QCM : Fonctions du second degré — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une fonction polynôme du second degré, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les coefficients aa, bb et cc sont des nombres réels.
Elle est définie sur l’ensemble des nombres réels.
Elle s’écrit sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c.
Le coefficient aa est différent de zéro.
Elle s’écrit avec un coefficient aa nécessairement égal à zéro.

Les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont des nombres réels. · Elle est définie sur l’ensemble des nombres réels. · Elle s’écrit sous la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$. · Le coefficient $$a$$ est différent de zéro.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie sur R\mathbb{R} et s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Les coefficients sont réels et a≠0a\ne0 ; un coefficient a=0a=0 ne donnerait pas un trinôme du second degré.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les formes d’écriture d’un trinôme, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La forme canonique s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c.
La forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.
La forme développée s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c.
La forme factorisée met en évidence les racines.
La forme développée met directement en évidence les racines.

La forme canonique s’écrit $$a(x-\alpha)^2+\beta$$. · La forme développée s’écrit $$ax^2+bx+c$$. · La forme factorisée met en évidence les racines.

Explication

La forme développée est ax2+bx+cax^2+bx+c, tandis que la forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta. La forme factorisée met en évidence les racines ; la forme développée montre plutôt les coefficients.

3. Les paramètres de la forme canonique d’un trinôme vérifient :

On peut écrire toute fonction du second degré sous la forme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.
Le paramètre β\beta vaut −b2−4ac4a-\frac{b^2-4ac}{4a}.
Le paramètre α\alpha correspond à l’ordonnée du sommet.
Le paramètre α\alpha vaut −b2a-\frac{b}{2a}.
Le paramètre β\beta représente l’abscisse du sommet.

On peut écrire toute fonction du second degré sous la forme $$a(x-\alpha)^2+\beta$$. · Le paramètre $$\beta$$ vaut $$-\frac{b^2-4ac}{4a}$$. · Le paramètre $$\alpha$$ vaut $$-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Toute fonction du second degré admet une forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta. On a α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a} ; α\alpha est l’abscisse et β\beta l’ordonnée du sommet.

4. Au sujet du sommet associé à une forme canonique, quelles sont les réponses exactes ?

Son abscisse est le paramètre α\alpha.
Le sommet est noté S(β;α)S(\beta;\alpha).
La forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.
Le sommet de la parabole est noté S(α;β)S(\alpha;\beta).
Son ordonnée est le paramètre α\alpha.

Son abscisse est le paramètre $$\alpha$$. · La forme canonique s’écrit $$a(x-\alpha)^2+\beta$$. · Le sommet de la parabole est noté $$S(\alpha;\beta)$$.

Explication

Pour f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, le sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta). Ainsi, α\alpha est son abscisse et β\beta son ordonnée ; l’ordre inversé S(β;α)S(\beta;\alpha) est incorrect.

5. Concernant l’orientation d’une parabole et ses extrema, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas.
Si a<0a<0, la parabole possède un minimum.
Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut.
Si a>0a>0, la fonction possède un minimum.
Si a>0a>0, la fonction possède un maximum.

Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas. · Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut. · Si $$a>0$$, la fonction possède un minimum.

Explication

Lorsque a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum. Lorsque a<0a<0, elle est tournée vers le bas et possède un maximum.

6. Concernant le discriminant d’un trinôme, quelles sont les propositions exactes ?

Le discriminant est noté Δ\Delta.
Le discriminant est donné par Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac.
Le discriminant correspond à l’ordonnée du sommet.
Le discriminant est noté β\beta.
Pour ax2+bx+cax^2+bx+c, on a Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

Le discriminant est noté $$\Delta$$. · Pour $$ax^2+bx+c$$, on a $$\Delta=b^2-4ac$$.

Explication

Le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Le symbole β\beta désigne l’ordonnée du sommet dans la forme canonique, et non le discriminant.

7. Pour résoudre une équation du second degré par discriminant, il convient de :

Déterminer le nombre de solutions avant de calculer le discriminant.
Calculer d’abord Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
Commencer par appliquer une formule avant de déterminer le signe de Δ\Delta.
Utiliser le signe de β\beta pour choisir le cas de résolution.
Identifier ensuite le cas correspondant au signe de Δ\Delta.

Calculer d’abord $$\Delta=b^2-4ac$$. · Identifier ensuite le cas correspondant au signe de $$\Delta$$.

Explication

La méthode consiste d’abord à calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis à appliquer le cas correspondant à son signe. Le choix du cas ne repose ni sur β\beta ni sur une décision prise avant le calcul du discriminant.

8. Lorsqu’un trinôme vérifie Δ>0\Delta>0, quelles sont les propositions exactes ?

Les solutions sont x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
Les deux solutions réelles sont opposées.
L’équation possède une unique solution réelle.
L’équation possède deux solutions réelles distinctes.
La formule des solutions utilise −Δ\sqrt{-\Delta}.

Les solutions sont $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$. · L’équation possède deux solutions réelles distinctes.

Explication

Si Δ>0\Delta>0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes, données par x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. Ces solutions ne sont pas nécessairement opposées ; l’unicité correspond au cas Δ=0\Delta=0.

9. Les conséquences du signe du discriminant sont les suivantes :

Si Δ<0\Delta<0, l’équation ne possède aucune solution réelle.
Si Δ=0\Delta=0, l’équation ne possède aucune solution réelle.
Si Δ<0\Delta<0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes.
Si Δ=0\Delta=0, l’équation possède une unique solution réelle.
Lorsque Δ=0\Delta=0, cette solution vaut x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.

Si $$\Delta<0$$, l’équation ne possède aucune solution réelle. · Si $$\Delta=0$$, l’équation possède une unique solution réelle. · Lorsque $$\Delta=0$$, cette solution vaut $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Pour Δ=0\Delta=0, il existe une unique solution réelle x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Pour Δ<0\Delta<0, aucune solution réelle n’existe ; deux solutions distinctes correspondent à Δ>0\Delta>0.

10. Concernant la somme et le produit des racines d’un trinôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Lorsque Δ>0\Delta>0, la somme des racines vaut −ba-\frac ba.
Pour f(x)=5x2−4x−1f(x)=5x^2-4x-1, la racine évidente est x1=−1x_1=-1.
Lorsque Δ>0\Delta>0, le produit des racines vaut ca\frac ca.
La relation du produit s’écrit x1x2=cax_1x_2=\frac ca.
Pour f(x)=5x2−4x−1f(x)=5x^2-4x-1, la seconde racine vaut x2=15x_2=\frac15.

Lorsque $$\Delta>0$$, la somme des racines vaut $$-\frac ba$$. · Lorsque $$\Delta>0$$, le produit des racines vaut $$\frac ca$$. · La relation du produit s’écrit $$x_1x_2=\frac ca$$.

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, les relations de Viète donnent x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac ba et x1x2=cax_1x_2=\frac ca. Pour f(x)=5x2−4x−1f(x)=5x^2-4x-1, la racine évidente est 11 et l’autre racine vaut −15-\frac15. La racine évidente n’est donc pas −1-1 et la seconde racine n’est pas 15\frac15.

11. Pour le trinôme f(x)=5x2−4x−1f(x)=5x^2-4x-1, quelles sont les réponses exactes concernant ses racines ?

La seconde racine vaut 25\frac25.
La racine évidente est x1=−1x_1=-1.
Le produit des deux racines vaut −15-\frac15.
La racine évidente du trinôme est x1=1x_1=1.
La seconde racine est x2=−15x_2=-\frac15.

Le produit des deux racines vaut $$-\frac15$$. · La racine évidente du trinôme est $$x_1=1$$. · La seconde racine est $$x_2=-\frac15$$.

Explication

On vérifie que f(1)=0f(1)=0, donc une racine est 11. Comme le produit vaut ca=−15\frac ca=-\frac15, l’autre racine est −15-\frac15. Ainsi, le produit des deux racines vaut −15-\frac15, la racine évidente est x1=1x_1=1 et la seconde racine est x2=−15x_2=-\frac15; elle ne vaut donc pas 25\frac25.

12. À propos de la factorisation d’un trinôme selon le discriminant :

Un discriminant négatif fournit une racine double réelle.
Lorsque Δ<0\Delta<0, le trinôme s’écrit a(x−x0)2a(x-x_0)^2.
Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme s’écrit a(x−x0)2a(x-x_0)^2.
Pour Δ<0\Delta<0, aucune forme factorisée n’existe dans R\mathbb{R}.
Un discriminant nul permet une factorisation par carré.

Lorsque $$\Delta=0$$, le trinôme s’écrit $$a(x-x_0)^2$$. · Pour $$\Delta<0$$, aucune forme factorisée n’existe dans $$\mathbb{R}$$. · Un discriminant nul permet une factorisation par carré.

Explication

Si Δ=0\Delta=0, le trinôme possède une racine double et se factorise sous la forme a(x−x0)2a(x-x_0)^2. Si Δ<0\Delta<0, il n’admet pas de forme factorisée dans R\mathbb{R} et ne possède pas de racine double réelle.

13. Un trinôme s’annule en −1-1 et 22 et vérifie f(3)=−2f(3)=-2. Quelles propositions sont exactes ?

La condition f(3)=−2f(3)=-2 conduit à a=−12a=-\frac12.
Les deux facteurs associés aux racines sont x+1x+1 et x−2x-2.
On peut écrire f(x)=a(x+1)(x−2)f(x)=a(x+1)(x-2).
Le coefficient directeur du facteur constant vaut a=12a=\frac12.
Le trinôme obtenu est f(x)=−12x2+12x+1f(x)=-\frac12x^2+\frac12x+1.

La condition $$f(3)=-2$$ conduit à $$a=-\frac12$$. · Les deux facteurs associés aux racines sont $$x+1$$ et $$x-2$$. · On peut écrire $$f(x)=a(x+1)(x-2)$$. · Le trinôme obtenu est $$f(x)=-\frac12x^2+\frac12x+1$$.

Explication

Les racines −1-1 et 22 donnent f(x)=a(x+1)(x−2)f(x)=a(x+1)(x-2). En imposant f(3)=−2f(3)=-2, on obtient a=−12a=-\frac12, puis f(x)=−12x2+12x+1f(x)=-\frac12x^2+\frac12x+1; la valeur a=12a=\frac12 est donc incorrecte.

14. Concernant le signe d’un trinôme possédant deux racines réelles distinctes :

Entre les deux racines, le trinôme a le signe opposé à aa.
Entre les racines, le trinôme conserve le signe de aa.
À l’extérieur des racines, le trinôme prend le signe opposé à aa.
À l’extérieur des racines, le trinôme a le signe de aa.
Le signe extérieur est déterminé par le coefficient dominant aa.

Entre les deux racines, le trinôme a le signe opposé à $$a$$. · À l’extérieur des racines, le trinôme a le signe de $$a$$. · Le signe extérieur est déterminé par le coefficient dominant $$a$$.

Explication

Un trinôme est du signe de son coefficient aa à l’extérieur de ses racines. Entre celles-ci, son signe est opposé à aa; le signe intérieur n’est donc pas celui de aa, et le signe extérieur n’est pas son opposé.

15. Pour résoudre une inéquation du second degré, quelles étapes sont pertinentes ?

Le discriminant est calculé au cours de la résolution.
L’ensemble solution est choisi avant l’étude des signes.
Un tableau de signes permet d’étudier les intervalles.
Les racines éventuelles sont ensuite déterminées.
La forme factorisée est établie avant le calcul du discriminant.

Le discriminant est calculé au cours de la résolution. · Un tableau de signes permet d’étudier les intervalles. · Les racines éventuelles sont ensuite déterminées.

Explication

La méthode consiste à calculer le discriminant, déterminer les racines éventuelles, établir le tableau de signes, puis lire l’ensemble solution. La forme factorisée n’est pas établie avant le discriminant, et l’ensemble solution se déduit après l’étude des signes.

16. Concernant la comparaison de deux courbes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’étude du signe de f(x)+g(x)f(x)+g(x) permet directement de déterminer les intersections des courbes.
L’étude du signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) permet de comparer les positions relatives des courbes.
Les zéros de f(x)−g(x)f(x)-g(x) correspondent aux abscisses d’intersection des deux courbes.
Une différence f(x)−g(x)f(x)-g(x) négative indique que la courbe de ff est située en dessous de celle de gg.
Une différence f(x)−g(x)f(x)-g(x) positive indique que la courbe de ff est située au-dessus de celle de gg.

L’étude du signe de $$f(x)-g(x)$$ permet de comparer les positions relatives des courbes. · Les zéros de $$f(x)-g(x)$$ correspondent aux abscisses d’intersection des deux courbes. · Une différence $$f(x)-g(x)$$ négative indique que la courbe de $$f$$ est située en dessous de celle de $$g$$. · Une différence $$f(x)-g(x)$$ positive indique que la courbe de $$f$$ est située au-dessus de celle de $$g$$.

Explication

Le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) détermine si la courbe de ff est au-dessus ou en dessous de celle de gg. Une différence nulle donne les abscisses où les deux courbes se rencontrent, tandis que le signe de f(x)+g(x)f(x)+g(x) ne fournit pas directement cette comparaison.

17. Pour f(x)=−x2+8x−11f(x)=-x^2+8x-11 et g(x)=x−1g(x)=x-1, quelles sont les réponses exactes concernant leurs courbes ?

La courbe de ff est en dessous de celle de gg en dehors de l’intervalle [2;5][2;5].
La courbe de ff est au-dessus de celle de gg sur [2;5][2;5].
Les courbes se coupent aux abscisses 22 et 55.
Le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) est positif sur ]−∞;2[∪]5;+∞[]-\infty;2[\cup]5;+\infty[.
Les courbes se coupent aux abscisses −2-2 et −5-5.

La courbe de $$f$$ est en dessous de celle de $$g$$ en dehors de l’intervalle $$[2;5]$$. · La courbe de $$f$$ est au-dessus de celle de $$g$$ sur $$[2;5]$$. · Les courbes se coupent aux abscisses $$2$$ et $$5$$.

Explication

Les intersections ont pour abscisses 22 et 55. Entre ces deux valeurs, CfC_f est au-dessus de CgC_g, tandis que la différence f(x)−g(x)f(x)-g(x) est négative à l’extérieur de cet intervalle. Ainsi, elle n’est pas positive sur ]−∞;2[∪]5;+∞[]-\infty;2[\cup]5;+\infty[, et les abscisses 22 et −5-5 ne correspondent pas aux deux intersections.

18. Concernant la résolution de x2=ax^2=a dans R\mathbb{R} :

Pour a<0a<0, l’équation ne possède aucune solution réelle.
Pour a<0a<0, l’équation possède une solution réelle égale à −∣a∣-\sqrt{|a|}.
Pour a>0a>0, l’équation possède une seule solution réelle égale à a\sqrt a.
Pour a=0a=0, l’unique solution réelle est x=0x=0.
Pour a>0a>0, l’équation possède deux solutions opposées, a\sqrt a et −a-\sqrt a.

Pour $$a<0$$, l’équation ne possède aucune solution réelle. · Pour $$a=0$$, l’unique solution réelle est $$x=0$$. · Pour $$a>0$$, l’équation possède deux solutions opposées, $$\sqrt a$$ et $$-\sqrt a$$.

Explication

Lorsque a>0a>0, les deux solutions sont a\sqrt a et −a-\sqrt a. Pour a=0a=0, la solution est 00, et lorsque a<0a<0, aucune solution réelle n’existe; la racine carrée d’un nombre positif ne fournit donc pas une solution réelle dans ce dernier cas.

19. Parmi les propositions suivantes concernant l’extremum d’une fonction du second degré sous forme canonique, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’extremum est atteint pour x=αx=\alpha.
L’abscisse où l’extremum est atteint est donnée par x=βx=\beta.
La valeur de l’extremum est donnée par β\beta.
La valeur de l’extremum est donnée par α\alpha.
L’abscisse de l’extremum est donnée par −α-\alpha.

L’extremum est atteint pour $$x=\alpha$$. · La valeur de l’extremum est donnée par $$\beta$$.

Explication

Dans la forme canonique, β\beta représente la valeur de l’extremum, tandis que α\alpha représente l’abscisse pour laquelle il est atteint. La valeur n’est donc pas −β-\beta et l’abscisse correspondante n’est pas −α-\alpha.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction définie sur ℝ de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Quelle est la forme développée d'un trinôme du second degré ?

La forme développée est ax2+bx+cax^2+bx+c.

Comment s'écrit la forme canonique d'un trinôme du second degré ?

La forme canonique s'écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.

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