Fiche de révision : Proportionnalité et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Reconnaître la proportionnalité
2. Compléter un tableau proportionnel
3. Résoudre avec un ratio
4. Représenter la proportionnalité
5. Division euclidienne et divisibilité
6. Critères et nombres premiers
7. Facteurs premiers et PGCD

📖 1. Reconnaître la proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

• Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on divise dans chaque colonne le nombre de la ligne du bas par le nombre non nul de la ligne du haut, puis on compare les quotients.

Compléments

• Dans le tableau comportant les couples (4,6 ; 23), (2,7 ; 13,5) et (1,5 ; 7,5), tous les quotients valent 5, donc le tableau est proportionnel et son coefficient de proportionnalité est 5.

• Le prix des fruits est proportionnel au nombre acheté car 1,35 ÷ 3 = 1,80 ÷ 4 = 2,25 ÷ 5 = 2,70 ÷ 6 = 0,45 ; le coefficient 0,45 correspond au prix d’une banane.

💡 Astuce mémo

Calculer les quotients, les comparer, conclure.

📖 2. Compléter un tableau proportionnel

★ À maîtriser

• Dans un tableau de proportionnalité, on peut compléter une valeur en multipliant ou divisant une colonne par un même nombre, en additionnant ou soustrayant deux colonnes, ou en utilisant le coefficient de proportionnalité.

📐 Formule — Dans un tableau de proportionnalité, si les colonnes sont $\begin{array}{cc}a&c\b&d\end{array}$, alors $a\times d=b\times c$.

Compléments

• Pour compléter le tableau dont les colonnes sont (16 ; 6) et (40 ; a), on calcule $16\times a=6\times40$, donc $a=15$.

💡 Astuce mémo

C-C-C : combiner les colonnes, coefficient, produits en croix.

📖 3. Résoudre avec un ratio

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio : Si deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3, a compte pour 2 parts et b compte pour 3 parts.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour partager une quantité selon un ratio:
  1. Additionner les parts du ratio
  2. Diviser la quantité totale par le nombre total de parts
  3. Multiplier la valeur d’une part par chaque coefficient

Compléments

• Pour obtenir de la peinture violette avec 5 L de bleu selon le ratio bleu : rouge = 2 : 3, il faut ajouter 7,5 L de peinture rouge.

• Un partage de 280 € selon le ratio 3 : 4 donne 120 € à Mona et 160 € à Simon, car 7 parts correspondent à 280 € et une part vaut 40 €.

💡 Astuce mémo

Visualiser chaque ratio comme un partage en parts égales.

📖 4. Représenter la proportionnalité

★ À maîtriser

📌 Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés avec l’origine d’un repère, et des points alignés avec l’origine représentent réciproquement une situation de proportionnalité.

Compléments

• Pour le club n°1, les prix 90 €, 180 €, 270 € et 360 € correspondent respectivement à 3, 6, 9 et 12 mois, avec un quotient constant de 30 € par mois.

📌 Parmi les trois graphiques étudiés, seul le graphique n°2 représente une situation de proportionnalité, car ses points sont alignés avec l’origine du repère.

💡 Astuce mémo

Proportionnalité : points alignés avec l’origine ; sinon, ce n’est pas proportionnel.

📖 5. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Effectuer la division euclidienne d’un entier a par un entier b différent de zéro consiste à trouver les entiers q et r uniques tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$ ; a est le dividende et b le diviseur.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par un autre si le reste de leur division euclidienne est nul ; sinon, il n’est pas divisible par cet entier.

• Les diviseurs communs de 54 et 120 sont 1, 2, 3 et 6, et leur PGCD vaut 6.

Compléments

• La division euclidienne de 745 par 25 donne $745=25\times29+20$, tandis que $532=14\times38$ signifie que 532 est divisible par 14.

💡 Astuce mémo

Reste nul : divisible ; reste non nul : non divisible.

📖 6. Critères et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9 ; par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; et par 10 s’il se termine par 0.

• 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs, 1 n’est pas premier car il n’en possède qu’un, et 2 est le seul nombre premier pair.

Compléments

• Les 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

💡 Astuce mémo

2-4-5-10 se lisent dans la fin ; 3-9 se lisent dans la somme des chiffres.

📖 7. Facteurs premiers et PGCD

★ À maîtriser

📌 Tout entier non premier supérieur à 1 peut se décomposer en produit de facteurs premiers.

• Les décompositions sont $105=3\times5\times7$ et $231=3\times7\times11$ ; leurs facteurs premiers communs sont 3 et 7, donc $PGCD(105;231)=21$.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 300 est $300=2\times2\times3\times5\times5$, et celle de 84 est $84=2\times2\times3\times7$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, repérer les facteurs communs, multiplier pour obtenir le PGCD.

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de proportionnalité