Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et formes d’écriture
2. Forme canonique et parabole
3. Résolution par discriminant
4. Somme et produit des racines
5. Factorisation du trinôme
6. Signe et inéquations
7. Comparaison de deux courbes
8. Méthodes complémentaires

📖 1. Trinôme et formes d’écriture

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, tandis que la forme factorisée met en évidence les racines et la forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Compléments

• Dans $f(x)=x^2-4x+5$, les coefficients sont $a=1$, $b=-4$ et $c=5$.

💡 Astuce mémo

Forme développée : coefficients visibles ; forme factorisée : racines visibles.

📖 2. Forme canonique et parabole

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction du second degré peut s’écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Le sommet de la parabole associée à la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est le point $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et possède un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et possède un maximum.

💡 Astuce mémo

La parabole se lit autour de son sommet S(α ; β).

📖 3. Résolution par discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule d’abord $\Delta=b^2-4ac$, puis on applique le cas correspondant au signe de Δ.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta<0$, elle ne possède aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ positif, nul ou négatif.

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque Δ>0, la somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

• Pour $f(x)=5x^2-4x-1$, la racine évidente est $x_1=1$ et la relation produit donne $x_2=-\frac15$.

💡 Astuce mémo

S = somme = −b/a ; P = produit = c/a.

📖 5. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$, il n’admet pas de forme factorisée dans ℝ.

Compléments

• Pour déterminer un trinôme s’annulant en −1 et 2 et vérifiant $f(3)=-2$, on écrit $f(x)=a(x+1)(x-2)$, puis on obtient $a=-\frac12$ et $f(x)=-\frac12x^2+\frac12x+1$.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine donne un carré.

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

📌 Un trinôme est toujours du signe de a à l’extérieur de ses deux racines et du signe opposé à a entre ses deux racines.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule le discriminant, détermine les racines éventuelles, établit le tableau de signes, puis lit l’ensemble solution.

Compléments

• L’inéquation $2x^2-9x+7<0$ a pour racines 1 et $\frac72$, donc son ensemble solution est $S=]1;\frac72[$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a impose le signe extérieur, puis les racines délimitent l’intervalle.

📖 7. Comparaison de deux courbes

★ À maîtriser

• Pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$, puis on déduit la position relative des courbes.

Compléments

• Pour $f(x)=-x^2+8x-11$ et $g(x)=x-1$, les courbes se coupent aux abscisses 2 et 5 ; Cf est au-dessus de Cg sur [2;5] et en dessous sur $]-\infty;2[\cup]5;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Différence f−g → discriminant → signe → position des courbes.

📖 8. Méthodes complémentaires

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $x^2=a$, si $a>0$ les solutions sont $x=\sqrt a$ et $x=-\sqrt a$, si $a=0$ la solution est $x=0$, et si $a<0$ il n’y a aucune solution réelle.

📌 La valeur de l’extremum d’une fonction du second degré sous forme canonique est β, atteint pour $x=\alpha$.

Compléments

• Pour vérifier qu’un nombre est solution d’une équation, on le substitue à x et on vérifie si l’égalité obtenue est vraie.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant