QCM : Fonctions d’une variable réelle — 23 questions

Question 1

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles usuels est correcte ?

\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{R}

\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}

\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{Q}

\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{R}

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers, eux-mêmes inclus dans les rationnels, qui sont inclus dans les réels, avec des inclusions strictes. L’affirmation selon laquelle les réels seraient inclus dans les rationnels inverse la dernière inclusion et confond ces deux ensembles.

Answer

$$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$$

Question 2

2. Quelle inégalité caractérise la partie entière $[x]$ d’un réel $x$ ?

[x]<x\le [x]+1

[x]-1<x\le [x]

x\le [x]<x+1

[x]\le x<[x]+1

Explication

La partie entière est l’unique entier inférieur ou égal à $x$ , tandis que $x$ est strictement inférieur à cet entier augmenté de 1. L’inégalité $[x]<x$ échoue notamment lorsque $x$ est lui-même entier.

Answer

$$[x]\le x<[x]+1$$

Question 3

3. Quel critère distingue un réel rationnel d’un réel non rationnel à partir de son développement décimal propre ?

Un rationnel a un développement décimal entier, tandis qu’un réel possède des chiffres après la virgule.

Un rationnel a un développement décimal fini, tandis qu’un réel a un développement toujours infini.

Un rationnel a un développement décimal non périodique, tandis qu’un réel a un développement périodique.

Un rationnel a un développement décimal périodique, tandis qu’un réel peut avoir un développement quelconque.

Explication

Le développement décimal propre d’un nombre rationnel est périodique, alors que celui d’un réel peut être périodique ou non. La finitude n’est pas nécessaire pour un rationnel, car une écriture décimale périodique peut être infinie.

Answer

Un rationnel a un développement décimal périodique, tandis qu’un réel peut avoir un développement quelconque.

Question 4

4. Comment définit-on la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}$ ?

Comme le plus grand élément de l’ensemble

Comme le plus grand de ses minorants

Comme un élément quelconque qui appartient à l’ensemble

Comme le plus petit de ses majorants

Explication

La borne supérieure est le plus petit réel qui majore l’ensemble. Elle peut ne pas appartenir à l’ensemble, contrairement au maximum lorsqu’il existe.

Answer

Comme le plus petit de ses majorants

Question 5

5. Quelle condition caractérise un majorant réel $M$ d’un ensemble non vide $A$ ?

Le réel

M

appartient nécessairement à l’ensemble

A

.

Tout élément

x

de

A

vérifie

M\le x

.

Tout élément

x

de

A

vérifie

x\le M

.

Il existe un élément

x

de

A

tel que

x=M

.

Explication

Un majorant est un réel situé au-dessus ou au niveau de chaque élément de l’ensemble. La condition d’égalité avec un élément de $A$ correspondrait à une propriété supplémentaire, celle d’un maximum éventuel.

Answer

Tout élément $$x$$ de $$A$$ vérifie $$x\le M$$.

Question 6

6. Quelle propriété permet de vérifier qu’un réel $M$ est la borne supérieure d’un ensemble non vide $A$ ?

Il existe

x\in A

tel que

x=M

et tous les autres éléments sont strictement inférieurs à

M

.

Tout

x\in A

vérifie

x\le M

et, pour tout

\varepsilon>0

, il existe

x\in A

tel que

M-\varepsilon<x\le M

.

Pour tout

\varepsilon>0

, tous les éléments de

A

vérifient

M-\varepsilon<x\le M

.

Tout

x\in A

vérifie

M\le x

et, pour tout

\varepsilon>0

, il existe

x\in A

tel que

x<M-\varepsilon

.

Explication

Cette caractérisation combine le fait que $M$ majore $A$ et celui qu’aucun nombre plus petit ne peut encore majorer l’ensemble. La présence d’un élément égal à $M$ n’est pas requise pour une borne supérieure.

Answer

Tout $$x\in A$$ vérifie $$x\le M$$ et, pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$x\in A$$ tel que $$M-\varepsilon<x\le M$$.

