Fiche de révision : Fonctions, dérivation et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Nombres naturels et opérations élémentaires
2. Fractions, divisions et pourcentages
3. Puissances et racines carrées
4. Expressions littérales et équations
5. Résolution des systèmes à deux inconnues
6. Équations du second degré
7. Statistiques discrètes et continues
8. Notions fondamentales sur les fonctions
9. Fonctions de référence et translations
10. Dérivée et tangente
11. Opérations et variations des fonctions
12. Probabilités discrètes et dénombrement
13. Variables aléatoires et lois discrètes
14. Lois de Bernoulli et binomiale
15. Inéquations et tableaux de signe
16. Limites et asymptotes
17. Asymptotes des courbes
18. Continuité et valeurs intermédiaires

📖 1. Nombres naturels et opérations élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Giuseppe Peano — sont les nombres entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, 4, etc.

📝 Points essentiels

• Pour poser une addition, on aligne les nombres en colonnes sur la droite, puis on additionne chaque colonne en partant de la droite en reportant la retenue à la colonne suivante.

📌 Pour multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000, on ajoute respectivement 1, 2 ou 3 zéros à droite lorsque le nombre est entier.

• Pour poser une multiplication, on multiplie successivement les chiffres en partant de la droite, on écrit le chiffre des unités et on reporte la retenue.

📌 Dans une expression comportant une addition et une multiplication, la multiplication est prioritaire, tandis que les opérations entre parenthèses sont prioritaires sur celles qui sont à l'extérieur.

📌 La soustraction de deux entiers naturels peut sortir de ℕ, car 4 − 7 = −3 appartient aux entiers relatifs ℤ et non aux entiers naturels. — M. Dedekind

• La règle des signes est:
  • • × + = +
  • • × − = −
  • − × + = −
  • − × − = +

💡 Astuce mémo

Additionner, multiplier, puis soustraire

📖 2. Fractions, divisions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne exprime un dividende comme le produit du diviseur par le quotient augmenté du reste, par exemple $456 = 123 \times 3 + 87$.
• Fraction : est une écriture exacte d'une division, composée d'un numérateur au-dessus et d'un dénominateur au-dessous, ce dernier ne pouvant pas être nul.
• Pourcentage : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100, et « 30 % de 90 € » se calcule par $\frac{30}{100}\times90=27$.

📝 Points essentiels

• Pour poser une division, on cherche successivement combien de fois le diviseur tient dans la partie traitée, on soustrait le produit obtenu, puis on abaisse le chiffre suivant.

📐 Formule — Deux fractions sont égales lorsqu'on multiplie leur numérateur et leur dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{k\times a}{k\times b}=\frac{a}{b}$.

📐 Formule — Pour additionner deux fractions, elles doivent avoir le même dénominateur et l'on additionne alors leurs numérateurs : $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$.

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule — Diviser par une fraction revient à multiplier par sa fraction inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Le décimal approche, la fraction reste exacte

📖 3. Puissances et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance positive correspond à la multiplication répétée d'un nombre par lui-même, par exemple $10^2=10\times10=100$.
• Racine carrée : La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre, par exemple $\sqrt{9}=3$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les puissances d'une même base vérifient $x^a\times x^b=x^{a+b}$ et $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ lorsque les expressions sont définies.

📌 Pour des nombres réels positifs, $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$, mais il n'existe pas de règle analogue permettant de transformer simplement $\sqrt{x+y}$.

Compléments

📌 La racine carrée de 2 n'est pas une fraction et appartient à l'ensemble des nombres réels ℝ, tandis que son écriture décimale 1,414 est seulement une approximation.

💡 Astuce mémo

Le carré construit la racine carrée

📖 4. Expressions littérales et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : est une expression mathématique contenant des lettres, comme $E(x)=x^2+x$, où x est la variable.
• Réduction : Réduire une expression littérale consiste à regrouper les monômes de même degré et à les ordonner, par exemple $x^3+3x^2+x-x^2+2x-2x^3-5=-x^3+2x^2+3x-5$.

