QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=ax^3+bx^2+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=\frac{a}{x}+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

Explication

Une fonction du second degré est un trinôme de la forme $ax^2+bx+c$ , avec des coefficients réels et $a\ne0$ . L’expression affine est de degré un, tandis que les deux autres expressions ne correspondent pas à un trinôme du second degré.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\ne0$$

Question 2

2. Quelle est la forme canonique de $ax^2+bx+c$ ?

a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{2a}

a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2-4ac}{4a}

a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2+4ac}{4a}

Explication

La forme canonique s’obtient en complétant le carré et s’écrit $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$ . Les autres expressions modifient le signe, le facteur ou le discriminant et ne développent donc pas le trinôme donné.

Answer

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Question 3

3. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ , comment définit-on le discriminant $\Delta$ ?

\Delta=b^2+4ac

\Delta=\frac{b^2-4ac}{4a}

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2-4ac

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ . Le terme $-\frac{\Delta}{4a}$ appartient à la forme canonique et ne constitue pas la définition du discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 4

4. Quelle est la courbe représentative d’une fonction du second degré dans un repère orthogonal ?

Un cercle

Une droite

Une hyperbole

Une parabole

Explication

La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole. Une fonction affine est représentée par une droite, tandis qu’une hyperbole ou un cercle ne correspondent pas à cette forme générale.

Answer

Une parabole

Question 5

5. Quel est l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

La droite d’équation

y=-\frac{b}{2a}

La droite d’équation

x=-\frac{b}{2a}

La droite d’équation

y=-\frac{\Delta}{4a}

La droite d’équation

x=-\frac{\Delta}{4a}

Explication

L’axe de symétrie est une droite verticale d’équation $x=-\frac{b}{2a}$ . La quantité $-\frac{\Delta}{4a}$ donne l’ordonnée du sommet, et non l’équation de l’axe.

Answer

La droite d’équation $$x=-\frac{b}{2a}$$

Question 6

6. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

\left(\frac{b}{2a},\frac{\Delta}{4a}\right)

\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)

\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)

\left(-\frac{b}{2a},\frac{\Delta}{4a}\right)

Explication

Le sommet possède pour abscisse $-\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $-\frac{\Delta}{4a}$ . Inverser ces coordonnées ou changer le signe de l’ordonnée conduit à un point différent.

Answer

$$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$$

Question 7

7. Si $a>0$ , quelle propriété la fonction du second degré possède-t-elle ?

Elle atteint un minimum égal à

-\frac{\Delta}{4a}

en

x=-\frac{b}{2a}

Elle atteint un maximum égal à

\frac{\Delta}{4a}

en

x=\frac{b}{2a}

Elle atteint un maximum égal à

-\frac{\Delta}{4a}

en

x=-\frac{b}{2a}

Elle atteint un minimum égal à

-\frac{b}{2a}

en

x=-\frac{\Delta}{4a}

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut et la fonction atteint son minimum au sommet. La valeur minimale est $-\frac{\Delta}{4a}$ , obtenue pour $x=-\frac{b}{2a}$ ; le maximum correspond au cas $a<0$ .

Answer

Elle atteint un minimum égal à $$-\frac{\Delta}{4a}$$ en $$x=-\frac{b}{2a}$$

Question 8

8. Combien de solutions réelles possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

Deux solutions réelles distinctes, données par

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Aucune solution réelle, car la racine carrée du discriminant disparaît

Une infinité de solutions réelles, car les deux racines sont confondues

Une solution réelle, donnée par

x_0=-\frac{b}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux solutions éventuelles se confondent en une seule solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ , tandis que $\Delta<0$ ne donne aucune solution réelle.

Answer

Une solution réelle, donnée par $$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Question 9

9. Comment appelle-t-on les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

Le sommet du trinôme

Les racines du trinôme

Le discriminant du trinôme

L’axe de symétrie du trinôme

Explication

Les solutions de l’équation sont appelées les racines du trinôme. Le sommet est un point de la parabole, l’axe de symétrie est une droite et le discriminant est le nombre $b^2-4ac$ .

Answer

Les racines du trinôme

Question 10

10. Pour un trinôme de coefficient directeur $a>0$ dont le discriminant vérifie $\Delta<0$ , quelle affirmation est correcte ?

Le trinôme reste strictement positif pour toute valeur réelle de

x

.

Le trinôme est strictement négatif entre deux racines réelles distinctes.

Le trinôme possède deux racines réelles distinctes et change de signe entre elles.

Le trinôme possède une racine réelle double et s’annule en un seul point.

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , le trinôme ne possède aucune racine réelle et conserve le signe de $a$ ; avec $a>0$ , il est donc positif. L’idée d’une racine double correspond au cas $\Delta=0$ , tandis que deux racines distinctes exigent $\Delta>0$ .

Answer

Le trinôme reste strictement positif pour toute valeur réelle de $$x$$.

Question 11

11. Pour $f(x)=2x^2-8x+8$ , quelle forme factorisée correspond au cas où le discriminant est nul ?

f(x)=2(x-1)^2

f(x)=2(x-4)^2

f(x)=2(x+2)^2

f(x)=2(x-2)^2

Explication

Le discriminant est nul et la racine double vaut $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$ , d’où $f(x)=2(x-2)^2$ . La valeur $4$ est le coefficient de la forme développée, et non la racine double.

