Fiche de révision : Racines carrées et calculs

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Opérations sur les racines carrées
3. Réduction des expressions radicales
4. Développement et formes usuelles

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique nombre positif ou nul qui, élevé au carré, donne a, et elle n’existe pas dans les nombres réels lorsque a < 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout a ≥ 0, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.

📌 Pour tout nombre réel a, $\sqrt{a^2}=a$ si a ≥ 0, tandis que $\sqrt{a^2}=-a$ si a < 0.

Compléments

• Par exemple, $\sqrt{36}=6$ car $6^2=36$, et une valeur approchée de $\sqrt{2}$ au millième est 1,414.

💡 Astuce mémo

a ≥ 0 : √(a²) = a ; a < 0 : √(a²) = -a

📖 2. Opérations sur les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📐 Formule — Pour a ≥ 0 et b > 0, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$, comme le montrent $\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$ et $\sqrt{16+9}=5$.

Compléments

• Les propriétés permettent de calculer $\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{25/4}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}=2{,}5$.

💡 Astuce mémo

Les produits et quotients se regroupent sous le radical, mais pas les sommes

📖 3. Réduction des expressions radicales

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le radicand en un produit contenant un carré parfait, puis on extrait la racine de ce carré parfait.

📐 Formule — Les termes ayant le même radical se réduisent en additionnant ou en soustrayant leurs coefficients, par exemple $2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.

Compléments

• La racine $\sqrt{12}$ se réduit en $\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$.

• La racine $\sqrt{50}$ se réduit en $\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer le carré parfait, extraire la racine, conserver le radical

📖 4. Développement et formes usuelles

★ À maîtriser

• Pour calculer un produit de termes contenant des racines, on multiplie les coefficients puis les radicaux, comme dans $\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=6$.

📐 Formule — Le carré d’un terme radical se calcule en élevant séparément le coefficient et la racine au carré, ainsi $(-2\sqrt{3})^2=4\times3=12$.

Compléments

• Le développement $2(3+\sqrt{5})$ donne $6+2\sqrt{5}$.

• Le développement $2\sqrt{3}(5-2\sqrt{3})$ donne $-12+10\sqrt{3}$, sous la forme a + b√c.

• Les racines de fractions se calculent par exemple ainsi : $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, $\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$ et $\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$.

💡 Astuce mémo

Développer, calculer les termes semblables, puis ordonner sous a + b√c