Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et coefficients du trinôme
2. Mise en forme canonique
3. Variations et extremum
4. Sommet et axe de symétrie
5. Construction de la parabole

📖 1. Définition et coefficients du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme du second degré, aussi appelée trinôme, est de degré 2, tandis que la fonction affine 5x − 3 et le polynôme 5x⁴ − 7x³ + 3x − 8 ne sont pas des fonctions du second degré.

📖 2. Mise en forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec a ≠ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, les paramètres de la forme canonique sont $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• Pour obtenir la forme canonique, on factorise d’abord par a, on complète le carré en ajoutant puis en retranchant le carré de la moitié du coefficient de x, puis on simplifie.

• La fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=2(x-5)^2-40$.

📖 3. Variations et extremum

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction du second degré écrite sous forme développée, si a > 0, elle décroît puis croît et admet un minimum, tandis que si a < 0, elle croît puis décroît et admet un maximum.

📌 Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec a ≠ 0, si a > 0, f admet un minimum égal à β pour x = α.

Compléments

📌 Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec a ≠ 0, si a < 0, f admet un maximum égal à β pour x = α.

• Pour $f(x)=2(x-1)^2+3$, la fonction admet un minimum égal à 3 en x = 1.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 4. Sommet et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Point de coordonnées $(\alpha;f(\alpha))$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$; il correspond à l’extremum de f.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\alpha$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a ≠ 0, l’ordonnée du sommet est $\beta=f(\alpha)$.

• Pour $f(x)=2x^2-12x+1$, le sommet est S(3;−17) et l’axe de symétrie a pour équation x = 3.

📖 5. Construction de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.

📝 Points essentiels

• Pour représenter une fonction du second degré, on détermine son sommet, on trace son axe de symétrie, puis on place des points de la courbe et on tient compte de son orientation selon le signe de a.

• Pour $f(x)=-x^2+4x$, le sommet est S(2,4), le coefficient a = −1 est négatif, et la courbe passe par les points (0,0) et (1,3).