QCM : Suites numériques et variations — 15 questions

Question 1

1. Quelle distinction caractérise une forme explicite et une forme récurrente d’une suite ?

La forme explicite utilise un terme initial, tandis que la forme récurrente donne directement chaque terme selon le rang.

La forme explicite calcule les différences, tandis que la forme récurrente calcule les quotients entre termes successifs.

La forme explicite donne directement le terme selon le rang, tandis que la forme récurrente utilise un terme initial et une relation entre termes successifs.

La forme explicite concerne les suites croissantes, tandis que la forme récurrente concerne les suites décroissantes.

Explication

Une expression explicite fournit directement le terme général en fonction de son rang, alors qu’une relation récurrente permet d’obtenir un terme à partir du précédent. La présence d’un terme initial ne suffit donc pas à caractériser une forme explicite.

Answer

La forme explicite donne directement le terme selon le rang, tandis que la forme récurrente utilise un terme initial et une relation entre termes successifs.

Question 2

2. Si $u_n=4n^2-3n+2$ , quelle expression obtient-on pour $u_{n+1}$ ?

4n^2+5n+1

4n^2-n+2

4n^2-5n+3

4n^2+5n+3

Explication

En remplaçant $n$ par $n+1$ , on développe $4(n+1)^2-3(n+1)+2$ , ce qui donne $4n^2+5n+3$ . Le signe du terme linéaire change notamment parce que le développement de $4(n+1)^2$ fournit $8n$ .

Answer

$$4n^2+5n+3$$

Question 3

3. Pour calculer un terme éloigné d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

Choisir un terme quelconque et lui appliquer la relation jusqu’à obtenir le terme initial.

Calculer d’abord la différence entre deux termes puis utiliser cette différence pour atteindre le rang voulu.

Partir du terme initial et appliquer successivement la relation jusqu’au rang recherché.

Remplacer directement le rang recherché dans la relation reliant deux termes successifs.

Explication

Une suite récurrente se calcule en partant de sa valeur initiale, puis en appliquant la relation autant de fois que nécessaire. La relation entre deux termes successifs ne fournit donc pas directement un terme éloigné sans les étapes intermédiaires.

Answer

Partir du terme initial et appliquer successivement la relation jusqu’au rang recherché.

Question 4

4. Que permet de conclure le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ ?

Une différence positive indique une suite croissante, tandis qu’une différence négative indique une suite décroissante.

Une différence positive indique une suite décroissante, tandis qu’une différence négative indique une suite croissante.

Une différence positive indique que la suite est bornée, tandis qu’une différence négative indique qu’elle n’est pas bornée.

Une différence positive indique que les termes sont positifs, tandis qu’une différence négative indique qu’ils sont négatifs.

Explication

Comparer $u_{n+1}$ à $u_n$ par leur différence permet de déterminer le sens de variation : un résultat positif signifie que le terme suivant est plus grand. Le signe de cette différence ne renseigne pas directement sur la positivité ou la bornitude des termes.

Answer

Une différence positive indique une suite croissante, tandis qu’une différence négative indique une suite décroissante.

Question 5

5. Pour $v_n=n^2-6n+4$ , sur quels rangs la suite est-elle décroissante puis croissante ?

Elle est décroissante pour

n\leq 3

puis croissante pour

n\geq 4

.

Elle est croissante pour

n\leq 3

puis décroissante pour

n\geq 4

.

Elle est décroissante pour

n\leq 2

puis croissante pour

n\geq 3

.

Elle est croissante pour

n\leq 2

puis décroissante pour

n\geq 3

.

Explication

On calcule $v_{n+1}-v_n=2n-5$ , qui est négatif pour les rangs jusqu’à $2$ et positif à partir de $3$ . La suite diminue donc d’abord, puis augmente.

Answer

Elle est décroissante pour $$n\leq 2$$ puis croissante pour $$n\geq 3$$.

Question 6

6. Dans quelle situation l’étude des variations par quotient est-elle directement justifiée ?

Lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Lorsque la suite est définie par une relation récurrente affine.

Lorsque tous les termes de la suite sont négatifs ou nuls.

Lorsque la différence entre deux termes successifs est constante.

Explication

Le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ permet de comparer les termes lorsque ceux-ci sont strictement positifs : un quotient supérieur à $1$ traduit alors une croissance. La méthode par différence, elle, ne requiert pas cette condition de positivité.

Answer

Lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Question 7

7. Pour la suite définie par $a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{5}$ , que peut-on conclure lorsque $a_n<1$ ?

La suite est strictement décroissante au rang considéré.

La suite change nécessairement de sens de variation au rang considéré.

La suite est strictement croissante au rang considéré.

La suite est constante au rang considéré.

Explication

La différence vaut $a_{n+1}-a_n=\frac{3}{5}(1-a_n)$ , qui est positive lorsque $a_n<1$ . Le terme suivant est donc strictement supérieur au terme courant dans cette situation.

Answer

La suite est strictement croissante au rang considéré.

Question 8

8. Quelles étapes permettent de calculer en Python un terme d’une suite explicite ?

Définir une condition sur

n

, modifier sa valeur, puis afficher le quotient obtenu.

Affecter une valeur à

n

, calculer l’expression du terme, puis afficher le résultat avec print.

Initialiser le terme précédent, répéter une relation, puis afficher la dernière valeur avec print.

Calculer la différence entre deux termes, tester son signe, puis afficher une conclusion.

Explication

Pour une suite explicite, le programme utilise directement le rang fixé dans l’expression du terme, puis affiche la valeur calculée avec print. L’initialisation et les répétitions d’une relation concernent plutôt le calcul algorithmique d’une suite récurrente.

Answer

Affecter une valeur à $$n$$, calculer l’expression du terme, puis afficher le résultat avec print.

Question 9

9. Pour programmer $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ jusqu’à $u_5$ , quelle procédure convient ?

Initialiser u à

5

, répéter quatre fois

u=2u+3

, puis afficher u.

Initialiser u à

4

, répéter cinq fois

u=2u+3

, puis afficher u.

Initialiser u à

4

, répéter quatre fois

u=2u+3

, puis afficher u.

Initialiser u à

3

, répéter cinq fois

u=2u+4

, puis afficher u.

Explication

La valeur initiale $u=4$ représente $u_0$ , et cinq applications de la relation produisent successivement $u_1$ jusqu’à $u_5$ . Commencer avec $u_5$ ou effectuer quatre répétitions ne respecte pas le rang demandé.

Answer

Initialiser u à $$4$$, répéter cinq fois $$u=2u+3$$, puis afficher u.

Question 10

10. Dans le modèle du nombre de bactéries, que représentent respectivement 500 et 120 dans la relation $u_{n+1}=u_n+120$ ?

500 est le nombre initial et 120 l’augmentation horaire

500 est le nombre maximal et 120 la durée étudiée

500 est le nombre après une heure et 120 la perte horaire

500 est l’augmentation horaire et 120 le nombre initial

Explication

La valeur 500 correspond au nombre de bactéries au départ, tandis que 120 indique l’augmentation à chaque heure. L’interprétation inverse confond la condition initiale avec le pas d’évolution.

Answer

500 est le nombre initial et 120 l’augmentation horaire

Question 11

11. Combien de bactéries le modèle prévoit-il après 8 heures ?

960 bactéries

1 420 bactéries

1 580 bactéries

1 460 bactéries

Explication

On utilise le terme général $u_n=500+120n$ , donc $u_8=500+120\times8=1\,460$ . La valeur 1 420 provient d’un calcul erroné de l’augmentation cumulée.

Answer

1 460 bactéries

Question 12

12. Pourquoi la suite du nombre de bactéries est-elle strictement croissante ?

Parce que le premier terme vaut 500, une quantité positive

Parce que chaque différence

u_{n+1}-u_n

vaut 120, une quantité positive

Parce que le nombre de bactéries dépasse 2 000 après plusieurs heures

Parce que le terme général contient le facteur 120, sans examiner les différences

Explication

Une suite est strictement croissante lorsque la différence entre deux termes consécutifs est positive, ici $u_{n+1}-u_n=120>0$ . La positivité du premier terme ne suffit pas à établir la croissance.

Answer

Parce que chaque différence $$u_{n+1}-u_n$$ vaut 120, une quantité positive

Question 13

13. Dans la relation $v_{n+1}=0,95v_n+150$ , que représentent 0,95 et 150 ?

0,95 est le volume initial et 150 la durée entre deux mesures

0,95 est la perte quotidienne et 150 la part conservée dans le réservoir

0,95 est la part conservée après la fuite et 150 l’ajout quotidien

0,95 est le volume ajouté et 150 le coefficient de conservation

Explication

Le coefficient 0,95 signifie que 95 % du volume est conservé après une perte de 5 %, puis 150 litres sont ajoutés. Assimiler 0,95 à la perte inverse le rôle du coefficient dans le modèle.

Answer

0,95 est la part conservée après la fuite et 150 l’ajout quotidien

Question 14

14. Quelle expression décrit la variation du volume entre deux jours consécutifs ?

v_{n+1}-v_n=0,05v_n-150

v_{n+1}-v_n=150+0,95v_n

v_{n+1}-v_n=0,95v_n-150

v_{n+1}-v_n=150-0,05v_n

Explication

La perte quotidienne vaut $0,05v_n$ et l’ajout constant vaut 150 litres, d’où $v_{n+1}-v_n=150-0,05v_n$ . L’expression opposée représenterait une perte nette lorsque l’ajout dépasse pourtant la perte.

