QCM : Fonctions polynômes du second degré (9 questions)

Question 1

1. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

Elle s’écrit

f(x)=bx+c

, avec

b,c\in\mathbb{R}

et

b\neq 0

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^2+bx

, avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\neq 0

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\neq 0

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a,b,c\in\mathbb{Z}

et

a\neq 0

.

Explication

Un trinôme du second degré est défini par $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec des coefficients réels et un coefficient quadratique non nul. La forme sans terme constant l’omet, la forme affine n’est pas de degré deux, et l’exigence de coefficients entiers est trop restrictive.

Answer

Elle s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\neq 0$$.

Question 2

2. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction polynôme du second degré ?

g(x)=2x^3-4x+1

g(x)=5x-3

g(x)=5x^4-7x^3+3x-8

g(x)=3x^2-2x+1

Explication

Une fonction du second degré comporte un terme en $x^2$ de coefficient non nul et aucun terme de degré supérieur. La fonction affine est de degré un, tandis que les deux autres fonctions proposées ont un degré supérieur à deux.

Answer

$$g(x)=3x^2-2x+1$$

Question 3

3. Pour une fonction du second degré, quelle expression constitue la forme canonique ?

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a\neq 0

f(x)=a x^2-\alpha+\beta

, avec

a\neq 0

f(x)=(x-\alpha)^2+\beta

, avec

a\neq 0

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

a\neq 0

Explication

La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $a\neq 0$ . L’expression développée est la forme générale, et les autres propositions modifient la structure de la forme canonique en omettant le décalage ou le facteur $a$ .

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$a\neq 0$$

Question 4

4. Pour $f(x)=3x^2+12x+7$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique ?

\alpha=-2

et

\beta=7

\alpha=-2

et

\beta=-5

\alpha=2

et

\beta=-5

\alpha=-2

et

\beta=5

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{6}=-2$ , puis $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{144-84}{12}=-5$ . La valeur $2$ inverse le signe de $\alpha$ , $5$ inverse celui de $\beta$ , et $7$ reprend seulement le terme constant.

Answer

$$\alpha=-2$$ et $$\beta=-5$$

Question 5

5. Que désigne l’extremum d’une fonction du second degré ?

L’abscisse où la fonction coupe l’axe des ordonnées

La valeur minimale ou maximale atteinte par la fonction

Le point où la fonction change de signe

La valeur de la fonction lorsque son argument vaut zéro

Explication

L’extremum est la valeur minimale lorsque le coefficient de $x^2$ est positif, ou la valeur maximale lorsqu’il est négatif. L’abscisse où la courbe coupe l’axe des ordonnées correspond plutôt à la valeur de la fonction en zéro.

Answer

La valeur minimale ou maximale atteinte par la fonction

Question 6

6. Pour $f(x)=2x^2-12x+1$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole ?

x=-3

y=3

y=-17

x=3

Explication

L’abscisse du sommet vaut $\alpha=-\frac{b}{2a}=3$ , et l’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$ . La valeur $-17$ est l’ordonnée du sommet, et non une équation de l’axe.

Answer

Il indique l’orientation de la parabole, tandis que son sommet et son axe aident à la tracer.

Answer

Le trinôme comporte un terme de degré 2 avec $$a\ne 0$$, tandis que la fonction affine est de degré au plus 1.

Answer

Elle fait apparaître les paramètres $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$ sans changer la fonction.

Question 7

7. Lors de la construction graphique d’une parabole, quel est le rôle du signe du coefficient $a$ ?

Il indique l’orientation de la parabole, tandis que son sommet et son axe aident à la tracer.

Il fixe la valeur de l’ordonnée à l’origine et permet d’omettre le sommet.

Il donne la position des intersections avec l’axe des abscisses et remplace l’axe de symétrie.

Il détermine les coordonnées exactes de deux points de la courbe sans autre calcul.

Explication

Le signe de $a$ permet de déterminer l’orientation de la parabole, en complément du sommet, de l’axe de symétrie et de points placés sur la courbe. Les intersections avec l’axe des abscisses ne sont pas données par le seul signe de $a$ .

Question 8

8. En quoi le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ se distingue-t-il d’une fonction affine comme $g(x)=mx+p$ ?

Le trinôme comporte un terme de degré 2 avec

a\ne 0

, tandis que la fonction affine est de degré au plus 1.

Le trinôme a nécessairement trois coefficients non nuls, tandis que la fonction affine en a deux.

Le trinôme est défini uniquement pour les valeurs positives de

x

, tandis que la fonction affine est définie sur

\mathbb{R}

.

Le trinôme comporte un terme constant obligatoire, tandis que la fonction affine ne peut pas en comporter.

Explication

La présence d’un terme en $x^2$ dont le coefficient $a$ est non nul donne au trinôme un degré égal à 2, contrairement à une fonction affine, de degré au plus 1. Une fonction du second degré est définie sur $\mathbb{R}$ , et ses coefficients $b$ ou $c$ peuvent être nuls.

Question 9

9. Lorsqu’on complète le carré pour passer de la forme développée à la forme canonique, quel effet produit cette transformation sur les coefficients de la fonction ?

Elle fait apparaître les paramètres

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

sans changer la fonction.

Elle transforme le coefficient

a

en

-a

et conserve les coefficients

b

et

c

.

Elle supprime le terme constant et place nécessairement le sommet à l’origine.

Elle impose que le coefficient du terme carré devienne égal à

1

et modifie ainsi la fonction.

Explication

La complétion du carré réécrit la même fonction sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec les paramètres indiqués. Elle ne normalise pas le coefficient devant le carré à $1$ , car le facteur $a$ est conservé.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour une fonction du second degré, quelle expression constitue la forme canonique ?

4. Pour $f(x)=3x^2+12x+7$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique ?

5. Que désigne l’extremum d’une fonction du second degré ?

6. Pour $f(x)=2x^2-12x+1$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole ?

7. Lors de la construction graphique d’une parabole, quel est le rôle du signe du coefficient $a$ ?

8. En quoi le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ se distingue-t-il d’une fonction affine comme $g(x)=mx+p$ ?

9. Lorsqu’on complète le carré pour passer de la forme développée à la forme canonique, quel effet produit cette transformation sur les coefficients de la fonction ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour une fonction du second degré, quelle expression constitue la forme canonique ?

4. Pour f(x)=3x2+12x+7f(x)=3x^2+12x+7f(x)=3x2+12x+7, quelles sont les valeurs de α\alphaα et β\betaβ dans la forme canonique ?

5. Que désigne l’extremum d’une fonction du second degré ?

6. Pour f(x)=2x2−12x+1f(x)=2x^2-12x+1f(x)=2x2−12x+1, quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole ?

7. Lors de la construction graphique d’une parabole, quel est le rôle du signe du coefficient aaa ?

8. En quoi le trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c se distingue-t-il d’une fonction affine comme g(x)=mx+pg(x)=mx+pg(x)=mx+p ?

9. Lorsqu’on complète le carré pour passer de la forme développée à la forme canonique, quel effet produit cette transformation sur les coefficients de la fonction ?

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4. Pour $f(x)=3x^2+12x+7$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique ?

6. Pour $f(x)=2x^2-12x+1$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole ?

7. Lors de la construction graphique d’une parabole, quel est le rôle du signe du coefficient $a$ ?

8. En quoi le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ se distingue-t-il d’une fonction affine comme $g(x)=mx+p$ ?