Question 7

7. Quelle propriété possède tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{R}$ ?

Il possède nécessairement un maximum appartenant à l’ensemble.

Il admet une borne inférieure qui dépasse tous ses éléments.

Il est nécessairement constitué d’un nombre fini d’éléments.

Il admet une borne supérieure qui appartient à

\mathbb{R}

.

Explication

La propriété de complétude de $\mathbb{R}$ garantit qu’un ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure réelle. Cette borne peut ne pas être un élément de l’ensemble, donc l’existence d’un maximum n’est pas garantie.

Answer

Il admet une borne supérieure qui appartient à $$\mathbb{R}$$.

Question 8

8. Quelle propriété caractérise un intervalle réel $I$ ?

Si

x<y<z

et

y\in I

, alors

x,z\in I

.

Tout intervalle réel possède un plus petit et un plus grand élément.

Si

x<y<z

et

x,z\in I

, alors

y\in I

.

Un intervalle réel est formé de points séparés par des intervalles vides.

Explication

Un intervalle contient tout réel situé entre deux de ses éléments. La propriété inverse ne caractérise pas les intervalles, et certains intervalles comme $]a,b[$ n’ont ni plus petit ni plus grand élément.

Answer

Si $$x<y<z$$ et $$x,z\in I$$, alors $$y\in I$$.

Question 9

9. Que signifie l’écriture $]a,+\infty[$ pour un intervalle réel ?

L’ensemble des réels strictement inférieurs à

a

L’ensemble des réels strictement supérieurs à

a

L’ensemble des réels compris entre

a

et un maximum fini

L’ensemble des réels supérieurs ou égaux à

a

Explication

Le crochet tourné vers l’extérieur en $a$ exclut cette borne, tandis que l’infini n’est pas un élément inclus dans l’intervalle. Ainsi, $]a,+\infty[$ contient les réels vérifiant $x>a$ .

Answer

L’ensemble des réels strictement supérieurs à $$a$$

Question 10

10. Quelle propriété caractérise une fonction de X vers Y ?

Elle associe à chaque élément de X un unique élément de Y

Elle associe seulement certains éléments de X à des éléments de Y

Elle associe à chaque élément de Y un unique élément de X

Elle associe à chaque élément de X plusieurs éléments possibles de Y

Explication

Une fonction attribue à chaque élément du domaine X une valeur déterminée dans Y. L’existence de plusieurs valeurs pour un même élément de X ne respecte pas cette définition.

Answer

Elle associe à chaque élément de X un unique élément de Y

Question 11

11. Pour une fonction f de X vers Y, comment définit-on l’image directe d’un sous-ensemble A de X ?

Comme l’ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x appartient à A

Comme l’ensemble de tous les couples de X et de Y

Comme l’ensemble des antécédents d’un élément fixé de Y

Comme l’ensemble des éléments x de X dont l’image appartient à A

Explication

L’image directe f(A) rassemble les valeurs f(x) lorsque x parcourt A. La description par les éléments x dont l’image appartient à un ensemble concerne une image réciproque.

Answer

Comme l’ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x appartient à A

Question 12

12. Que représente l’image réciproque d’un singleton par une fonction f ?

Le graphe formé par les couples associés à cet élément

Le sous-ensemble du codomaine contenant toutes les images possibles

La fibre de f au-dessus de l’élément considéré

L’ensemble des valeurs atteintes par tous les éléments du domaine

Explication

L’image réciproque du singleton {y} est l’ensemble des x tels que f(x)=y, appelé fibre de f en y. Elle regroupe donc des antécédents du codomaine, et non des valeurs d’image.

Answer

La fibre de f au-dessus de l’élément considéré

Question 13

13. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction f de X vers Y ?

Chaque élément de Y possède exactement un antécédent dans X

Toutes les valeurs de Y sont obtenues par la fonction

Deux éléments de X ayant la même image sont nécessairement égaux

Chaque élément de Y possède au moins un antécédent dans X

Explication

Une fonction est injective lorsque l’égalité f(x)=f(x') entraîne x=x'. La présence d’au moins un antécédent pour chaque élément de Y caractérise la surjectivité.

