Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme canonique
2. Parabole et variations
3. Résolution de l’équation
4. Factorisation et signe
5. Relations entre les racines

📖 1. Définition et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction numérique définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique du trinôme est $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → forme canonique → sommet et discriminant

📖 2. Parabole et variations

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction du second degré dans un repère orthogonal est une parabole.

• La parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ admet la droite d’équation $x=-\frac{b}{2a}$ comme axe de symétrie.

• Le sommet de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$.

📌 Si $a>0$, la fonction atteint son minimum en $-\frac{b}{2a}$ et ce minimum vaut $-\frac{\Delta}{4a}$.

📌 Si $a<0$, la fonction atteint son maximum en $-\frac{b}{2a}$ et ce maximum vaut $-\frac{\Delta}{4a}$.

💡 Astuce mémo

a>0 ouvre vers le haut et donne un minimum ; a<0 ouvre vers le bas et donne un maximum

📖 3. Résolution de l’équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines du trinôme : Solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Le nombre de solutions réelles de $ax^2+bx+c=0$ dépend du signe de $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, il y a une solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, il y a deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 4. Factorisation et signe

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas sur ℝ et il est toujours du signe de a.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$, avec $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes.

📌 Lorsque $\Delta>0$, le trinôme est nul en $x_1$ et $x_2$, du signe de a à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines et du signe de $-a$ à l’intérieur.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines : signe de a ; à l’intérieur : signe opposé

📖 5. Relations entre les racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$, alors leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$, alors leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Somme S = −b/a, produit P = c/a

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de racines selon le discriminant