l’axe des ordonnées.

Explication

Une droite est déterminée par deux points distincts : il suffit donc de calculer leurs coordonnées puis de les relier. Une seule image ou une seule intersection ne fournit pas assez d’informations pour définir la droite.

Explication

Ajouter une constante positive à la sortie de la fonction déplace chaque point verticalement vers le haut de cette constante. Le déplacement horizontal concerne une transformation de la forme $f(x-\alpha)$.

Explication

La transformation $f(x-\alpha)$ translate la courbe horizontalement de α vers la droite lorsque α est positif. Ici, α=3, donc le déplacement est de 3 unités vers la droite.

Explication

La dérivée en $a$ est la limite finie commune des taux d’accroissement lorsque $x$ tend vers $a$. Une vitesse moyenne ou une variation sur un intervalle ne décrit pas la vitesse instantanée au point considéré.

Explication

La tangente a pour pente $f'(a)$ et passe par le point $(a,f(a))$, ce qui donne cette équation. Une corde relie deux points distincts de la courbe, tandis que la tangente correspond à la limite de ces cordes.

Explication

La dérivée de $\frac{1}{x^n}$ est $-\frac{n}{x^{n+1}}$, sur un domaine où la fonction est définie. La formule $nx^{n-1}$ concerne la puissance $x^n$, tandis que la formule avec la racine carrée correspond à une autre fonction.

Explication

La dérivée d’une somme conserve l’addition et s’obtient en additionnant les dérivées. La formule comportant deux termes multipliés concerne un produit, tandis que le dénominateur au carré caractérise un quotient.

Explication

La règle du produit additionne les deux contributions obtenues en dérivant successivement chaque facteur. La somme des dérivées correspond à une somme de fonctions, alors que le dénominateur au carré intervient dans la règle du quotient.

Explication

La règle du quotient place au numérateur la différence $f'g-g'f$ et au dénominateur le carré $g^2$. La somme de deux termes caractérise la règle du produit, qui ne comporte pas de dénominateur au carré.

Explication

Une dérivée négative sur un intervalle indique que la fonction y est décroissante. Une dérivée positive conduit au contraire à une fonction croissante, tandis que la constance n’est pas la conclusion correspondant à une dérivée négative.

Explication

L’univers $\Omega$ rassemble toutes les issues que l’expérience peut produire. Un événement est un sous-ensemble de cet univers, et le nombre d’issues favorables sert ensuite au calcul d’une probabilité.

Explication

Par convention, $0!=1$, ce qui permet notamment de conserver les formules du dénombrement. La factorielle d’un entier positif est, elle, le produit des entiers consécutifs jusqu’à cet entier.

Explication

Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre et se calcule par $\frac{n!}{p!(n-p)!}$. La formule $\frac{n!}{(n-p)!}$ correspond à un arrangement, où l’ordre des éléments compte.

Explication

Lorsque les issues sont équiprobables, la probabilité est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas possibles. Les autres opérations ne produisent pas le quotient requis par cette définition.

Explication

Une variable aléatoire réelle associe effectivement un nombre réel à chaque issue de l’expérience. Elle ne désigne ni l’univers des issues ni une simple collection de probabilités.

Explication

La variable considérée associe à chaque issue la somme des deux résultats, qui peut aller de 2 à 12. Le couple de résultats décrit l’issue elle-même et n’est pas la variable aléatoire étudiée ici.

Explication

Le support rassemble les valeurs prises par la variable avec une probabilité non nulle. Il ne contient donc pas toutes les valeurs réelles ni les seules valeurs les plus probables.

Explication

L’espérance se calcule par la somme des produits valeur-probabilité : $E(X)=1\times0,4+3\times0,6=2,2$. Additionner les valeurs sans les pondérer par leurs probabilités ne donne pas l’espérance.

Explication

Une loi de Bernoulli modélise une variable à deux issues numériques, 0 et 1, où la probabilité de 1 vaut $p$. Le comptage de plusieurs succès indépendants relève plutôt de la loi binomiale.

