Fiche de révision : Fonctions et applications

📋 Plan du Cours

1. Fonctions, applications et images
2. Représentations des fonctions
3. Composition des fonctions
4. Injection et surjection
5. Bijection et fonction réciproque

📖 1. Fonctions, applications et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction f de A vers B associe à tout élément de A au plus un élément de B.
• Application : Une application f de A vers B associe à tout élément de A un élément unique de B.
• Domaine de définition : Ensemble des éléments de A qui ont une image par f, inclus dans A.
• Image de f : Ensemble des valeurs prises par f(a) lorsque a parcourt A, inclus dans B.
• Image réciproque : Pour tout sous-ensemble F de B, ensemble des x de A tels que f(x) appartient à F.

💡 Astuce mémo

Fonction : au plus une image ; application : une image unique

📖 2. Représentations des fonctions

★ À maîtriser

• Une fonction peut être représentée par :
  • une table de valeurs
  • une formule
  • une courbe lorsque A = ℝ
  • un diagramme sagittal

Compléments

• Pour un ensemble de départ fini, une table peut associer à chaque élément de A l’élément correspondant de B.

• Lorsque l’ensemble de départ est infini, on ne peut pas stocker toutes les valeurs dans une table.

• La fonction qui associe à chaque étudiant son mois de naissance peut être représentée par une table de valeurs.

📖 3. Composition des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Si f : A → B et g : B → C sont des fonctions et si Im f ⊂ D_g, alors g ∘ f : A → C est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

★ À maîtriser

📌 En général, la composition des fonctions n’est pas commutative : g ∘ f ≠ f ∘ g.

Compléments

• Pour toute fonction f : A → B, on a f ∘ Id_A = f et Id_B ∘ f = f.

• Pour f(x) = x² + 3 et g(x) = √x + 1, définies sur les domaines du cours, (g ∘ f)(x) = √(x² + 3) + 1 et (f ∘ g)(x) = (√x + 1)² + 3.

💡 Astuce mémo

A → B par f, puis B → C par g

📖 4. Injection et surjection

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Application pour laquelle deux éléments distincts de A ont des images distinctes dans B, ce qui équivaut à f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂.
• Surjection : Application pour laquelle tout élément de B possède au moins un antécédent dans A, soit ∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f(a) = b.

📝 Points essentiels

• La fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² n’est pas injective, car f(1) = f(−1) = 1.

• La fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² n’est pas surjective, car −1 n’a pas d’antécédent réel.

💡 Astuce mémo

Injection : pas d’images communes ; surjection : pas d’élément d’arrivée oublié

📖 5. Bijection et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Application à la fois injective et surjective, c’est-à-dire telle que tout élément de B possède un unique antécédent dans A.
• Fonction réciproque : Relation inverse d’une fonction bijective qui est une fonction de B vers A.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est inversible si et seulement si elle est bijective.

Compléments

• Pour une bijection f : A → B et sa réciproque f⁻¹ : B → A, on a f ∘ f⁻¹ = Id_B et f⁻¹ ∘ f = Id_A.

• La bijection f : ℝ → ℝ définie par f(x) = 4x + 3 a pour réciproque f⁻¹(x) = (x − 3)/4.

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des applications