Fiche de révision : Suites numériques et variations

📋 Plan du Cours

1. Formes explicite et récurrente
2. Étudier les variations
3. Programmer une suite en Python
4. Modéliser une croissance additive
5. Modéliser une évolution avec fuite

📖 1. Formes explicite et récurrente

★ À maîtriser

📌 Une forme explicite donne directement le terme général en fonction de n, tandis qu’une forme récurrente donne un terme initial et une relation permettant de calculer le terme suivant à partir du précédent.

📐 Formule — Pour $u_n=4n^2-3n+2$, on obtient $u_{n+1}=4n^2+5n+3$.

• Pour calculer un terme d’une suite récurrente, on part du terme initial puis on applique successivement la relation de récurrence jusqu’au rang voulu.

Compléments

• La suite définie par $u_n=3n-2$ est explicite et vérifie $u_0=-2$, $u_1=1$ et $u_2=4$.

• La suite définie par $v_0=5$ et $v_{n+1}=v_n+4$ est récurrente et vérifie $v_1=9$, $v_2=13$ et $v_3=17$.

💡 Astuce mémo

Explicite : on remplace n ; récurrente : on repart du terme précédent.

📖 2. Étudier les variations

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations par différence, on calcule $u_{n+1}-u_n$ : une différence positive indique une suite croissante et une différence négative indique une suite décroissante.

📐 Formule — Pour $v_n=n^2-6n+4$, on obtient $v_{n+1}-v_n=2n-5$ ; la suite est décroissante lorsque $n\leq 2$ puis croissante lorsque $n\geq 3$.

📐 Formule — Si les termes d’une suite sont strictement positifs, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ supérieur à 1 indique une croissance et le quotient inférieur à 1 indique une décroissance.

📐 Formule — Pour $a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{5}$, on a $a_{n+1}-a_n=\frac35(1-a_n)$ ; si $a_n<1$, la suite est strictement croissante.

Compléments

• Pour $w_n=\left(\frac{3}{2}\right)^n$, tous les termes sont strictement positifs et $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac32>1$ ; la suite est donc strictement croissante.

💡 Astuce mémo

Différence, quotient, puis relation de récurrence.

📖 3. Programmer une suite en Python

★ À maîtriser

• Pour calculer une suite explicite en Python, on affecte la valeur de n, on calcule l’expression du terme, puis on affiche le résultat avec print.

• Pour programmer $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ jusqu’à $u_5$, on initialise u à 4 puis on répète cinq fois l’instruction $u=2u+3$ avant d’afficher u.

Compléments

• Pour $u_n=3n+2$ et $n=10$, le programme affiche $u_{10}=32$.

• La suite définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ vérifie $u_5=159$.

💡 Astuce mémo

Initialiser, répéter, afficher.

📖 4. Modéliser une croissance additive

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de bactéries : définie par $u_0=500$ et $u_{n+1}=u_n+120$, où $u_n$ représente le nombre de bactéries après n heures

★ À maîtriser

📐 Formule — Le terme général de la suite bactérienne est $u_n=500+120n$.

📐 Formule — La différence de deux termes consécutifs vaut $u_{n+1}-u_n=120>0$, donc la suite bactérienne est strictement croissante.

Compléments

📌 Le premier entier n pour lequel le nombre de bactéries dépasse 2 000 est $n=13$, car après 13 heures il y a 2 060 bactéries.

💡 Astuce mémo

Ajout constant → suite arithmétique croissante.

📖 5. Modéliser une évolution avec fuite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite du réservoir : définie par $v_0=300$ et $v_{n+1}=0{,}95v_n+150$, car 5 % du volume initial de la journée est perdu avant l’ajout de 150 litres

★ À maîtriser

📐 Formule — La variation du volume du réservoir vérifie $v_{n+1}-v_n=150-0{,}05v_n$.

📌 Si la suite du réservoir est croissante et si $v_N=3000$, alors $v_{N+1}=0{,}95\times3000+150=3000$, ce qui montre qu’à partir du rang N la suite reste égale à 3000.

Compléments

• Les premiers termes du réservoir sont $v_1=435$, $v_2=563{,}25$, $v_3=685{,}0875$ et $v_4=800{,}833125$ litres.

💡 Astuce mémo

Perte de 5 % puis ajout de 150 L → relation affine.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’une suite