Fiche de révision : Fonctions et premiers polynômes

📋 Plan du Cours

1. Notion et vocabulaire des fonctions
2. Signes et tableaux de signes
3. Fonctions polynomiales générales
4. Droites non verticales
5. Fonctions polynomiales de degrés zéro et un
6. Paraboles et fonctions quadratiques
7. Paraboles et courbure
8. Fonctions quadratiques
9. Optimisation quadratique
10. Polynômes de degré supérieur
11. Fonctions définies par morceaux
12. Opérations et transformations graphiques
13. Composition de fonctions
14. Fonctions réciproques
15. Puissances et racines
16. Exponentielles et logarithmes
17. Nombre e et fonctions associées
18. Changement de base et équations

📖 1. Notion et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de départ au plus un élément de son ensemble d’arrivée.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs réelles de x pour lesquelles l’image de x par la fonction est définie.
• Zéro d’une fonction : Abscisse d’un point où le graphe de la fonction coupe l’axe des abscisses.
• Ordonnée à l’origine : Ordonnée du point où le graphe de la fonction coupe l’axe des ordonnées.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction f, x est la préimage de y lorsque f(x)=y, et y est l’image de x.

Compléments

• Une fonction réelle a pour ensemble de départ et ensemble d’arrivée ℝ, ou des sous-ensembles de ℝ.

• Une fonction peut être représentée par une équation ou par un graphe ; l’équation donne exactement l’image d’une valeur donnée, tandis que le graphe permet de visualiser le comportement de la fonction.

• Les lectures graphiques d’images et de préimages peuvent être approximatives ; ces valeurs doivent être déterminées par calcul pour obtenir des résultats exacts.

📖 2. Signes et tableaux de signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’une fonction : Positive lorsque f(x)>0, négative lorsque f(x)<0 et nulle lorsque f(x)=0.
• Tableau des signes : Tableau indiquant les valeurs de x ou les intervalles où une fonction est positive, négative ou nulle.

★ À maîtriser

• Pour établir le tableau des signes d’un produit de facteurs, on recherche d’abord ses zéros, puis on détermine le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par ces zéros et on combine les signes par la règle des signes de la multiplication.

Compléments

• Sur un graphique dont les axes se coupent à l’origine, une fonction est positive lorsque sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et négative lorsqu’elle est au-dessous.

📖 3. Fonctions polynomiales générales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Fonction de la forme f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+⋯+c_1x+c_0.

★ À maîtriser

• Toute fonction polynomiale est définie sur ℝ et n’a donc aucune valeur interdite.

Compléments

• Le graphe d’une fonction polynomiale peut être tracé sans lever le crayon : il ne comporte ni saut ni trou.

📖 4. Droites non verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’une droite non verticale s’écrit ax+by+c=0, où a, b et c sont réels et b≠0.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation réduite d’une droite non verticale est $y=mx+h$, où m est sa pente et h son ordonnée à l’origine.

📐 Formule - Pour une droite passant par A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), sa pente est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

📌 Deux droites de même pente sont parallèles ; elles sont confondues si elles ont aussi la même ordonnée à l’origine, et distinctes sinon.

📌 Deux droites de pentes différentes sont sécantes, et elles sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs pentes vaut −1.

Compléments

• Une pente positive correspond à une droite qui monte, une pente négative à une droite qui descend et une pente nulle à une droite horizontale.

• Pour déterminer l’équation réduite d’une droite passant par deux points, on peut calculer sa pente puis son ordonnée à l’origine, ou substituer les coordonnées des deux points dans y=mx+h et résoudre le système obtenu.

📌 Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.

📖 5. Fonctions polynomiales de degrés zéro et un

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Fonction polynomiale de degré 0 de la forme f(x)=a, avec a réel.
• Fonction affine : Fonction polynomiale de degré 1 de la forme f(x)=ax+b, avec a et b réels et a≠0.
• Fonction linéaire : Fonction affine de la forme f(x)=ax, obtenue lorsque b=0.

★ À maîtriser

• Le graphe de f(x)=ax+b est une droite non verticale de pente a et d’ordonnée à l’origine b.

📐 Formule - Pour une fonction affine f(x)=ax+b, l’ordonnée à l’origine est $f(0)=b$ et le zéro est $x=-\frac{b}{a}$.

📌 Une fonction affine de degré 1 est croissante si a>0 et décroissante si a<0 ; elle n’admet pas d’extremum.

Compléments

• Le graphe d’une fonction constante est une droite horizontale passant par le point (0;a), qui est son intersection avec l’axe des ordonnées.

• Une fonction constante non nulle n’a aucun zéro, tandis que la fonction constante nulle s’annule pour tout réel.

💡 Astuce mémo

La constante est horizontale ; l’affine de degré 1 est oblique.

