Fiche de révision : Fonctions d’une variable réelle

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et dénombrabilité
2. Bornes supérieures
3. Intervalles réels
4. Notion générale de fonction
5. Injectivité surjectivité bijectivité
6. Opérations et propriétés des fonctions
7. Dénombrabilité des ensembles

📖 1. Nombres réels et dénombrabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière $[x]$ est l’unique entier vérifiant $[x]\le x<[x]+1$.

★ À maîtriser

• Les ensembles usuels vérifient l’inclusion stricte $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$, où $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2,\ldots\}$, $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1{,}0{,}1{,}2,\ldots\}$ et $\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{N}^*\right\}$.

• Un nombre réel est rationnel si son développement décimal propre est périodique, tandis qu’un réel possède un développement décimal propre quelconque.

Compléments

📐 Formule — La division euclidienne de a par un entier b non nul s’écrit $a=bq+r$ avec $0\le r<|b|$.

💡 Astuce mémo

N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R

📖 2. Bornes supérieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Une borne supérieure d’un sous-ensemble non vide A de $\mathbb{R}$ est le plus petit de ses majorants.
• Majorant : Un réel M est un majorant d’un sous-ensemble non vide A de $\mathbb{R}$ si tout élément x de A vérifie $x\le M$.

📝 Points essentiels

📌 Un réel M est la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide A de $\mathbb{R}$ si tout x de A vérifie $x\le M$ et si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe x dans A tel que $M-\varepsilon<x\le M$.

📌 Tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Majoré dans R → borne supérieure

📖 3. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un sous-ensemble I de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, pour tous réels x<y<z, x et z dans I impliquent y dans I.

📝 Points essentiels

• Les dix types d’intervalles réels sont $]a,b[$, $[a,b]$, $]a,b]$, $[a,b[$, l’ensemble vide, $]a,+\infty[$, $[a,+\infty[$, $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$ et $\mathbb{R}$.

📖 4. Notion générale de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction f de X vers Y associe à chaque élément x de X un unique élément f(x) de Y.
• Image directe : L’image directe d’un sous-ensemble A de X par f est $f(A)=\{y\in Y\mid \exists x\in A,\ y=f(x)\}$.
• Image réciproque : L’image réciproque d’un sous-ensemble B de Y par f est $f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$, et l’image réciproque du singleton {y} est la fibre de f en y.
• Graphe : Le graphe d’une fonction f:X\to Y est l’ensemble des couples $(x,y)\in X\times Y$ tels que $y=f(x)$.

💡 Astuce mémo

Un antécédent x entre dans la machine et produit l’image f(x).

📖 5. Injectivité surjectivité bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Une fonction f:X\to Y est injective si tout élément de Y admet au plus un antécédent dans X, ce qui équivaut à $f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$.
• Surjection : Une fonction f:X\to Y est surjective si tout élément de Y admet au moins un antécédent dans X, c’est-à-dire $\forall y\in Y,\ \exists x\in X,\ y=f(x)$.
• Bijection : Une fonction f:X\to Y est bijective si tout élément de Y admet exactement un antécédent dans X, ce qui équivaut à être à la fois injective et surjective.
• Fonction réciproque : Une fonction f:X\to Y est bijective si et seulement s’il existe une unique fonction réciproque f^{-1}:Y\to X telle que $f^{-1}(f(x))=x$ et $f(f^{-1}(y))=y$.

💡 Astuce mémo

Injection : au plus un antécédent ; surjection : au moins un ; bijection : exactement un.

📖 6. Opérations et propriétés des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations sur les fonctions : Pour deux fonctions f et g définies sur X à valeurs réelles, on définit (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x) et $(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ lorsque $g(x)\ne0$.
• Monotonie : Une fonction f:I\to\mathbb{R} est croissante si $x\le x'\Rightarrow f(x)\le f(x')$ et strictement croissante si $x<x'\Rightarrow f(x)<f(x')$, avec des définitions analogues pour la décroissance.
• Parité : Une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0 est paire si $f(-x)=f(x)$ et impaire si $f(-x)=-f(x)$.

📝 Points essentiels

• La composée de f:X\to Y par g:Y\to G est la fonction $g\circ f:X\to G$ définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

📌 Toute fonction strictement monotone sur un intervalle est injective, mais la réciproque est fausse en général et vraie dans le cas continu.

📖 7. Dénombrabilité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble dénombrable : Un ensemble X est dénombrable s’il est en bijection avec $\mathbb{N}$, c’est-à-dire si ses éléments peuvent être numérotés.

★ À maîtriser

• L’ensemble $\mathbb{Z}$ est dénombrable, et tout sous-ensemble infini d’un ensemble dénombrable est dénombrable.

• L’ensemble des rationnels positifs $\mathbb{Q}_{>0}$ est dénombrable, et donc $\mathbb{Q}$ est dénombrable.

Compléments

📐 Formule — La fonction de $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ vers $\mathbb{N}^*$ définie par $f(m,n)=\frac{(m+n-1)(m+n)}{2}+m$ est une bijection.

💡 Astuce mémo

Z, puis N* × N*, puis Q : numéroter les éléments.

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions