Fiche de révision : Introduction aux tests statistiques

📋 Plan du Cours

1. Fondements et objectifs des tests
2. Exemples d’analyse statistique
3. Facteurs influençant la décision
4. Construction générale d’un test
5. Hypothèses et formulation
6. Risques et décisions
7. Statistique et zone de rejet
8. Décision et p-valeur
9. Exemple du test salmonelle
10. Puissance et dimensionnement
11. Utilisation pratique des p-valeurs
12. Organisation et prérequis du cours

📖 1. Fondements et objectifs des tests

🔑 Notions clés & Définitions

• Test statistique : Méthode de statistique inférentielle qui utilise un ou plusieurs échantillons pour décider entre des hypothèses portant sur une population, tout en contrôlant le risque de décision erronée.

📝 Points essentiels

• Les données d’un échantillon sont considérées comme la réalisation de variables aléatoires décrites par un modèle et sont soumises aux fluctuations d’échantillonnage.

💡 Astuce mémo

Échantillon observé → décision sur la population → risque contrôlé

📖 2. Exemples d’analyse statistique

★ À maîtriser

• Dans l’exemple des glaces, la moyenne observée du niveau de salmonelle est 0.3803 NPP/g, supérieure au niveau de référence de 0.3 NPP/g, mais cette comparaison seule ne suffit pas pour décider d’arrêter la production.

Compléments

• Dans l’exemple des insecticides, les moyennes observées sont de 9,44 insectes morts pour A et 9,56 pour B, soit une différence de 0,12 insecte mort en moyenne, avec une forte superposition des séries.

• Dans l’exemple du tabagisme, 24 % des femmes et 31,5 % des hommes sont fumeurs, soit un écart observé de 7,5 points qui peut être dû aux fluctuations d’échantillonnage.

💡 Astuce mémo

Moyennes proches ou proportions différentes : l’écart observé ne suffit pas

📖 3. Facteurs influençant la décision

★ À maîtriser

📌 La représentativité ou le caractère atypique de l’échantillon, sa taille et la variance des observations influencent la capacité à distinguer deux hypothèses.

Compléments

📌 À taille d’échantillon égale, plus la variance des observations est faible, plus il est facile de discriminer entre deux hypothèses.

💡 Astuce mémo

Échantillon plus grand ou variance plus faible → distinction facilitée

📖 4. Construction générale d’un test

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique de test : Variable aléatoire fonction de X1,…,Xn dont la loi est connue sous H0 et dont le comportement diffère sous H1 et H0.

📝 Points essentiels

• 🔄 La construction d’un test de niveau α suit sept étapes:
  1. Modéliser les données
  2. Choisir H0 et H1
  3. Choisir une statistique de test
  4. Construire la zone de rejet et la règle de décision
  5. Mettre en œuvre le test
  6. Calculer la p-valeur
  7. Calculer la puissance

📐 Formule — La zone de rejet Rα est construite sous H0 pour vérifier $P_{H_0}(T_n\in R_\alpha)=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Modéliser → hypothèses → statistique → rejet → décision → p-valeur → puissance

📖 5. Hypothèses et formulation

★ À maîtriser

📌 H0 représente le statu quo ou l’hypothèse de stabilité, tandis que H1 est l’hypothèse que le test cherche à mettre en évidence.

• Pour tester si le niveau moyen de salmonelle dépasse 0.3 NPP/g, on formule H0 : μ ≤ 0.3 contre H1 : μ > 0.3.

Compléments

📌 Pour construire le test correspondant à H0 : μ ≤ 0.3 contre H1 : μ > 0.3, on travaille sur la valeur frontière μ = 0.3 de l’hypothèse nulle.

💡 Astuce mémo

H0 = statu quo ; H1 = hypothèse recherchée

📖 6. Risques et décisions

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur de première espèce : Consiste à rejeter H0 alors que H0 est vraie, et sa probabilité α correspond au risque de faux positif.
• Erreur de deuxième espèce : Consiste à ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie, et sa probabilité β correspond au risque de faux négatif.

📝 Points essentiels

📌 En pratique, le risque de première espèce α est fixé à l’avance, souvent à 5 % ou 10 %, tandis que le risque β n’est généralement pas contrôlé lorsque le test ne rejette pas H0.

💡 Astuce mémo

α = faux positif ; β = faux négatif

📖 7. Statistique et zone de rejet

🔑 Notions clés & Définitions

• Zone de rejet : Ensemble des valeurs de la statistique de test qui conduisent à rejeter H0 au niveau α.

📝 Points essentiels

• Dans le cadre du cours, les observations sont modélisées comme un n-échantillon de variables indépendantes et identiquement distribuées : $X_1,\ldots,X_n\ \text{sont i.i.d.}$.

📌 La règle de décision est de rejeter H0 si Tn appartient à Rα et de ne pas rejeter H0 si Tn n’appartient pas à Rα.

💡 Astuce mémo

Loi sous H0 → seuil critique → zone de rejet

📖 8. Décision et p-valeur

🔑 Notions clés & Définitions

• P-valeur : Le plus petit risque α pour lequel la valeur observée de la statistique conduit au rejet de H0 et mesure la contradiction entre H0 et les données.
• Puissance : La probabilité de rejeter H0 lorsque H1 est vraie, soit $\pi=P_{H_1}(\text{rejeter }H_0)=1-\beta$.

📝 Points essentiels

📌 Pour un niveau α fixé, on rejette H0 si p ≤ α et on ne rejette pas H0 si p > α.

📌 Ne pas rejeter H0 signifie seulement que les données ne sont pas en contradiction avec H0 ; cela ne signifie pas que H0 est vraie.

💡 Astuce mémo

Rejeter H0 démontre H1 ; ne pas rejeter H0 ne la rend pas vraie

📖 9. Exemple du test salmonelle

★ À maîtriser

• Dans l’exemple salmonelle, on observe n = 9 pots, une moyenne x̄ = 0.380333, une variance connue σ² = 0.0686 et une référence μ0 = 0.3 NPP/g.

📐 Formule — Pour tester H0 : μ = 0.3 contre H1 : μ > 0.3 avec une variance connue, on utilise $T_n=\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-0.3)}{\sigma}$ et, sous H0, $T_n\sim\mathcal N(0{,}1)$.

📌 Pour α = 5 %, le seuil critique est cα = 1.645 et la zone de rejet est R5% = {Tn > 1.645}, soit également {x̄ > 0.444}.

• Dans l’exemple, la statistique observée vaut tn = 0.9201, donc le test ne rejette pas H0 au niveau 5 %.

Compléments

• Avec la variance connue, la p-valeur vaut p = 0.179, tandis que le calcul R donne p = 0.1922 en supposant la variance inconnue et une loi de Student à 8 degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Modèle gaussien → moyenne de référence → seuil 1,645 → décision

📖 10. Puissance et dimensionnement

★ À maîtriser

📐 Formule — Sous H1 : μ = 0.4, la statistique suit $T_n\sim\mathcal N\left(\frac{\sqrt n}{\sigma}(0.4-0.3),1\right)=\mathcal N(1.145{,}1)$ pour n = 9 et σ = √0.0686 ≈ 0.262.

• Pour μ = 0.4, α = 5 % et n = 9, le risque de deuxième espèce vaut environ β = 0.691 et la puissance vaut π = 1 − β ≈ 0.309, soit environ 31 %.

📌 Quand α augmente, quand H1 s’éloigne de H0 ou quand n augmente, la puissance augmente et le risque β diminue.

Compléments

• Avec α = 5 %, un écart δ = 0.1 et l’écart-type observé, la taille minimale calculée pour atteindre 80 % de puissance est n = 44, et celle pour atteindre 90 % est n = 61.

💡 Astuce mémo

α, écart ou taille n augmentent → puissance augmente

📖 11. Utilisation pratique des p-valeurs

★ À maîtriser

📌 Dans une étude où α est prédéfini, on choisit avant l’étude le niveau α et une puissance cible, puis on calcule la taille d’échantillon n et on conserve le même α pour la décision.

Compléments

• Dans une étude sans seuil ni calcul de puissance préalable, le support propose d’interpréter les p-valeurs selon des intervalles : 0–1 % extrêmement significatif, 1–5 % fortement significatif, 5–10 % tendance à rejeter H0, 10–15 % difficile à conclure et au-delà de 15 % impossibilité de rejeter H0.

📌 Dans un rapport, il est préférable de donner la valeur exacte de la p-valeur, par exemple p = 0.064, plutôt que d’indiquer seulement p > 5 %.

💡 Astuce mémo

Seuil fixé avant l’étude versus interprétation graduée sans seuil

📖 12. Organisation et prérequis du cours

📝 Points essentiels

• Le cours s’appuie sur: la loi normale (gaussienne), la loi de Student, la loi du χ², la loi de Fisher, la lecture de tables ou la détermination de quantiles avec R, le théorème central limite

• Le plan comprend: les tests paramétriques à un échantillon, les tests du Chi-deux, les tests paramétriques de comparaison de deux échantillons, les tests de corrélation

📊 Tableaux de synthèse

Les deux erreurs de décision