Answer

Deux éléments de X ayant la même image sont nécessairement égaux

Question 14

14. Quelle propriété doit vérifier une fonction surjective de X vers Y ?

Chaque élément de Y possède au moins un antécédent dans X

Chaque élément de Y possède au plus un antécédent dans X

Deux éléments distincts de X ont des images distinctes

Chaque élément de X possède au moins deux images dans Y

Explication

La surjectivité signifie que tout élément du codomaine Y est l’image d’au moins un élément de X. La condition d’au plus un antécédent correspond à l’injectivité.

Answer

Chaque élément de Y possède au moins un antécédent dans X

Question 15

15. Une fonction f de X vers Y est-elle bijective dans quelle situation ?

Chaque élément de Y possède exactement un antécédent dans X

Chaque élément de Y possède au plus un antécédent dans X

Chaque élément de Y possède au moins un antécédent dans X

Certains éléments de Y possèdent plusieurs antécédents dans X

Explication

Une bijection associe à chaque élément de Y exactement un antécédent, ce qui combine injectivité et surjectivité. L’injectivité seule autorise l’absence d’antécédent pour certains éléments de Y.

Answer

Chaque élément de Y possède exactement un antécédent dans X

Question 16

16. Quelle propriété caractérise l’existence d’une fonction réciproque pour f de X vers Y ?

f est injective et peut laisser des éléments de Y sans antécédent

f est définie sur un intervalle et respecte une relation de monotonie

f est bijective et possède une unique réciproque de Y vers X

f est surjective et peut associer une même valeur à plusieurs éléments de X

Explication

Une fonction possède une unique réciproque de Y vers X lorsqu’elle est bijective, avec les identités de composition correspondantes. L’injectivité ou la surjectivité seule ne garantit pas ces deux identités.

Answer

f est bijective et possède une unique réciproque de Y vers X

Question 17

17. Dans la composée $g\circ f$ , quelle fonction est appliquée en premier à un élément x ?

La fonction

f^{-1}

, puisque la composée annule f

La fonction g, puisque

(g\circ f)(x)=f(g(x))

La fonction f, puisque

(g\circ f)(x)=g(f(x))

La fonction

g^{-1}

, puisque la composée revient dans X

Explication

Dans g∘f, on calcule d’abord f(x), puis on applique g au résultat. L’écriture f∘g inverserait cet ordre lorsque les compositions sont définies.

Answer

La fonction f, puisque $$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

Question 18

18. Pour quelles valeurs de x le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est-il défini ?

Pour les valeurs de x telles que

g(x)=0

Pour les valeurs de x telles que

g(x)\ne0

Pour les valeurs de x telles que

f(x)\ne0

Pour les valeurs de x telles que

f(x)=g(x)

Explication

Le quotient de deux fonctions est défini lorsque le dénominateur g(x) n’est pas nul. La valeur de f(x) peut être nulle sans empêcher le quotient d’exister.

Answer

Pour les valeurs de x telles que $$g(x)\ne0$$

Question 19

19. Quelle condition exprime qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I ?

Si

x\le x'

, alors

f(x)\ge f(x')

Si

x<x'

, alors

f(x)>f(x')

Si

x<x'

, alors

f(x)<f(x')

Si

x\le x'

, alors

f(x)=f(x')

Explication

La croissance stricte conserve et renforce l’ordre : des arguments strictement croissants donnent des images strictement croissantes. L’inégalité inversée décrit une tendance décroissante, non une croissance stricte.

Answer

Si $$x<x'$$, alors $$f(x)<f(x')$$

Question 20

20. Que peut-on déduire d’une fonction strictement monotone sur un intervalle ?

Elle est surjective, même si toute fonction surjective n’est pas monotone

Elle est injective, même si toute fonction injective n’est pas strictement monotone

Elle est constante, même si toute fonction constante n’est pas monotone

Elle est paire, même si toute fonction paire n’est pas injective

Explication

Une fonction strictement monotone sur un intervalle prend des valeurs distinctes pour des arguments distincts, donc elle est injective. La réciproque est fausse en général, sauf sous l’hypothèse supplémentaire de continuité.

Answer

Elle est injective, même si toute fonction injective n’est pas strictement monotone

Question 21

21. Quelle propriété caractérise un ensemble dénombrable ?

Il est en bijection avec

\mathbb{N}

et ses éléments peuvent être numérotés.

Il possède une structure algébrique permettant d’additionner tous ses éléments.

Il contient un nombre fini d’éléments pouvant être classés par ordre croissant.

Il est en bijection avec

\mathbb{R}

et ses éléments couvrent une droite continue.

Explication

Un ensemble est dénombrable lorsqu’il existe une bijection entre lui et $\mathbb{N}$ , ce qui permet d’indexer ses éléments. La finitude n’est pas requise : un ensemble dénombrable peut être infini, contrairement à l’ensemble des réels.

Answer

Il est en bijection avec $$\mathbb{N}$$ et ses éléments peuvent être numérotés.

Question 22

22. Laquelle des affirmations suivantes compare correctement $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}$ du point de vue de la dénombrabilité ?

Les deux ensembles sont dénombrables car leurs éléments peuvent être décrits.

Les deux ensembles ne sont pas dénombrables car ils contiennent une infinité d’éléments.

\mathbb{Z}

n’est pas dénombrable, tandis que

\mathbb{R}

l’est.

\mathbb{Z}

est dénombrable, tandis que

\mathbb{R}

ne l’est pas.

Explication

Les entiers relatifs peuvent être énumérés et forment donc un ensemble dénombrable, alors que les réels ne peuvent pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ . L’infinité ne suffit pas à conclure qu’un ensemble est indénombrable.

Answer

$$\mathbb{Z}$$ est dénombrable, tandis que $$\mathbb{R}$$ ne l’est pas.

Question 23

23. Que peut-on déduire de la dénombrabilité de $\mathbb{Q}_{>0}$ concernant l’ensemble $\mathbb{Q}$ ?

\mathbb{Q}

n’est pas dénombrable, car les rationnels comprennent aussi des nombres négatifs.

\mathbb{Q}

est fini, car chaque rationnel possède une écriture fractionnaire.

\mathbb{Q}

a la même cardinalité que

\mathbb{R}

, car ces ensembles sont tous deux numériques.

\mathbb{Q}

est dénombrable, car les rationnels positifs permettent d’établir une énumération des rationnels.

Explication

L’ensemble des rationnels positifs est dénombrable, et ce résultat entraîne que l’ensemble des rationnels est lui aussi dénombrable. La présence de rationnels négatifs et de zéro ne change pas cette possibilité d’énumération.

Answer

$$\mathbb{Q}$$ est dénombrable, car les rationnels positifs permettent d’établir une énumération des rationnels.

QCM : Fonctions d’une variable réelle — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles usuels est correcte ?

2. Quelle inégalité caractérise la partie entière $[x]$ d’un réel $x$ ?

3. Quel critère distingue un réel rationnel d’un réel non rationnel à partir de son développement décimal propre ?

4. Comment définit-on la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}$ ?

5. Quelle condition caractérise un majorant réel $M$ d’un ensemble non vide $A$ ?

6. Quelle propriété permet de vérifier qu’un réel $M$ est la borne supérieure d’un ensemble non vide $A$ ?

7. Quelle propriété possède tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{R}$ ?

8. Quelle propriété caractérise un intervalle réel $I$ ?

9. Que signifie l’écriture $]a,+\infty[$ pour un intervalle réel ?

10. Quelle propriété caractérise une fonction de X vers Y ?

11. Pour une fonction f de X vers Y, comment définit-on l’image directe d’un sous-ensemble A de X ?

12. Que représente l’image réciproque d’un singleton par une fonction f ?

13. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction f de X vers Y ?

