QCM : Fonctions et premiers polynômes (52 questions)

Question 1

1. Quelle propriété caractérise l’association définie par une fonction entre un élément de départ et son image ?

Chaque élément d’arrivée est associé à un seul élément de départ.

Chaque élément de départ est associé à au moins deux éléments d’arrivée.

Chaque élément d’arrivée correspond à un élément de départ.

Chaque élément de départ est associé à au plus un élément d’arrivée.

Explication

La définition impose qu’un élément de départ ne possède pas plus d’une image. Elle n’exige pas que des éléments distincts de départ aient des images différentes.

Answer

Chaque élément de départ est associé à au plus un élément d’arrivée.

Question 2

2. Pour déterminer le domaine de définition de $f(x)=\frac{1}{x-2}$ , quelles valeurs de $x$ faut-il retenir ?

La seule valeur

2

, car elle annule le dénominateur.

Toutes les valeurs réelles sauf

2

, qui annule le dénominateur.

Les valeurs réelles dont l’image est égale à

2

.

Toutes les valeurs réelles, car le domaine est l’ensemble d’arrivée.

Explication

Le domaine rassemble les valeurs réelles de $x$ pour lesquelles l’image est définie ; ici, $x=2$ est exclu car il annule le dénominateur. L’ensemble d’arrivée concerne les images possibles et ne remplace pas cette recherche des préimages admissibles.

Answer

Toutes les valeurs réelles sauf $$2$$, qui annule le dénominateur.

Question 3

3. Si $f(3)=7$ , comment désigne-t-on les nombres $3$ et $7$ par rapport à la fonction $f$ ?

3

est la préimage de

7

et

7

est l’image de

3

.

3

et

7

sont deux images de même antécédent.

7

est la préimage de

3

et

3

est l’image de

7

.

3

est l’image de

7

et

7

est la préimage de

3

.

Explication

Dans l’égalité $f(3)=7$ , l’entrée $3$ est la préimage et le résultat $7$ est son image. Inverser ces rôles confond l’entrée de la fonction avec la valeur obtenue.

Answer

$$3$$ est la préimage de $$7$$ et $$7$$ est l’image de $$3$$.

Question 4

4. Sur le graphe d’une fonction, que représente un zéro de la fonction ?

L’abscisse du point où le graphe atteint sa plus grande valeur.

L’abscisse d’un point où le graphe coupe l’axe des abscisses.

L’ordonnée d’un point où le graphe coupe l’axe des ordonnées.

L’ordonnée du point où le graphe coupe l’axe des abscisses.

Explication

Un zéro est une valeur de $x$ pour laquelle l’image vaut zéro, ce qui correspond à une intersection avec l’axe des abscisses. L’ordonnée d’une intersection avec cet axe vaut zéro, mais ce n’est pas l’abscisse recherchée.

Answer

L’abscisse d’un point où le graphe coupe l’axe des abscisses.

Question 5

5. Pour une valeur de $x$ telle que $f(x)<0$ , quel est le signe de la fonction en ce point ?

La fonction est nulle.

La fonction est négative.

Le signe de la fonction est indéterminé.

La fonction est positive.

Explication

Une fonction est négative aux valeurs de $x$ pour lesquelles son image est inférieure à zéro. Si $f(x)=0$ , elle est nulle, et non négative.

Answer

La fonction est négative.

Question 6

6. Quelle information principale fournit un tableau des signes d’une fonction ?

Les variations de la fonction, notamment ses maximums et ses minimums.

Les points où la courbe coupe l’axe des ordonnées et leurs coordonnées.

Les valeurs ou intervalles de

x

où la fonction est positive, négative ou nulle.

Les valeurs de la fonction qui correspondent à chaque élément de son ensemble d’arrivée.

Explication

Un tableau des signes indique où la fonction est positive, négative ou nulle, en repérant des valeurs ou des intervalles de $x$ . Les maximums et les minimums relèvent de l’étude des variations, pas du signe seul.

Answer

Les valeurs ou intervalles de $$x$$ où la fonction est positive, négative ou nulle.

Question 7

7. Pour dresser le tableau des signes d’un produit de facteurs, quelle démarche faut-il suivre ?

Additionner les signes des facteurs, puis rechercher les intervalles où ils s’annulent.

Repérer les zéros, étudier le signe des facteurs entre eux, puis combiner ces signes.

Étudier d’abord le signe du produit, puis en déduire les zéros de chaque facteur.

Repérer les zéros, puis considérer que le produit garde leur signe sur chaque intervalle.

Explication

Les zéros des facteurs délimitent les intervalles ; on détermine ensuite les signes des facteurs sur ces intervalles et on les combine selon la règle du produit. Les zéros ne donnent pas à eux seuls le signe du produit entre eux.

Answer

Repérer les zéros, étudier le signe des facteurs entre eux, puis combiner ces signes.

Question 8

8. Quel critère permet d’identifier une fonction polynomiale de degré $n$ ?

Elle s’écrit comme une somme de termes

c_kx^k

, avec un plus grand exposant

n

.

Elle associe à chaque réel une valeur dont le signe dépend de l’exposant

n

.

Elle s’écrit comme une somme de termes

c_kx^k

, avec un plus petit exposant

n

.

Elle s’écrit comme un quotient de polynômes dont le dénominateur est de degré

n

.

Explication

Une fonction polynomiale de degré $n$ est une somme de puissances de $x$ dont le plus grand exposant est $n$ . Un quotient de polynômes n’est pas nécessairement une fonction polynomiale.

Answer

Elle s’écrit comme une somme de termes $$c_kx^k$$, avec un plus grand exposant $$n$$.

Question 9

9. Une fonction polynomiale peut-elle être indéfinie en une valeur réelle, par exemple à cause d’un dénominateur qui s’annule ?

Non, elle est définie sur

\mathbb{R}

et ne comporte pas de valeur interdite.

Non, mais elle est définie seulement sur les réels positifs.

Oui, elle est indéfinie aux réels qui annulent son dénominateur.

Oui, elle est indéfinie aux réels qui annulent son numérateur.

Explication

Toute fonction polynomiale est définie sur l’ensemble des réels et ne possède donc aucune valeur interdite. Les restrictions dues à l’annulation d’un dénominateur concernent des fonctions non polynomiales telles que les fonctions rationnelles.

Answer

Non, elle est définie sur $$\mathbb{R}$$ et ne comporte pas de valeur interdite.

Question 10

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise une équation cartésienne d’une droite non verticale écrite sous la forme $ax+by+c=0$ ?

Le coefficient

b

est non nul.

Le coefficient

a

est non nul.

Le coefficient

c

est non nul.

Les coefficients

a

et

b

sont égaux.

Explication

Pour une droite non verticale, l’équation cartésienne de cette forme exige que $b\ne 0$ . La condition $a\ne 0$ ne suffit pas, car elle ne distingue pas les droites verticales.

Answer

Le coefficient $$b$$ est non nul.

Question 11

11. Dans l’équation réduite $y=mx+h$ d’une droite non verticale, que représente $h$ ?

La distance entre la droite et l’origine.

La pente de la droite.

L’abscisse à l’origine de la droite.

L’ordonnée à l’origine de la droite.

Explication

Dans cette écriture, $h$ est l’ordonnée à l’origine, tandis que $m$ représente la pente. La pente et l’ordonnée à l’origine jouent donc des rôles distincts.

Answer

L’ordonnée à l’origine de la droite.

Question 12

12. Une droite passe par $A(2;3)$ et $B(6;11)$ . Quelle est sa pente ?

2

\frac{1}{2}

4

8

Explication

La pente se calcule par le quotient des variations des ordonnées et des abscisses : $m=\frac{11-3}{6-2}=2$ . La valeur $4$ correspond ici à la variation des abscisses, et non au quotient des variations.

Answer

Elles sont perpendiculaires.

Answer

$$f(x)=a$$, où $$a$$ est un réel.

Answer

$$f(x)=5x-2$$

Answer

Pente $$-4$$ et ordonnée à l’origine $$7$$.

Answer

Elle est décroissante et n’admet pas d’extremum.

Answer

Chaque point de la courbe est à égale distance d’un foyer fixe et d’une directrice fixe.

Answer

$$y=2x^2-3x+1$$

Answer

$$x = -2$$

Answer

Elle est concave et tournée vers le bas.

Answer

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$, avec $$a \ne 0$$.

Answer

Le point $$(0 ; c)$$, car $$f(0) = c$$.

Answer

Un seul zéro réel.

Answer

Elle décroît puis croît, et son sommet est un minimum.

Answer

Rechercher une valeur minimale ou maximale d’une quantité variable dans un contexte donné.

Answer

Établir le domaine de validité, rechercher et vérifier l’extremum, puis conclure avec les unités.

Answer

Une somme de puissances de x jusqu’à $$x^n$$, à coefficients réels, avec un coefficient de $$x^n$$ non nul

Answer

Non, il peut avoir au plus cinq racines réelles

Answer

Son domaine est réparti en sous-ensembles où différentes sous-fonctions peuvent définir ses valeurs

Answer

En réunissant les domaines de définition de toutes ses sous-fonctions

Answer

Lorsque f(x) et g(x) existent et que g(x) est non nul

Answer

Une translation horizontale de c unités vers la droite

Answer

Une compression horizontale d’un facteur c

Answer

On applique d’abord $$g$$, puis $$f$$.

Answer

Il faut que $$g(x)$$ existe et que $$f(g(x))$$ soit définie.

Answer

Échanger $$x$$ et $$y$$, puis isoler $$y$$.

Answer

Une symétrie par rapport à la droite $$y=x$$.

Answer

La valeur $$4$$ correspond aux deux images $$-2$$ et $$2$$.

Answer

Comme le produit de $$n$$ facteurs égaux à $$a$$.

Answer

L’unique nombre positif $$r$$ tel que $$r^n=a$$.

Answer

La valeur $$a^x$$, avec $$a>0$$ et $$a\ne1$$

Answer

Elle est strictement décroissante sur $$\mathbb{R}$$.

Answer

Elle est définie sur $$\mathbb{R}$$, prend ses valeurs dans $$\mathbb{R}_+^*$$ et est bijective.

Answer

$$\log_a(y)=x$$

Answer

Elle est définie sur $$\mathbb{R}_+^*$$, prend ses valeurs dans $$\mathbb{R}$$ et décroît.

Answer

Il est environ égal à 2,71828 et il est irrationnel.

Answer

$$\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$$

Answer

Utiliser les propriétés des puissances et/ou l’équivalence entre exponentielle et logarithme.

Question 13

13. Deux droites non verticales ont pour pentes $3$ et $-\frac{1}{3}$ . Quelle relation ont-elles ?

Elles sont parallèles et distinctes.

Elles sont perpendiculaires.

Elles sont confondues.

Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Explication

Le produit des pentes vaut $3\times\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$ , ce qui caractérise des droites perpendiculaires. Des droites parallèles ont plutôt la même pente.

Question 14

14. Quelle expression définit une fonction polynomiale de degré zéro ?

f(x)=\frac{a}{x}

, où

a

est un réel.

f(x)=ax+b

, où

a\ne 0

.

f(x)=ax^2+b

, où

a\ne 0

.

f(x)=a

, où

a

est un réel.

Explication

Une fonction polynomiale de degré zéro est constante et s’écrit $f(x)=a$ pour un réel $a$ . L’expression avec un terme en $x$ de coefficient non nul définit une fonction affine de degré un.

Question 15

15. Laquelle des fonctions suivantes est polynomiale de degré un ?

f(x)=5x-2

g(x)=5

h(x)=5x^2-2

k(x)=\frac{5}{x}-2

Explication

Une fonction polynomiale de degré un s’écrit $ax+b$ avec $a\ne 0$ ; ici, le coefficient de $x$ vaut 5. La fonction constante proposée correspond au cas où le coefficient de $x$ serait nul.

Question 16

16. Le graphe de $f(x)=-4x+7$ est une droite. Quelle sont sa pente et son ordonnée à l’origine ?

Pente

-4

et ordonnée à l’origine

-7

.

Pente

7

et ordonnée à l’origine

-4

.

Pente

-4

et ordonnée à l’origine

7

.

Pente

4

et ordonnée à l’origine

7

.

Explication

Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$ , le graphe a pour pente $a$ et pour ordonnée à l’origine $b$ . Ici, ces valeurs sont respectivement $-4$ et 7.

Question 17

17. Une fonction affine de degré un a un coefficient directeur négatif. Quel comportement peut-on en déduire ?

Elle est croissante et n’admet pas d’extremum.

Elle est décroissante et n’admet pas d’extremum.

Elle est décroissante et admet un maximum.

Elle est constante et admet un minimum.

Explication

Une fonction affine de degré un est décroissante lorsque son coefficient directeur est négatif, et elle n’admet pas d’extremum. Une fonction constante correspondrait à un coefficient directeur nul.

Question 18

18. Quelle propriété géométrique définit une parabole ?

Chaque point de la courbe est à égale distance d’un foyer fixe et d’une directrice fixe.

Chaque point de la courbe est à égale distance de deux foyers fixes.

Chaque point de la courbe est à égale distance de deux droites fixes.

Chaque point de la courbe est à distance constante d’un centre fixe.

Explication

Une parabole est l’ensemble des points équidistants d’un point fixe, appelé foyer, et d’une droite fixe, appelée directrice. La définition ne repose pas sur deux foyers, comme pour d’autres courbes.

Question 19

19. Laquelle de ces équations peut représenter une parabole associée à une fonction quadratique ?

y=\frac{2}{x}+1

y=2x^2-3x+1

y=2x^2+1

avec le coefficient de

x^2

nul

y=3x+1

Explication

Une fonction quadratique s’écrit $y=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ , condition satisfaite par la première équation. Une équation affine ne comporte pas de terme quadratique et ne représente donc pas une fonction du second degré.

Question 20

20. Pour la parabole d’équation $y=2x^2-8x+3$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

x=-2

x=2

x=4

x=-4

Explication

L’axe de symétrie a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$ ; avec $a=2$ et $b=-8$ , on obtient $x=2$ . La valeur 4 provient de $-\frac{b}{a}$ et ne correspond pas à la formule de l’axe.

Question 21

21. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole d’équation $y = x^2 + 4x + 3$ ?

x = -2

y = -2

x = 2

x = -4

Explication

L’axe de symétrie de cette parabole est la droite verticale d’équation $x = -2$ . La valeur $x = 2$ a le signe opposé et ne correspond pas à l’axe.

Question 22

22. Une parabole a un coefficient $a$ négatif dans son équation sous forme développée. Comment est-elle orientée ?

Elle est convexe et tournée vers le haut.

Elle est concave et tournée vers le haut.

Elle est concave et tournée vers le bas.

Elle est convexe et tournée vers le bas.

Explication

Un coefficient $a$ négatif indique une parabole concave, tournée vers le bas. Une parabole convexe tournée vers le haut correspond à un coefficient positif.

Question 23

23. Quelle expression définit une fonction quadratique réelle ?

f(x) = bx + c

, avec

b \ne 0

.

f(x) = ax + b

, avec

a \ne 0

.

f(x) = ax^3 + bx^2 + c

, avec

a \ne 0

.

f(x) = ax^2 + bx + c

, avec

a \ne 0

.

Explication

Une fonction quadratique est un polynôme de degré deux de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont réels et $a \ne 0$ . Une expression linéaire, comme $ax+b$ , n’est pas quadratique.

Question 24

24. Pour une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ , que représente le point d’intersection de son graphe avec l’axe des ordonnées ?

Le point

(a ; 0)

, car

f(a) = 0

.

Le point

(0 ; b)

, car

f(0) = b

.

Le point

(c ; 0)

, car

f(c) = 0

.

Le point

(0 ; c)

, car

f(0) = c

.

Explication

Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse vaut zéro, et $f(0)=c$ ; le point d’intersection est donc $(0 ; c)$ . Le point $(c ; 0)$ se trouve sur l’axe des abscisses et ne décrit pas cette intersection.

Question 25

25. Une fonction quadratique a un discriminant $\Delta = 0$ . Combien de zéros réels possède-t-elle ?

Un seul zéro réel.

Deux zéros réels distincts.

Une infinité de zéros réels.

Aucun zéro réel.

Explication

Lorsque $\Delta = 0$ , la fonction quadratique possède un seul zéro réel. Deux zéros réels distincts correspondent à $\Delta > 0$ , tandis que $\Delta < 0$ ne donne aucun zéro réel.

Question 26

26. Une fonction quadratique a un coefficient $a > 0$ . Quel comportement décrit sa variation autour de son sommet ?

Elle croît puis décroît, et son sommet est un maximum.