Answer

$$f(x)=2(x-2)^2$$

Question 12

12. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

f(x)=a(x_1-x)(x_2-x)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)^2

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les deux racines distinctes donnent la factorisation $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Les signes inversés dans les deux facteurs déplaceraient les racines en $-x_1$ et $-x_2$ .

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 13

13. Pour un trinôme avec $a<0$ et deux racines distinctes $x_1<x_2$ , quel est son signe sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?

Il est nul sur tout l’intervalle situé entre les deux racines.

Il est positif, car il prend le signe de

-a

à l’intérieur des racines.

Il change de signe plusieurs fois à l’intérieur de cet intervalle.

Il est négatif, car il conserve le signe de

a

entre les racines.

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme prend le signe de $-a$ entre les racines ; comme $a<0$ , il est donc positif sur $]x_1,x_2[$ . Il s’annule aux racines, mais pas sur tout l’intervalle qui les sépare.

Answer

Il est positif, car il prend le signe de $$-a$$ à l’intérieur des racines.

Question 14

14. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $3x^2-12x+5$ vérifient quelle relation concernant leur somme ?

x_1+x_2=-4

x_1+x_2=-\frac{5}{3}

x_1+x_2=\frac{5}{3}

x_1+x_2=4

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ ; ici, $-\frac{-12}{3}=4$ . La valeur $\frac{5}{3}$ correspond au produit des racines, et non à leur somme.

Answer

$$x_1+x_2=4$$

Question 15

15. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $2x^2+6x-7$ vérifient quelle relation concernant leur produit ?

x_1x_2=\frac{7}{2}

x_1x_2=3

x_1x_2=-3

x_1x_2=-\frac{7}{2}

Explication

Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}$ ; ici, $\frac{-7}{2}=-\frac{7}{2}$ . La valeur $-3$ est la somme des racines, obtenue par $-\frac{b}{a}$ .

Answer

$$x_1x_2=-\frac{7}{2}$$

QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Quelle est la forme canonique de $ax^2+bx+c$ ?

3. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ , comment définit-on le discriminant $\Delta$ ?

4. Quelle est la courbe représentative d’une fonction du second degré dans un repère orthogonal ?

5. Quel est l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

7. Si $a>0$ , quelle propriété la fonction du second degré possède-t-elle ?

8. Combien de solutions réelles possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

9. Comment appelle-t-on les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

10. Pour un trinôme de coefficient directeur $a>0$ dont le discriminant vérifie $\Delta<0$ , quelle affirmation est correcte ?

11. Pour $f(x)=2x^2-8x+8$ , quelle forme factorisée correspond au cas où le discriminant est nul ?

12. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

13. Pour un trinôme avec $a<0$ et deux racines distinctes $x_1<x_2$ , quel est son signe sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?

14. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $3x^2-12x+5$ vérifient quelle relation concernant leur somme ?

15. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $2x^2+6x-7$ vérifient quelle relation concernant leur produit ?

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QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Quelle est la forme canonique de ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

3. Pour le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c, comment définit-on le discriminant Δ\DeltaΔ ?

4. Quelle est la courbe représentative d’une fonction du second degré dans un repère orthogonal ?

5. Quel est l’axe de symétrie de la parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

6. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

7. Si a>0a>0a>0, quelle propriété la fonction du second degré possède-t-elle ?

8. Combien de solutions réelles possède l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

9. Comment appelle-t-on les solutions de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

10. Pour un trinôme de coefficient directeur a>0a>0a>0 dont le discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0, quelle affirmation est correcte ?

11. Pour f(x)=2x2−8x+8f(x)=2x^2-8x+8f(x)=2x2−8x+8, quelle forme factorisée correspond au cas où le discriminant est nul ?

12. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle factorisation lui correspond ?

13. Pour un trinôme avec a<0a<0a<0 et deux racines distinctes x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, quel est son signe sur l’intervalle ]x1,x2[]x_1,x_2[]x1​,x2​[ ?

14. Les racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ de 3x2−12x+53x^2-12x+53x2−12x+5 vérifient quelle relation concernant leur somme ?

15. Les racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ de 2x2+6x−72x^2+6x-72x2+6x−7 vérifient quelle relation concernant leur produit ?

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2. Quelle est la forme canonique de $ax^2+bx+c$ ?

3. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ , comment définit-on le discriminant $\Delta$ ?

5. Quel est l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

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8. Combien de solutions réelles possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

9. Comment appelle-t-on les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

10. Pour un trinôme de coefficient directeur $a>0$ dont le discriminant vérifie $\Delta<0$ , quelle affirmation est correcte ?

11. Pour $f(x)=2x^2-8x+8$ , quelle forme factorisée correspond au cas où le discriminant est nul ?

12. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

13. Pour un trinôme avec $a<0$ et deux racines distinctes $x_1<x_2$ , quel est son signe sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?

14. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $3x^2-12x+5$ vérifient quelle relation concernant leur somme ?

15. Les racines $x_1$ et $x_2$ de $2x^2+6x-7$ vérifient quelle relation concernant leur produit ?