Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et reconnaissance du trinôme
2. Formes d’écriture du trinôme
3. Forme canonique et paramètres
4. Parabole et extremum
5. Sommet et axe de symétrie
6. Variations selon le coefficient directeur

📖 1. Définition et reconnaissance du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Aussi appelée fonction polynôme de degré 2 ou trinôme, elle s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et $b,c\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📌 Une expression comme $5x-3$ est une fonction du premier degré, tandis qu’une expression contenant un terme en $x^4$ est une fonction polynôme de degré 4, même si elle contient aussi un terme en $x^2$.

Compléments

📌 Dans l’écriture $ax^2+bx+c$, les termes $ax^2$, $bx$ et $c$ sont trois monômes, ce qui explique le nom de trinôme.

💡 Astuce mémo

ABC : ax² + bx + c

📖 2. Formes d’écriture du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : D’un polynôme du second degré, elle est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels.

★ À maîtriser

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, tandis que la forme factorisée est obtenue par produit de facteurs et fait apparaître le terme en $x^2$ après développement.

Compléments

• La fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

Développée : termes séparés ; factorisée : facteurs multipliés ; canonique : sommet lisible

📖 3. Forme canonique et paramètres

★ À maîtriser

• Dans une forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le coefficient placé devant le carré est le même coefficient a que celui du terme en $x^2$ dans la forme développée.

Compléments

📌 Pour passer de la forme canonique à la forme développée, il suffit de développer et de réduire, tandis que le passage inverse est présenté comme plus difficile.

📖 4. Parabole et extremum

★ À maîtriser

• La représentation graphique de toute fonction du second degré est une parabole.

📌 Si $a>0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la parabole a ses branches tournées vers le haut et la fonction admet un minimum égal à $\beta$, atteint pour $x=\alpha$.

Compléments

• Pour $f(x)=2(x-5)^2-40$, la parabole est tournée vers le haut et son minimum est atteint pour $x=5$ avec la valeur $-40$.

💡 Astuce mémo

a positif : sourire et minimum ; a négatif : tristesse et maximum

📖 5. Sommet et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet de la parabole est le point $M\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, de coordonnées $M(\alpha,\beta)$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse de l’extrémum est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Le sommet est le point central autour duquel la parabole se reflète

📖 6. Variations selon le coefficient directeur

★ À maîtriser

• Si $a>0$, la fonction est d’abord décroissante jusqu’à $x=-\frac{b}{2a}$, où elle atteint son minimum, puis croissante.

• Si $a<0$, la fonction est d’abord croissante jusqu’à $x=-\frac{b}{2a}$, où elle atteint son maximum, puis décroissante.

Compléments

📐 Formule — La valeur de l’extrémum est $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$, ce qui correspond à $\beta$ lorsque la fonction est écrite sous forme canonique.

💡 Astuce mémo

a positif : décroissante puis croissante ; a négatif : croissante puis décroissante

📊 Tableaux de synthèse

Influence du signe de a