📝 Points essentiels

• Évaluer une expression en une valeur consiste à remplacer chaque occurrence de la variable par cette valeur puis à effectuer le calcul, par exemple $E(5)=5^2+5=30$.

📐 Formule — Développer repose sur la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• Factoriser consiste à mettre un facteur commun en évidence ou à reconnaître une identité remarquable afin de transformer une somme ou une différence en produit.

• Pour résoudre un problème se ramenant à une équation, il faut identifier l'inconnue, modéliser la situation par une équation, résoudre cette équation, puis conclure en répondant à la question.

• Dans une équation, toute opération effectuée sur un membre doit être effectuée sur l'autre membre afin de conserver l'égalité.

• Une équation qui se simplifie en une égalité vraie comme 2 = 2 admet tous les nombres réels comme solutions, tandis qu'une équation qui se simplifie en une égalité fausse comme 1 = 2 n'a aucune solution.

• Un produit nul est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, donc $(x-1)(2x+4)=0$ équivaut à $x-1=0$ ou $2x+4=0$.

💡 Astuce mémo

Évaluer, réduire, développer, factoriser, résoudre

📖 5. Résolution des systèmes à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations à deux inconnues : Un système de deux équations à deux inconnues relie deux variables, ici x et y, par deux équations simultanées.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des achats, le prix du croissant x et celui du pain au chocolat y vérifient $2x+3y=5{,}60$ et $4x+y=5{,}20$.

• 🔄 La méthode de substitution suit trois étapes:

  1. Isoler une variable dans une équation
  2. Remplacer cette variable dans l’autre équation
  3. Calculer la variable restante

• La méthode de Gauss consiste à multiplier les lignes afin d’éliminer une inconnue, puis à résoudre l’équation à une inconnue obtenue.

📐 Formule — Pour le système $ax+by=\alpha$ et $cx+dy=\beta$, la méthode de Cramer donne $x=\frac{\alpha d-b\beta}{ad-bc}$ et $y=\frac{a\beta-\alpha c}{ad-bc}$ lorsque $ad-bc\ne0$. — Gabriel Cramer, 1704-1752

📌 Lorsque $ad-bc=0$, le système possède une infinité de solutions si la combinaison des lignes donne une égalité vraie comme $0=0$, et aucune solution si elle donne une absurdité comme $0=1$.

💡 Astuce mémo

Substituer, combiner, appliquer Cramer

📖 6. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Expression littérale de la forme $ax^n$, où x est l’inconnue, a le coefficient et n un entier positif ou nul.
• Polynôme : Expression composée d’une somme de monômes.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le polynôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, elle admet une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle admet deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Pour $\Delta<0$, le polynôme du second degré ne se factorise pas en produit de polynômes à coefficients réels ; pour $\Delta=0$, il possède un facteur carré ; pour $\Delta>0$, il possède deux facteurs du premier degré.

• Le polynôme $3x^2-9x+6$ a pour discriminant 9 et se factorise en $3(x-1)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune solution ; Δ=0 : une ; Δ>0 : deux

📖 7. Statistiques discrètes et continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique unidimensionnelle : Étude portant sur une seule caractéristique, appelée caractère ou variable, observée sur les individus d’une population.
• Médiane : Modalité qui sépare l’effectif d’une série statistique en deux parties.
• Écart-type : L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance, soit $\sigma_S=\sqrt{v_S}$.
• Classe modale : Classe dont l’effectif est le plus grand.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative prend des valeurs littérales ou codées sur lesquelles les opérations arithmétiques n’ont pas de sens, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques sur lesquelles ces opérations ont un sens.

📌 Une variable quantitative discrète prend un nombre fini de valeurs appelées modalités, tandis qu’une variable quantitative continue prend ses valeurs dans un intervalle appelé classe.

📐 Formule — La fréquence relative d’une modalité est le rapport de son effectif à l’effectif total, soit $f_i=\frac{n_i}{n}$.

📐 Formule — La variance d’une série statistique est $v_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})^2$, et elle peut aussi se calculer par $v_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_ix_i^2-\bar{x}^2$.

