QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Question 1

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction du second degré ?

f(x)=5x-3

f(x)=6x^3-x+4

f(x)=x^4+2x^2-1

f(x)=3x^2-2x+7

Explication

Une fonction du second degré s’écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ . L’expression $5x-3$ est du premier degré, tandis que les deux autres expressions sont de degrés 4 et 3.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+7$$

Question 2

2. Quel est le degré de l’expression $4x^4-3x^2+2$ ?

Degré 3

Degré 1

Degré 4

Degré 2

Explication

Le degré d’un polynôme est celui de sa puissance de $x$ la plus élevée, ici $x^4$ . La présence d’un terme en $x^2$ ne transforme donc pas cette expression en trinôme du second degré.

Answer

$$f(x)=2(x-3)(x+1)$$

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Answer

Développer puis réduire l’expression

Answer

Une parabole

Answer

La parabole est tournée vers le haut et son minimum vaut $$-7$$ en $$x=2$$.

Answer

$$\frac{3}{2}$$

Answer

C’est le point $$M(\alpha,\beta)$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$.

Answer

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Answer

Elle est décroissante, atteint un minimum, puis devient croissante.

Answer

Elle croît jusqu’à $$x=-\frac{b}{2a}$$, atteint un maximum, puis décroît.

Question 3

3. Laquelle des expressions suivantes est une forme factorisée d’un trinôme ?

f(x)=2x^2+2x^2-6

f(x)=2x^2-4x-6

f(x)=2(x-2)^2+1

f(x)=2(x-3)(x+1)

Explication

Une forme factorisée présente le trinôme comme un produit de facteurs, comme $2(x-3)(x+1)$ . L’expression $2x^2-4x-6$ est développée, tandis que $2(x-2)^2+1$ est canonique.

Question 4

4. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)

f(x)=a(x-\alpha)+\beta

Explication

La forme canonique est caractérisée par un carré, selon $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ . La forme $ax^2+bx+c$ est développée, tandis que les deux autres écritures ne correspondent pas à la définition donnée.

Question 5

5. Dans la forme canonique $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelle valeur correspond au coefficient a de la forme développée ?

a=3

a=-3

a=4

a=-7

Explication

Le coefficient placé devant le carré reste le même que celui du terme en $x^2$ dans la forme développée. Ici, ce coefficient est donc $a=3$ , tandis que $4$ et $-7$ correspondent respectivement à des paramètres de la forme canonique.

Question 6

6. Quelle opération permet de passer directement de la forme canonique à la forme développée ?

Compléter le carré puis factoriser l’expression

Calculer le discriminant puis développer l’expression

Développer puis réduire l’expression

Remplacer les paramètres par les coefficients développés

Explication

Le passage de la forme canonique à la forme développée se fait en développant le carré puis en réduisant les termes semblables. La mise sous forme canonique demande au contraire une méthode spécifique et ne consiste pas à remplacer directement les paramètres.

Question 7

7. Quelle forme géométrique représente graphiquement toute fonction du second degré ?

Une parabole

Une droite affine

Un cercle

Une hyperbole

Explication

Toute fonction du second degré possède une représentation graphique en forme de parabole. Une droite correspond à une fonction affine, tandis qu’un cercle et une hyperbole ne décrivent pas cette famille de fonctions.

Question 8

8. Pour $f(x)=3(x-2)^2-7$ , que peut-on déduire du coefficient $a=3$ et de la forme canonique ?

La parabole est tournée vers le bas et son maximum vaut

-7

en

x=2

.

La parabole est tournée vers le haut et son minimum vaut

-7

en

x=2

.

La parabole est tournée vers le haut et son maximum vaut

3

en

x=-2

.

La parabole est tournée vers le bas et son minimum vaut

3

en

x=-2

.

Explication

Comme $a>0$ , les branches sont tournées vers le haut et l’extrémum est un minimum atteint pour $x=2$ , de valeur $-7$ . Le cas d’un maximum correspondrait à un coefficient directeur négatif.

Question 9

9. Pour $f(x)=4x^2-12x+5$ , quelle est l’abscisse de l’extrémum ?

-\frac{3}{2}

\frac{5}{2}

-\frac{5}{2}

\frac{3}{2}

Explication

La formule donne $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times4}=\frac{3}{2}$ . L’abscisse recherchée dépend de $a$ et $b$ , et non de la constante $c$ .

Question 10

10. Comment caractérise-t-on le sommet d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

C’est le nombre

\alpha=-\frac{b}{2a}

, qui représente la valeur de l’extrémum.

C’est le point

M(\beta,\alpha)

, où

\beta

désigne l’abscisse de l’extrémum.

C’est la droite verticale d’équation

x=-\frac{b}{2a}

, passant par la parabole.

C’est le point

M(\alpha,\beta)

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

.