Explication

La variance vaut $p(1-p)=0,3\times0,7=0,21$, et l’écart-type est sa racine carrée. La probabilité d’échec intervient donc comme $1-p$, et non comme $p$ lui-même.

Explication

La loi binomiale compte le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves indépendantes partageant la même probabilité $p$. Une seule épreuve correspond à une loi de Bernoulli, tandis que la dépendance ou des probabilités variables ne respectent pas ce modèle.

Explication

Pour une loi binomiale, $E(X)=np=10\times0,4=4$ et $V(X)=np(1-p)=10\times0,4\times0,6=2,4$. La variance ne se réduit donc pas au produit $np$, qui donne l’espérance.

Explication

L’intersection correspond au « et » : elle conserve les éléments communs aux deux ensembles. L’union correspond au « ou » et rassemble les éléments appartenant à au moins l’un des ensembles.

Explication

Un dénominateur ne peut pas être nul et le contenu d’une racine carrée doit être positif ou nul. Les conditions portant sur le numérateur ou sur la valeur un sont sans effet général sur le domaine.

Explication

Un discriminant négatif signifie que le polynôme n’a aucune racine réelle ; il conserve donc le signe de son coefficient dominant. Avec un coefficient dominant positif, il reste positif sur l’ensemble des réels.

Explication

Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens, alors qu’un nombre positif le conserve. Ignorer le signe du facteur peut donc conduire à un ensemble-solution incorrect.

Explication

La limite décrit le comportement de la fonction lorsque la variable s’approche d’une valeur, sans exiger que cette valeur appartienne au domaine. Confondre la limite avec l’image du point conduit à ignorer qu’une fonction peut être non définie en ce point.

Explication

La notation $a^-$ indique une approche de $a$ par des valeurs inférieures. Une approche par des valeurs supérieures correspond à la limite à droite, notée $a^+$.

Explication

La forme $\frac{0}{0}$ fait partie des quatre formes indéterminées étudiées. Les autres expressions proposées ne figurent pas dans cette liste de formes indéterminées.

Explication

À l’infini, factoriser par la plus grande puissance de la variable permet de comparer les termes dominants et de simplifier la limite. Remplacer $x$ par zéro ne correspond pas à une étude du comportement à l’infini.

Explication

Une asymptote verticale est une droite parallèle à l’axe des ordonnées, donc d’équation $x=a$. L’équation $y=b$ décrit une asymptote horizontale, tandis que $y=ax+b$ décrit une asymptote oblique lorsque la pente est appropriée.

Explication

La droite $x=a$ est verticale lorsque la fonction diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ approche $a$ à gauche ou à droite. Une limite finie à l’infini caractérise plutôt une asymptote horizontale.

Explication

Une asymptote oblique est définie par une différence $f(x)-(ax+b)$ qui tend vers zéro à l’infini considéré. Il ne suffit pas que la fonction elle-même tende vers zéro, car cette propriété correspond à un autre comportement asymptotique.

Explication

La limite de $f(x)/x$ fournit le coefficient directeur $a$, puis la limite de $f(x)-ax$ fournit l’ordonnée à l’origine $b$. Intervertir ces deux rôles attribue à chaque limite un coefficient qui ne lui correspond pas.

Explication

Une fonction est continue en $a$ lorsque sa limite en ce point coïncide avec sa valeur $f(a)$. Une limite nulle ou une égalité entre $f(a)$ et $a$ n’est pas une condition générale de continuité.

Explication

La continuité garantit qu’une valeur comprise entre deux valeurs prises par la fonction est atteinte au moins une fois. L’unicité de l’antécédent nécessite une condition supplémentaire, comme la stricte monotonie.

Explication

La continuité assure l’existence d’un antécédent pour une valeur intermédiaire, tandis que la stricte monotonie empêche plusieurs antécédents. La continuité seule ne suffit donc pas à garantir l’unicité.

Explication

Le signe de $u_{n+1}-u_n$ indique directement si les termes augmentent ou diminuent, et le quotient peut être comparé à $1$ lorsque les termes sont strictement positifs. La somme des termes ne permet pas de déterminer leur ordre successif.