💡 Astuce mémo

Discrète : modalités isolées ; continue : classes d’intervalles

📖 8. Notions fondamentales sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Leonhard Euler, 1707-1783 — Une fonction associe à un nombre donné un autre nombre selon une règle déterminée ; elle est notée f et le résultat obtenu pour x est noté f(x).
• Image : L’image d’un réel x par une fonction f est le réel f(x).
• Antécédent : Un antécédent d’un réel y par une fonction f est un réel x tel que $f(x)=y$.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs possibles pour la variable dans la définition de la fonction.

📝 Points essentiels

📌 Pour déterminer le domaine de définition, il faut exclure les valeurs qui annulent un dénominateur et celles qui rendent négative l’expression sous une racine carrée.

💡 Astuce mémo

Une image est unique, un antécédent peut être multiple

📖 9. Fonctions de référence et translations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Définie par $f(x)=ax+b$ sur ℝ, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine de sa droite représentative.

★ À maîtriser

• Pour tracer une droite représentative d’une fonction affine, il suffit de calculer les coordonnées de deux points distincts puis de les relier.

📐 Formule — Pour deux points distincts A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B), le coefficient directeur de la droite est $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ et son équation peut s’écrire $f(x)=a(x-x_A)+y_A$.

• La parabole est la courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$, l’hyperbole celle de la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ sur ℝ*, la demi-parabole couchée celle de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ sur [0,+∞[, et les deux demi-droites celles de la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ sur ℝ.

📌 La transformation $g(x)=f(x)+\beta$ translate la courbe de f verticalement de β, vers le haut si β>0 et vers le bas si β<0.

📌 La transformation $g(x)=f(x−\alpha)$ translate la courbe de f horizontalement de α, vers la droite si α>0 et vers la gauche si α<0.

Compléments

• La droite passant par (2,1) et (1,−1) a pour coefficient directeur 2 et pour équation $f(x)=2x−3$.

📐 Formule — La courbe représentative d’un polynôme du second degré est, à une translation et une dilatation près, une parabole, car $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Translation verticale : +β monte ; translation horizontale : f(x−α) va à droite.

📖 10. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : La limite finie commune des taux d’accroissement à gauche et à droite, notée $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, lorsqu’elle existe.
• Tangente : La droite d’équation $T_a:y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction constante a pour dérivée 0, la fonction $x^n$ a pour dérivée $nx^{n−1}$, la fonction $\frac{1}{x^n}$ a pour dérivée $−\frac{n}{x^{n+1}}$ et la fonction racine carrée a pour dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Compléments

• Pour la fonction carré au point a=3, la dérivée vaut f′(3)=6 et l’équation de la tangente est $y=6x−9$.

💡 Astuce mémo

Quand l’écart se resserre vers a, la corde devient tangente et sa pente devient f′(a).

📖 11. Opérations et variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations : Si α<β implique f(α)<f(β), et strictement décroissante si α<β implique f(α)>f(β).

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, soit $(f+g)'=f'+g'$, et la dérivée d’un multiple scalaire vérifie $(\lambda f)'=\lambda f'.$

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'=f'g+g'f.$(f g)'=f'g+g'f.

📐 Formule — La dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g−g'f}{g^2}$ lorsque g ne s’annule pas.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(f\circ g)'=(f'\circ g)\times g'.$

📌 Si f′ est positive sur un intervalle, alors f y est croissante ; si f′ est négative, alors f y est décroissante.

Compléments

• Les variations dépendent du coefficient directeur:
  • a>0 : la droite est strictement croissante
  • a<0 : la droite est strictement décroissante
  • a=0 : la droite est constante

💡 Astuce mémo

Dériver, étudier le signe de f′, puis lire les variations.

📖 12. Probabilités discrètes et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers des possibilités : L’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Un sous-ensemble de l’univers Ω des possibilités.
• Factorielle : Pour un entier n strictement positif, la factorielle n! est le produit des n premiers entiers consécutifs, avec la convention $0!=1$.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Probabilité conditionnelle : Si P(B)≠0, la probabilité de A sachant B est définie par $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’arrangement de p éléments parmi n est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$, tandis que la combinaison de p éléments parmi n est $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{A_n^p}{p!}$.