📖 6. Paraboles et fonctions quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe plane dont chaque point est à égale distance d’un point fixe appelé foyer et d’une droite fixe appelée directrice.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une parabole représentant une fonction quadratique a une équation de la forme $y=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et a≠0.

📐 Formule - L’axe de symétrie de la parabole d’équation y=ax²+bx+c est $x=-\frac{b}{2a}$.

📖 7. Paraboles et courbure

★ À maîtriser

📐 Formule - L’axe de symétrie de la parabole d’équation y = x² + 4x + 3 est $x = -2$.

📌 Une parabole est convexe, tournée vers le haut, si son coefficient a est positif, et concave, tournée vers le bas, si a est négatif.

Compléments

• Pour la parabole d’équation y = x² + 4x + 3, le point A(1 ; 8) appartient à la parabole, car 1² + 4 × 1 + 3 = 8.

📐 Formule - Le discriminant d’une équation du second degré ax² + bx + c = 0 est $\Delta = b^2 - 4ac$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : ouverte vers le haut ; a < 0 : ouverte vers le bas

📖 8. Fonctions quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique : Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c réels et a ≠ 0 ; son graphe est une parabole.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f(x) = ax² + bx + c, l’ordonnée à l’origine est $f(0) = c$ et le point d’intersection avec l’axe des ordonnées est (0 ; c).

📌 Pour une fonction quadratique, Δ > 0 donne deux zéros, Δ = 0 donne un zéro et Δ < 0 ne donne aucun zéro réel.

📐 Formule - L’axe de symétrie d’une parabole associée à f(x) = ax² + bx + c est $x = -\frac{b}{2a}$ ; cette valeur est l’abscisse du sommet.

📌 Si a > 0, la fonction décroît puis croît et son sommet est un minimum ; si a < 0, elle croît puis décroît et son sommet est un maximum.

Compléments

• Le domaine de définition de toute fonction polynomiale du second degré est ℝ.

📐 Formule - Le sommet d’une parabole quadratique est $S\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) = S\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$.

📖 9. Optimisation quadratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème d’optimisation : Un problème d’optimisation consiste à rechercher une valeur minimale ou maximale prise par une quantité variable dans un contexte donné.

★ À maîtriser

• La résolution d’un problème d’optimisation suit cinq étapes : définir les variables, expliciter la quantité à optimiser, établir le domaine de validité, rechercher et vérifier l’extremum, puis conclure par une phrase complète avec les unités.

Compléments

• Pour comprendre un problème d’optimisation, on lit l’énoncé, on teste des valeurs concrètes, on réalise un schéma, puis on repère les variables et on traduit les données en termes mathématiques.

💡 Astuce mémo

Variables → quantité → domaine → extremum → conclusion

📖 10. Polynômes de degré supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Une fonction polynomiale de degré n ≥ 3 s’écrit f(x) = cₙxⁿ + cₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + c₂x² + c₁x + c₀, avec des coefficients réels et cₙ ≠ 0.

★ À maîtriser

📌 Dans ℝ, un polynôme de degré n ≥ 1 admet au plus n racines réelles.

Compléments

• Une fonction polynomiale de degré 3 admet au plus trois zéros réels différents, qui renseignent sur la factorisation de son expression.

• Pour étudier une fonction polynomiale, on peut rechercher ses zéros par factorisation et théorème du produit nul, construire son tableau de signes à partir des facteurs, puis esquisser son graphe pour vérifier la cohérence des résultats.

📖 11. Fonctions définies par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction par morceaux : Une fonction par morceaux est une fonction dont le domaine est partitionné en sous-ensembles sur lesquels elle peut être définie différemment ; chaque partie est une sous-fonction.

★ À maîtriser

📌 Le domaine de définition d’une fonction par morceaux est l’union des domaines de définition de ses sous-fonctions.

Compléments

• La fonction valeur absolue s’écrit f(x) = |x| = −x si x < 0 et f(x) = x si x ≥ 0 ; ses deux sous-fonctions ont pour domaines ]−∞ ; 0[ et [0 ; +∞[, donc son domaine est ℝ.

📖 12. Opérations et transformations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations sur les fonctions : Pour deux fonctions f et g, la somme, la différence, le produit et le quotient sont définis point par point par (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x) − g(x), (f · g)(x) = f(x) · g(x) et (f/g)(x) = f(x)/g(x), lorsque les expressions existent et que g(x) ≠ 0 pour le quotient.

★ À maîtriser

📌 Le graphe de y = f(x) + c est translaté de c unités vers le haut et celui de y = f(x) − c de c unités vers le bas ; y = f(x + c) le translate vers la gauche et y = f(x − c) vers la droite, pour c > 0.

