Fiche de révision : Fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Reconnaître le second degré
2. Formes et variations paraboliques
3. Discriminant et résolution des équations
4. Signe du trinôme et parabole
5. Choisir une forme et vérifier

📖 1. Reconnaître le second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Expression de la forme ax^2+bx+c, où a est non nul.

📝 Points essentiels

📌 En mathématiques, le second degré désigne une expression liée à une puissance maximale de 2, tandis que l’enseignement du second degré désigne le collège et le lycée.

• L’expression 2x^2-3x+1 est du second degré car son terme de plus haut degré est 2x^2, tandis que 5x-4 est du premier degré car elle ne contient pas de terme en x^2.

📖 2. Formes et variations paraboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction qui s’écrit f(x)=ax^2+bx+c, avec a non nul, et dont la courbe est une parabole.
• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction du second degré est f(x)=a(x-α)^2+β ; elle donne le sommet S(α,β) et l’axe de symétrie x=α.

📝 Points essentiels

• Dans la forme canonique f(x)=a(x-α)^2+β, le signe de a détermine le sens d’ouverture de la parabole : elle est tournée vers le haut si a est positif et vers le bas si a est négatif.

• Si a est positif, la fonction atteint un minimum au sommet et décroît puis croît ; si a est négatif, elle atteint un maximum au sommet et croît puis décroît.

💡 Astuce mémo

La forme développée révèle les coefficients ; la forme canonique révèle le sommet.

📖 3. Discriminant et résolution des équations

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme ax^2+bx+c est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Pour une équation ax^2+bx+c=0 avec a non nul, si Δ<0 elle n’a aucune solution réelle, si Δ=0 elle a une racine double, et si Δ>0 elle a deux racines réelles.

Compléments

📐 Formule - Si Δ=0, la racine double est $x_0=\frac{-b}{2a}$.

📐 Formule - Si Δ>0, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule - Pour deux racines x_1 et x_2 d’un trinôme, leur somme vaut $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ et leur produit vaut $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• L’équation x^2-5x+6=0 a pour discriminant 1, pour racines 2 et 3, et le trinôme se factorise en (x-2)(x-3).

💡 Astuce mémo

Mettre à zéro, calculer Δ, compter les racines, factoriser, vérifier.

📖 4. Signe du trinôme et parabole

★ À maîtriser

📌 Si un trinôme n’a aucune racine réelle, son signe ne change pas et reste celui de a.

📌 Si un trinôme a deux racines réelles x_1<x_2, il a le signe de a sur les intervalles extérieurs et le signe opposé entre les racines.

Compléments

• Lorsque la parabole a deux racines réelles, elle coupe l’axe des abscisses en ces deux racines ; si elle est tournée vers le haut, elle est sous l’axe entre elles, et si elle est tournée vers le bas, elle est au-dessus.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on repère les zéros du trinôme puis on sélectionne les intervalles où son signe satisfait l’inégalité.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le trinôme suit le signe de a ; entre elles, il prend le signe opposé.

📖 5. Choisir une forme et vérifier

★ À maîtriser

📌 Pour trouver les racines, on privilégie la forme factorisée lorsqu’elle est disponible ; sinon, on développe le trinôme et on calcule le discriminant.

📌 Pour lire le sommet ou les variations, on utilise la forme canonique ; pour étudier le signe, on croise les racines avec le signe de a.

Compléments

• La vérification d’une résolution consiste à contrôler que a est non nul, que le nombre de solutions concorde avec le discriminant et à remplacer chaque racine dans l’équation.

• Dans la forme canonique a(x-α)^2+β, le terme (x-α) signifie que l’abscisse du sommet est α, et non -α.

📊 Tableaux de synthèse

Formes du trinôme et informations lues