Racines carrées et calculs

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Opérations sur les racines carrées
3. Réduction des expressions radicales
4. Développement et formes usuelles

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique nombre positif ou nul qui, élevé au carré, donne a, et elle n’existe pas dans les nombres réels lorsque a < 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout a ≥ 0, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.

📌 Pour tout nombre réel a, $\sqrt{a^2}=a$ si a ≥ 0, tandis que $\sqrt{a^2}=-a$ si a < 0.

Compléments

• Par exemple, $\sqrt{36}=6$ car $6^2=36$, et une valeur approchée de $\sqrt{2}$ au millième est 1,414.

💡 Astuce mémo

a ≥ 0 : √(a²) = a ; a < 0 : √(a²) = -a

📖 2. Opérations sur les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📐 Formule — Pour a ≥ 0 et b > 0, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$, comme le montrent $\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$ et $\sqrt{16+9}=5$.

Compléments

• Les propriétés permettent de calculer $\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{25/4}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}=2{,}5$.