Answer

$$v_{n+1}-v_n=150-0,05v_n$$

Question 15

15. Si le réservoir atteint 3 000 litres au rang N et que la suite est croissante, que se passe-t-il ensuite ?

Le volume revient à 300 litres après une journée

Le volume reste égal à 3 000 litres à partir du rang N

Le volume diminue de 5 % sans nouvel ajout d’eau

Le volume augmente de 150 litres à chaque jour suivant

Explication

Pour $v_N=3000$ , on obtient $v_{N+1}=0,95\times3000+150=3000$ , puis le même calcul se répète. L’ajout quotidien ne provoque donc pas une hausse nette à ce niveau, car il compense exactement la fuite.

Answer

Le volume reste égal à 3 000 litres à partir du rang N

QCM : Suites numériques et variations — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction caractérise une forme explicite et une forme récurrente d’une suite ?

2. Si $u_n=4n^2-3n+2$ , quelle expression obtient-on pour $u_{n+1}$ ?

3. Pour calculer un terme éloigné d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

4. Que permet de conclure le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ ?

5. Pour $v_n=n^2-6n+4$ , sur quels rangs la suite est-elle décroissante puis croissante ?

6. Dans quelle situation l’étude des variations par quotient est-elle directement justifiée ?

7. Pour la suite définie par $a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{5}$ , que peut-on conclure lorsque $a_n<1$ ?

8. Quelles étapes permettent de calculer en Python un terme d’une suite explicite ?

9. Pour programmer $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ jusqu’à $u_5$ , quelle procédure convient ?

10. Dans le modèle du nombre de bactéries, que représentent respectivement 500 et 120 dans la relation $u_{n+1}=u_n+120$ ?

11. Combien de bactéries le modèle prévoit-il après 8 heures ?

12. Pourquoi la suite du nombre de bactéries est-elle strictement croissante ?

13. Dans la relation $v_{n+1}=0,95v_n+150$ , que représentent 0,95 et 150 ?

14. Quelle expression décrit la variation du volume entre deux jours consécutifs ?

15. Si le réservoir atteint 3 000 litres au rang N et que la suite est croissante, que se passe-t-il ensuite ?

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QCM : Suites numériques et variations — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction caractérise une forme explicite et une forme récurrente d’une suite ?

2. Si un=4n2−3n+2u_n=4n^2-3n+2un​=4n2−3n+2, quelle expression obtient-on pour un+1u_{n+1}un+1​ ?

3. Pour calculer un terme éloigné d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

4. Que permet de conclure le signe de la différence un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​ ?

5. Pour vn=n2−6n+4v_n=n^2-6n+4vn​=n2−6n+4, sur quels rangs la suite est-elle décroissante puis croissante ?

6. Dans quelle situation l’étude des variations par quotient est-elle directement justifiée ?

7. Pour la suite définie par an+1=2an+35a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{5}an+1​=52an​+3​, que peut-on conclure lorsque an<1a_n<1an​<1 ?

8. Quelles étapes permettent de calculer en Python un terme d’une suite explicite ?

9. Pour programmer u0=4u_0=4u0​=4 et un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3un+1​=2un​+3 jusqu’à u5u_5u5​, quelle procédure convient ?

10. Dans le modèle du nombre de bactéries, que représentent respectivement 500 et 120 dans la relation un+1=un+120u_{n+1}=u_n+120un+1​=un​+120 ?

11. Combien de bactéries le modèle prévoit-il après 8 heures ?

12. Pourquoi la suite du nombre de bactéries est-elle strictement croissante ?

13. Dans la relation vn+1=0,95vn+150v_{n+1}=0,95v_n+150vn+1​=0,95vn​+150, que représentent 0,95 et 150 ?

14. Quelle expression décrit la variation du volume entre deux jours consécutifs ?

15. Si le réservoir atteint 3 000 litres au rang N et que la suite est croissante, que se passe-t-il ensuite ?

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2. Si $u_n=4n^2-3n+2$ , quelle expression obtient-on pour $u_{n+1}$ ?

4. Que permet de conclure le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ ?

5. Pour $v_n=n^2-6n+4$ , sur quels rangs la suite est-elle décroissante puis croissante ?

7. Pour la suite définie par $a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{5}$ , que peut-on conclure lorsque $a_n<1$ ?

9. Pour programmer $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ jusqu’à $u_5$ , quelle procédure convient ?

10. Dans le modèle du nombre de bactéries, que représentent respectivement 500 et 120 dans la relation $u_{n+1}=u_n+120$ ?

13. Dans la relation $v_{n+1}=0,95v_n+150$ , que représentent 0,95 et 150 ?