• Pour une urne contenant n éléments et un tirage de p éléments, le nombre de tirages avec remise est $n^p$, sans remise avec ordre est $A_n^p$, et simultané sans ordre est $C_n^p$.

• Pour des issues équiprobables, la probabilité d’un événement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, on a $P(A\cup B)=P(A)+P(B)−P(A\cap B)$ et $P(A)+P(\overline{A})=1$.

📐 Formule — Si (Ω_i) forme une partition de l’univers Ω, la formule des probabilités totales est $P(A)=\sum_i P(A\mid Ω_i)P(Ω_i)$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité d’un événement A est définie par $P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{\text{nombre de succès}}{\text{nombre de tentatives}}$.

• Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long de chaque chemin puis on additionne les probabilités des chemins menant à l’événement étudié.

💡 Astuce mémo

Univers → événements → dénombrement → probabilités → conditionnement.

📖 13. Variables aléatoires et lois discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Fonction qui associe à chaque issue de l’expérience aléatoire un nombre réel.
• Support : Ensemble des valeurs dont la probabilité est non nulle.
• Loi d’une variable aléatoire : Donne la probabilité de chaque valeur appartenant à son support.

📝 Points essentiels

• Lors du lancer de deux dés, la variable aléatoire qui associe à chaque issue la somme des deux résultats possède comme support les entiers de 2 à 12.

📐 Formule — La somme des probabilités de toutes les valeurs du support vaut $\sum_{x\in\mathrm{Supp}(X)}P(X=x)=1$.

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire discrète est $E(X)=\sum_{x\in\mathrm{Supp}(X)}xP(X=x)$.

📐 Formule — La variance d’une variable aléatoire vérifie $V(X)=E((X-E(X))^2)$ et l’écart-type vérifie $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📐 Formule — La formule de König-Huygens donne $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

💡 Astuce mémo

Une expérience aléatoire transformée en valeurs numériques par une fonction

📖 14. Lois de Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre p si son support est constitué de 0 et 1 et si $P(X=1)=p$.
• Loi binomiale : Variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de n épreuves indépendantes ayant chacune une probabilité p de succès.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, $P(X=0)=1-p$, $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale de paramètres n et p, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

• Dans le jeu présenté, la probabilité de gagner est $\frac12\times\frac16=\frac1{12}$, et la probabilité de perdre est $\frac{11}{12}$.

• Avec un coût de 10 € et un gain de 100 € en cas de victoire, le gain moyen du jeu est d’environ −2,33 € par partie.

• Pour le QCM de 8 questions à 4 réponses, le nombre de réponses correctes suit une loi binomiale de paramètres 8 et $\frac14$.

• Dans ce QCM, la probabilité d’obtenir exactement 4 bonnes réponses est environ 0,087, soit environ 9 %.

• Dans ce QCM, l’espérance du nombre de bonnes réponses est $E(X)=8\times\frac14=2$.

💡 Astuce mémo

Bernoulli : un succès-échec ; binomiale : plusieurs succès-échecs

📖 15. Inéquations et tableaux de signe

📝 Points essentiels

• L’union de deux ensembles correspond au « ou » et se note ∪, tandis que l’intersection correspond au « et » et se note ∩.

• Le domaine de définition exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent négatif le contenu d’une racine carrée.

• Pour un polynôme du second degré, si le discriminant est négatif, le polynôme ne s’annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant.

• Si le discriminant est positif, le polynôme possède deux racines et prend le signe du coefficient dominant à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

• Pour résoudre une inéquation par tableau de signe, on classe les valeurs particulières, on étudie le signe de chaque facteur, on combine les signes et on conserve les intervalles satisfaisant l’inégalité.

📌 Dans une inéquation rationnelle, il ne faut pas effectuer de produit en croix sans connaître le signe du facteur variable, car multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens.