14. Quelle propriété doit vérifier une fonction surjective de X vers Y ?

15. Une fonction f de X vers Y est-elle bijective dans quelle situation ?

16. Quelle propriété caractérise l’existence d’une fonction réciproque pour f de X vers Y ?

17. Dans la composée $g\circ f$ , quelle fonction est appliquée en premier à un élément x ?

18. Pour quelles valeurs de x le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est-il défini ?

19. Quelle condition exprime qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I ?

20. Que peut-on déduire d’une fonction strictement monotone sur un intervalle ?

21. Quelle propriété caractérise un ensemble dénombrable ?

22. Laquelle des affirmations suivantes compare correctement $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}$ du point de vue de la dénombrabilité ?

23. Que peut-on déduire de la dénombrabilité de $\mathbb{Q}_{>0}$ concernant l’ensemble $\mathbb{Q}$ ?

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QCM : Fonctions d’une variable réelle — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles usuels est correcte ?

2. Quelle inégalité caractérise la partie entière [x][x][x] d’un réel xxx ?

3. Quel critère distingue un réel rationnel d’un réel non rationnel à partir de son développement décimal propre ?

4. Comment définit-on la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide de R\mathbb{R}R ?

5. Quelle condition caractérise un majorant réel MMM d’un ensemble non vide AAA ?

6. Quelle propriété permet de vérifier qu’un réel MMM est la borne supérieure d’un ensemble non vide AAA ?

7. Quelle propriété possède tout sous-ensemble non vide et majoré de R\mathbb{R}R ?

8. Quelle propriété caractérise un intervalle réel III ?

9. Que signifie l’écriture ]a,+∞[]a,+\infty[]a,+∞[ pour un intervalle réel ?

10. Quelle propriété caractérise une fonction de X vers Y ?

11. Pour une fonction f de X vers Y, comment définit-on l’image directe d’un sous-ensemble A de X ?

12. Que représente l’image réciproque d’un singleton par une fonction f ?

13. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction f de X vers Y ?

14. Quelle propriété doit vérifier une fonction surjective de X vers Y ?

15. Une fonction f de X vers Y est-elle bijective dans quelle situation ?

16. Quelle propriété caractérise l’existence d’une fonction réciproque pour f de X vers Y ?

17. Dans la composée g∘fg\circ fg∘f, quelle fonction est appliquée en premier à un élément x ?

18. Pour quelles valeurs de x le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ est-il défini ?

19. Quelle condition exprime qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I ?

20. Que peut-on déduire d’une fonction strictement monotone sur un intervalle ?

21. Quelle propriété caractérise un ensemble dénombrable ?

22. Laquelle des affirmations suivantes compare correctement Z\mathbb{Z}Z et R\mathbb{R}R du point de vue de la dénombrabilité ?

23. Que peut-on déduire de la dénombrabilité de Q>0\mathbb{Q}_{>0}Q>0​ concernant l’ensemble Q\mathbb{Q}Q ?

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2. Quelle inégalité caractérise la partie entière $[x]$ d’un réel $x$ ?

4. Comment définit-on la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}$ ?

5. Quelle condition caractérise un majorant réel $M$ d’un ensemble non vide $A$ ?

6. Quelle propriété permet de vérifier qu’un réel $M$ est la borne supérieure d’un ensemble non vide $A$ ?

7. Quelle propriété possède tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{R}$ ?

8. Quelle propriété caractérise un intervalle réel $I$ ?

9. Que signifie l’écriture $]a,+\infty[$ pour un intervalle réel ?

17. Dans la composée $g\circ f$ , quelle fonction est appliquée en premier à un élément x ?

18. Pour quelles valeurs de x le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est-il défini ?

22. Laquelle des affirmations suivantes compare correctement $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}$ du point de vue de la dénombrabilité ?

23. Que peut-on déduire de la dénombrabilité de $\mathbb{Q}_{>0}$ concernant l’ensemble $\mathbb{Q}$ ?