Fiche de révision : Statistiques descriptives quantitatives

📋 Plan du Cours

1. Types de variables statistiques
2. Séries et classes d’ancienneté
3. Classe modale et mode
4. Calcul de la moyenne
5. Médiane par fréquences
6. Médiane par effectifs
7. Médiane par représentation graphique
8. Quartiles et déciles
9. Variance et écart-type

📖 1. Types de variables statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable binaire : Une variable qualitative binaire est une variable qui propose deux modalités possibles.

★ À maîtriser

• Les statistiques descriptives analysent et décrivent des données déjà observées, tandis que les statistiques inférentielles mobilisent les probabilités pour prévoir, anticiper et décider.

• Une variable quantitative s’exprime numériquement et peut être exploitée mathématiquement ; une variable qualitative exprime une qualité et ne peut pas être additionnée ni soustraite, mais ses modalités peuvent être dénombrées.

• Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées, souvent des entiers comme le nombre d’enfants, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle.

Compléments

• Les variables qualitatives se répartissent en trois types :
  • nominales
  • ordinales
  • binaires

📌 Une variable qualitative nominale n’a pas de hiérarchie entre ses modalités, tandis qu’une variable ordinale présente des modalités qui peuvent être classées.

• Une variable temporelle porte sur des dates ou des heures ; ces valeurs peuvent être soustraites, mais pas additionnées ni multipliées.

📖 2. Séries et classes d’ancienneté

★ À maîtriser

• Les cinq classes et leurs effectifs respectifs sont :
  • 0–8 ans : 15 salariés
  • 8–16 ans : 24 salariés
  • 16–24 ans : 14 salariés
  • 24–32 ans : 18 salariés
  • 32–40 ans : 9 salariés

Compléments

📐 Formule - L’amplitude d’une classe est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure, soit $a = x_{sup} - x_{inf}$.

• Le centre d’une classe est son milieu, calculé en faisant la moyenne de ses deux bornes ; pour les classes 0–8, 8–16, 16–24, 24–32 et 32–40, les centres sont 4, 12, 20, 28 et 36 ans.

📖 3. Classe modale et mode

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe modale : La classe modale est la classe qui présente l’effectif le plus élevé lorsque les amplitudes des classes sont identiques.

★ À maîtriser

• Lorsque les classes ont des amplitudes inégales, on divise chaque effectif par l’amplitude de sa classe, puis on repère la densité maximale pour identifier la classe modale avant d’interpoler le mode.

• Dans la série d’ancienneté à amplitudes égales, la classe modale est 8–16 ans, car son effectif est le plus élevé, avec 24 salariés.

Compléments

📐 Formule - Pour des classes d’amplitude égale, le mode approché par le milieu de la classe modale est $Mo = \frac{x_{inf}+x_{sup}}{2}$ ; pour la classe 8–16 ans, il vaut 12 ans.

📐 Formule - Pour une classe modale d’amplitude égale à $h$, le mode interpolé se calcule par $Mo=x_{inf}+\frac{n_m-n_{m-1}}{(n_m-n_{m-1})+(n_m-n_{m+1})}h$ ; dans l’exemple, il vaut environ 11,8 ans.

• Dans l’exemple à amplitudes inégales, les densités obtenues sont 2,5 ; 3 ; 3 ; 4,8 ; et 0,6, ce qui identifie la classe 25–30 ans comme classe modale.

📖 4. Calcul de la moyenne

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne d’une série regroupée en classes peut se calculer par les centres et les fréquences selon $\bar{x}=\sum_i c_i f_i$, où les fréquences sont exprimées en proportions.

📐 Formule - La moyenne d’une série regroupée en classes peut aussi se calculer par les effectifs et les centres selon $\bar{x}=\frac{\sum_i n_i c_i}{N}$.

• Dans la série d’ancienneté, la moyenne est de 18,20 ans, soit environ 18 ans et 2 mois.

Compléments

• Les fréquences des cinq classes sont :
  • 18,75 %
  • 30 %
  • 17,5 %
  • 22,5 %
  • 11,25 %

📖 5. Médiane par fréquences

★ À maîtriser

• Pour calculer la médiane par les fréquences, on repère 50 % dans les fréquences cumulées croissantes, identifie la classe correspondante puis interpole linéairement à l’intérieur de cette classe.

• Dans la série d’ancienneté, la médiane calculée par les fréquences est d’environ 16,57 ans, soit environ 16 ans et 7 mois ; la moitié des salariés est en dessous et l’autre moitié au-dessus.

Compléments

📐 Formule - L’interpolation linéaire d’un quantile de niveau $p$ dans une classe s’écrit $Q=x_1+\frac{p-F_1}{F_2-F_1}(x_2-x_1)$, où $F_1$ et $F_2$ encadrent le niveau recherché.

📖 6. Médiane par effectifs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer la médiane par les effectifs, on repère d’abord la position $N/2$ dans les effectifs cumulés croissants, puis on interpole dans la classe qui contient cette position.

Compléments

• Les effectifs cumulés croissants sont :

  • 15
  • 39
  • 53
  • 71
  • 80

• L’interpolation par les effectifs donne une médiane d’environ 16,57 ans, soit environ 16 ans et 7 mois.

📖 7. Médiane par représentation graphique

★ À maîtriser

• Pour obtenir graphiquement la médiane à partir des fréquences, on trace les fréquences cumulées croissantes et décroissantes selon les centres de classes ; l’abscisse de leur intersection donne la médiane.

Compléments

• Pour obtenir graphiquement la médiane à partir des effectifs, on trace les effectifs cumulés croissants et décroissants selon les centres de classes ; l’abscisse de leur intersection donne la médiane et l’ordonnée vaut $N/2$.

📖 8. Quartiles et déciles

★ À maîtriser

• Les quartiles partagent la distribution en quatre parts de 25 % : $Q_1$ correspond à 25 %, $Q_2$ à 50 % et $Q_3$ à 75 % ; $Q_2$ est la médiane.

• Les déciles partagent la distribution en dix parts de 10 % ; le neuvième décile correspond au niveau de 90 %.

Compléments

• Dans la série d’ancienneté, le premier quartile est $Q_1\approx9{,}67$ ans, soit environ 9 ans et 7 mois ; 25 % des salariés ont une ancienneté inférieure à cette valeur.

• Dans la série d’ancienneté, le troisième quartile est $Q_3\approx27{,}1$ ans, soit environ 27 ans et 1 mois ; 75 % des salariés ont une ancienneté inférieure à cette valeur.

📖 9. Variance et écart-type

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance d’une série groupée en classes se calcule par $V=\frac{\sum_i n_i(c_i-\bar{x})^2}{N}$, où $c_i$ est le centre de classe et $\bar{x}$ la moyenne.

📐 Formule - L’écart-type est la racine carrée de la variance, soit $\sigma=\sqrt{V}$.

Compléments

📐 Formule - La variance peut aussi se calculer par les fréquences selon $V=\sum_i f_i(c_i-\bar{x})^2$, si les fréquences sont exprimées en proportions.

• Pour la série d’ancienneté, la variance est d’environ 107,1 ans² et l’écart-type d’environ 10,35 ans.

• Dans l’interprétation proposée, la moyenne moins l’écart-type vaut environ 7 ans et 10 mois et la moyenne plus l’écart-type environ 28 ans et 6 mois ; la majorité des anciennetés est située entre ces bornes.