📌 Pour c > 1, y = c f(x) étire verticalement le graphe d’un facteur c et y = (1/c)f(x) le comprime verticalement d’un facteur c ; y = f(x/c) l’étire horizontalement et y = f(cx) le comprime horizontalement d’un facteur c.

Compléments

📌 En général, (f · f)(x) = (f(x))² et (cf)(x) = c · f(x), tandis que (f + f)(x) = 2f(x).

📌 Le graphe de y = −f(x) est le symétrique de celui de f par rapport à l’axe des abscisses, tandis que y = f(−x) donne le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur de f : vertical ; dans l’argument : horizontal

📖 13. Composition de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composition de deux fonctions est l’application successive de deux fonctions et se définit par (f∘g)(x) = f(g(x)) ; g est la fonction interne, appliquée en premier, et f la fonction externe, appliquée ensuite.

📝 Points essentiels

• En général, la composition des fonctions n’est pas commutative : (f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x).

📌 La valeur de (f∘g)(x) existe si g(x) existe et si f(g(x)) existe.

• Pour f(x) = x² et g(x) = 3x + 1, les compositions s’obtiennent en remplaçant x dans la fonction externe par l’expression de la fonction interne.

📖 14. Fonctions réciproques

★ À maîtriser

• Pour déterminer algébriquement la réciproque de y = f(x), on échange x et y dans l’équation puis on isole y.

• Le graphe d’une fonction réciproque est le symétrique du graphe initial par rapport à la droite y = x.

📌 La réciproque de f(x) = x² sur ℝ n’est pas une fonction, car une même valeur, comme 4, correspond aux deux images −2 et 2.

Compléments

• En restreignant f(x) = x² à ℝ− avec valeurs dans ℝ+, sa réciproque est −√x de ℝ+ vers ℝ−.

💡 Astuce mémo

La réciproque échange les rôles de x et y ; son graphe se réfléchit sur y = x.

📖 15. Puissances et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a, avec n entier naturel non nul.
• Racine n-ième : L’unique nombre positif r tel que rⁿ = a, pour a > 0 et n entier naturel non nul.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a réel et des exposants naturels, $a^n a^m = a^{n+m}$, $(a^n)^m = a^{nm}$, $(ab)^n = a^n b^n$ et, si b ≠ 0, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

📐 Formule - Pour a > 0, les exposants entiers et rationnels vérifient $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a})^p$.

📐 Formule - Pour a,b > 0, les puissances vérifient $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$.

📖 16. Exponentielles et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : Associe à l’exposant réel x la valeur aˣ, avec a > 0 et a ≠ 1.

📝 Points essentiels

📌 La fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur ℝ si a > 1 et strictement décroissante sur ℝ si 0 < a < 1.

• La fonction exponentielle de base a est définie sur ℝ, prend ses valeurs dans ℝ⁺*, et est bijective lorsque a > 0 et a ≠ 1.

💡 Astuce mémo

La base a > 1 fait croître l’exponentielle ; 0 < a < 1 la fait décroître.

📖 17. Nombre e et fonctions associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme : Opération réciproque de l’exponentielle de base a : aˣ = y équivaut à logₐ(y) = x, avec a > 0, a ≠ 1 et y > 0.
• Nombre e : Vaut environ 2,71828 et est irrationnel.

★ À maîtriser

📌 La fonction logarithme de base a est définie sur ℝ⁺* et prend ses valeurs dans ℝ; elle est croissante si a > 1 et décroissante si 0 < a < 1.

Compléments

• Le logarithme de base 10 se note généralement log(x), tandis que le logarithme de base e se note ln(x) = logₑ(x).

📐 Formule - Pour une fonction exponentielle f(x) = aˣ et sa réciproque logarithmique, $\log_a(a^x)=x$.

• La fonction logarithme coupe l’axe des abscisses au point (1; 0) et n’a pas d’intersection avec l’axe des ordonnées.

• En 1727, Leonhard Euler est le premier à étudier de près le nombre e et à utiliser le symbole e.

• Le nombre e est la limite de $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ lorsque n tend vers l’infini. - PICKOVER Clifford, Le beau livre des maths, 2010

📖 18. Changement de base et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation exponentielle : Équation où l’inconnue apparaît en exposant d’une base a, avec a > 0 et a ≠ 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b > 0 et a,b ≠ 1, $\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$ pour x > 0.

• Une équation exponentielle se résout à l’aide des propriétés des puissances et/ou de l’équivalence entre exponentielle et logarithme.

Compléments

• L’équation 3ˣ = 81 se résout en écrivant 81 = 3⁴, d’où x = 4.

• L’équation 2ˣ = 19 donne x = log₂(19) = log(19)/log(2), soit environ 4,25.