Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et reconnaissance
2. Formes d’écriture
3. Forme canonique
4. Parabole et extremum
5. Variations et symétrie
6. Sommet et axe

📖 1. Définition et reconnaissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Aussi appelée fonction polynôme de degré 2 ou trinôme, elle s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a réel non nul et b, c réels quelconques.

★ À maîtriser

📌 Une expression comme 5x−3 est une fonction affine de degré 1, tandis qu’une expression contenant un terme en x⁴, comme 3x²+5x⁴, est un polynôme de degré 4 et non une fonction du second degré.

Compléments

• Les trois monômes d’un trinôme du second degré sont ax², bx et c.

💡 Astuce mémo

ABC : ax² + bx + c

📖 2. Formes d’écriture

★ À maîtriser

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, tandis que la forme factorisée présente la fonction comme un produit de facteurs, par exemple $K(x)=(x-1)(2x+3)$.

Compléments

• L’expression $K(x)=(x-1)(2x+3)$ représente une fonction du second degré car son développement contient le terme $2x^2$.

💡 Astuce mémo

Développée : termes séparés ; factorisée : facteurs multipliés

📖 3. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une écriture d’une fonction du second degré sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont des nombres réels.

★ À maîtriser

📌 Le coefficient a est conservé entre la forme développée $ax^2+bx+c$ et la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Compléments

• La fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=2(x-5)^2-40$, avec α=5 et β=−40.

💡 Astuce mémo

Une parabole centrée autour de x = α et décalée de β

📖 4. Parabole et extremum

★ À maîtriser

• La représentation graphique de toute fonction du second degré est une parabole.

📌 Si a est positif, la parabole est orientée vers le haut et la fonction admet un minimum atteint pour x=α, de valeur β.

📌 Si a est négatif, la parabole est orientée vers le bas et la fonction admet un maximum atteint pour x=α, de valeur β.

Compléments

• Pour $f(x)=2(x-5)^2-40$, la parabole est orientée vers le haut et son minimum est atteint en x=5 avec une valeur égale à −40.

💡 Astuce mémo

a positif : sourire et minimum ; a négatif : tristesse et maximum

📖 5. Variations et symétrie

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse de l’extrémum est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si a>0, la fonction est décroissante jusqu’à $x=-\frac{b}{2a}$ puis croissante jusqu’à plus l’infini.

💡 Astuce mémo

Décroît puis croît si a > 0 ; croît puis décroît si a < 0

📖 6. Sommet et axe

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point $M\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, soit le point de coordonnées (α,β), correspondant au maximum ou au minimum.

★ À maîtriser

📌 L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$, c’est-à-dire $x=\alpha$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=2(x-5)^2-40$, le sommet de la parabole est le point de coordonnées (5,−40) et son axe de symétrie est la droite x=5.

💡 Astuce mémo

Le sommet repose sur l’axe vertical x = α

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et comportement de la parabole