💡 Astuce mémo

Domaine → valeurs particulières → signes des facteurs → solution

📖 16. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Décrit le comportement d’une fonction lorsque la variable se rapproche d’une valeur ou tend vers l’infini, sans nécessairement atteindre cette valeur.
• Asymptote horizontale : La droite y=b est une asymptote horizontale lorsque la limite de la fonction en plus ou moins l’infini vaut b.
• Asymptote verticale : Droite x=a telle que la fonction tende vers plus ou moins l’infini quand x tend vers a.
• Asymptote oblique : Droite y=ax+b telle que la différence entre la fonction et ax+b tende vers 0 en plus ou moins l’infini.

📝 Points essentiels

• La limite à gauche utilise une approche par valeurs inférieures, notée a⁻, tandis que la limite à droite utilise une approche par valeurs supérieures, notée a⁺.

• Les quatre formes indéterminées étudiées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac00$ et $\frac\infty\infty$.

• Pour lever une forme indéterminée à l’infini, on peut factoriser les expressions par la plus grande puissance de la variable.

• La limite d’un polynôme en plus ou moins l’infini est déterminée par son terme de plus haut degré.

💡 Astuce mémo

Approche d’une valeur ou de l’infini → comportement de la fonction → asymptote

📖 17. Asymptotes des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite $x=a$ est une asymptote verticale si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ à gauche ou à droite vaut $+$ ou $-$.
• Asymptote oblique : La droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique lorsque la limite de $f(x)-(ax+b)$ vaut 0 à l’infini considéré.

📝 Points essentiels

📌 Les trois droites asymptotes étudiées sont l’asymptote horizontale d’équation $y=b$, l’asymptote verticale d’équation $x=a$ et l’asymptote oblique d’équation $y=ax+b$.

• Pour déterminer une asymptote oblique éventuelle $y=ax+b$, on calcule d’abord la limite de $f(x)/x$ pour obtenir $a$, puis la limite de $f(x)-ax$ pour obtenir $b$.

💡 Astuce mémo

Horizontale à l’infini, verticale près de a, oblique avec ax+b

📖 18. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en $a$ si $ext{lim}_{x o a}f(x)=f(a)$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Si une fonction est continue sur un intervalle, alors pour toute valeur $b3$ comprise entre $f(a)=b1$ et $f(b)=b2$, il existe un nombre $c$ entre a et b tel que $f(c)=b3$.
• Suite récurrente fonctionnelle : Une suite est récurrente fonctionnelle s’il existe une fonction f telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, où r est sa raison, et son terme général est $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$, où q est sa raison, et son terme général est $u_n=u_0q^n$.
• Logarithme népérien : Pour tout réel strictement positif a, $\ln(a)$ est l’aire algébrique comprise entre l’axe des abscisses, la droite $x=1$, la droite $x=a$ et la courbe de la fonction inverse.

📝 Points essentiels

• Si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, toute valeur intermédiaire possède un unique antécédent dans l’intervalle.

• Une suite explicite donne directement le terme $u_n$ en fonction de n, tandis qu’une suite récurrente calcule un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents et nécessite une condition initiale.

• Une suite est croissante si $u_n a42u_{n+1}$ et strictement croissante si $u_n<u_{n+1}$ ; les inégalités inversées définissent les suites décroissantes et strictement décroissantes.

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 lorsque la suite est strictement positive.

📐 Formule — La somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q est $u_b1++u_b2=u_b1\frac{1-q^{b2-b1+1}}{1-q}$.

📐 Formule — La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r est $u_b1++u_b2=\frac{u_b1+u_b2}{2}(b2-b1+1)$.

📌 Le logarithme népérien est négatif sur $]0{,}1[$, nul en 1 et positif sur $]1,+e[$.

📐 Formule — Pour tout $x>0$, la dérivée du logarithme népérien est $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Pour une fonction u strictement positive, $\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

📐 Formule — Pour tous réels strictement positifs a et b, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ et $\ln(a^n)=n\ln(a)$.

💡 Astuce mémo

Continuité sur un intervalle → toute valeur intermédiaire est atteinte

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables statistiques

Modes de tirage