Explication

Le sommet est un point dont les coordonnées sont l’abscisse $\alpha$ et l’ordonnée $\beta=f(\alpha)$ . Le nombre $\alpha$ seul représente seulement l’abscisse, tandis que la droite verticale correspond à l’axe de symétrie.

Question 11

11. Quelle équation décrit l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

x=f\left(-\frac{b}{2a}\right)

x=-\frac{b}{2a}

y=-\frac{b}{2a}

y=f\left(-\frac{b}{2a}\right)

Explication

L’axe de symétrie est une droite verticale dont tous les points ont pour abscisse $-\frac{b}{2a}$ , d’où l’équation $x=-\frac{b}{2a}$ . Une équation de la forme $y=\text{constante}$ décrirait une droite horizontale.

Question 12

12. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est positif, dans quel ordre ses variations se présentent-elles ?

Elle est décroissante, atteint un minimum, puis devient croissante.

Elle est décroissante, atteint un maximum, puis devient croissante.

Elle est croissante, atteint un maximum, puis devient décroissante.

Elle est croissante, atteint un minimum, puis devient décroissante.

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à l’abscisse de l’extrémum, puis croît après ce point. Le schéma croissant puis décroissant correspond au cas $a<0$ .

Question 13

13. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est négatif, quelle description de ses variations est correcte ?

Elle croît jusqu’à

x=-\frac{b}{2a}

, atteint un maximum, puis décroît.

Elle décroît jusqu’à

x=-\frac{b}{2a}

, atteint un minimum, puis croît.

Elle croît jusqu’à

x=-\frac{b}{2a}

, atteint un minimum, puis décroît.

Elle décroît jusqu’à

x=-\frac{b}{2a}

, atteint un maximum, puis croît.

Explication

Avec $a<0$ , les branches de la parabole sont tournées vers le bas : la fonction croît jusqu’à l’abscisse de l’extrémum, où elle atteint un maximum, puis décroît. Le profil décroissant puis croissant appartient au cas $a>0$ .

QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction du second degré ?

2. Quel est le degré de l’expression $4x^4-3x^2+2$ ?

3. Laquelle des expressions suivantes est une forme factorisée d’un trinôme ?

4. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

5. Dans la forme canonique $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelle valeur correspond au coefficient a de la forme développée ?

6. Quelle opération permet de passer directement de la forme canonique à la forme développée ?

7. Quelle forme géométrique représente graphiquement toute fonction du second degré ?

8. Pour $f(x)=3(x-2)^2-7$ , que peut-on déduire du coefficient $a=3$ et de la forme canonique ?

9. Pour $f(x)=4x^2-12x+5$ , quelle est l’abscisse de l’extrémum ?

10. Comment caractérise-t-on le sommet d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

11. Quelle équation décrit l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

12. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est positif, dans quel ordre ses variations se présentent-elles ?

13. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est négatif, quelle description de ses variations est correcte ?

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QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction du second degré ?

2. Quel est le degré de l’expression 4x4−3x2+24x^4-3x^2+24x4−3x2+2 ?

3. Laquelle des expressions suivantes est une forme factorisée d’un trinôme ?

4. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

5. Dans la forme canonique f(x)=3(x−4)2−7f(x)=3(x-4)^2-7f(x)=3(x−4)2−7, quelle valeur correspond au coefficient a de la forme développée ?

6. Quelle opération permet de passer directement de la forme canonique à la forme développée ?

7. Quelle forme géométrique représente graphiquement toute fonction du second degré ?

8. Pour f(x)=3(x−2)2−7f(x)=3(x-2)^2-7f(x)=3(x−2)2−7, que peut-on déduire du coefficient a=3a=3a=3 et de la forme canonique ?

9. Pour f(x)=4x2−12x+5f(x)=4x^2-12x+5f(x)=4x2−12x+5, quelle est l’abscisse de l’extrémum ?

10. Comment caractérise-t-on le sommet d’une parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

11. Quelle équation décrit l’axe de symétrie de la parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

12. Pour une fonction du second degré dont le coefficient aaa est positif, dans quel ordre ses variations se présentent-elles ?

13. Pour une fonction du second degré dont le coefficient aaa est négatif, quelle description de ses variations est correcte ?

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2. Quel est le degré de l’expression $4x^4-3x^2+2$ ?

5. Dans la forme canonique $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelle valeur correspond au coefficient a de la forme développée ?

8. Pour $f(x)=3(x-2)^2-7$ , que peut-on déduire du coefficient $a=3$ et de la forme canonique ?

9. Pour $f(x)=4x^2-12x+5$ , quelle est l’abscisse de l’extrémum ?

10. Comment caractérise-t-on le sommet d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

11. Quelle équation décrit l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

12. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est positif, dans quel ordre ses variations se présentent-elles ?

13. Pour une fonction du second degré dont le coefficient $a$ est négatif, quelle description de ses variations est correcte ?