Elle décroît puis croît, et son sommet est un maximum.

Elle décroît puis croît, et son sommet est un minimum.

Elle croît puis décroît, et son sommet est un minimum.

Explication

Lorsque $a > 0$ , la fonction décroît avant son sommet puis croît : le sommet est donc un minimum. Le comportement de croissance puis décroissance correspond à $a < 0$ et à un maximum.

Question 27

27. Quel est l’objectif central d’un problème d’optimisation ?

Déterminer toutes les valeurs possibles d’une variable sans comparer la quantité étudiée.

Rechercher une valeur minimale ou maximale d’une quantité variable dans un contexte donné.

Construire une représentation graphique sans chercher de valeur extrême.

Vérifier si une quantité variable reste constante dans le contexte étudié.

Explication

Un problème d’optimisation cherche la valeur minimale ou maximale prise par une quantité variable dans un contexte donné. Déterminer simplement les valeurs possibles d’une variable ne suffit pas à établir un extremum.

Question 28

28. Après avoir défini les variables et exprimé la quantité à optimiser, quelle démarche complète permet de poursuivre correctement la résolution ?

Établir le domaine de validité, rechercher et vérifier l’extremum, puis conclure avec les unités.

Conclure avec les unités, établir le domaine de validité, puis rechercher l’extremum.

Rechercher l’extremum, définir ensuite le domaine de validité, puis conclure sans unités.

Établir le domaine de validité, conclure, puis rechercher et vérifier l’extremum.

Explication

Après la définition des variables et de la quantité étudiée, il faut établir le domaine de validité, rechercher et vérifier l’extremum, puis rédiger une conclusion complète avec les unités. Conclure avant de rechercher l’extremum inverse l’ordre logique de la démarche.

Question 29

29. Quelle forme générale caractérise une fonction polynomiale de degré $n \geq 3$ ?

Une somme de puissances de x jusqu’à

x^n

, à coefficients réels, avec un coefficient de

x^n

non nul

Une expression rationnelle dont le numérateur est de degré n et le dénominateur constant

Un produit de n facteurs linéaires à coefficients réels, avec des racines toutes distinctes

Une somme de puissances de x jusqu’à

x^{n-1}

, à coefficients réels, avec un terme constant non nul

Explication

Le terme de plus haut degré est $c_nx^n$ , son coefficient est non nul et les coefficients du polynôme sont réels. Un polynôme de degré n n’est pas nécessairement un produit de facteurs linéaires réels distincts.

Question 30

30. Un polynôme réel de degré 5 peut-il avoir six racines réelles distinctes ?

Non, il peut avoir au plus quatre racines réelles

Oui, il peut en avoir six si son terme constant est nul

Oui, il peut en avoir six si son coefficient dominant est positif

Non, il peut avoir au plus cinq racines réelles

Explication

Un polynôme de degré 5 admet au plus cinq racines réelles. Le signe du coefficient dominant ne permet pas de dépasser cette limite.

Question 31

31. Qu’est-ce qui caractérise une fonction définie par morceaux ?

Chaque sous-ensemble de son domaine correspond à une racine distincte de la fonction

Son domaine est constitué de plusieurs intervalles où une même formule doit définir ses valeurs

Son domaine est réparti en sous-ensembles où différentes sous-fonctions peuvent définir ses valeurs

Elle associe à chaque valeur de son domaine plusieurs expressions simultanément

Explication

Une fonction par morceaux utilise différentes sous-fonctions sur les parties d’une partition de son domaine. Le découpage porte sur les domaines d’application des expressions, et non nécessairement sur les racines.

Question 32

32. Si une fonction est définie par plusieurs sous-fonctions, comment obtenir son domaine de définition ?

En ne conservant que l’intersection des domaines de ses sous-fonctions

En additionnant les bornes des intervalles définis par ses sous-fonctions

En réunissant les domaines de définition de toutes ses sous-fonctions

En réunissant les images de ses sous-fonctions plutôt que leurs domaines

Explication

Le domaine de la fonction par morceaux est l’union des domaines sur lesquels ses sous-fonctions sont définies. L’intersection éliminerait les valeurs présentes dans un seul des morceaux.

Question 33

33. Pour quelles valeurs de x le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est-il défini ?

Lorsque g(x) existe, même si f(x) n’est pas défini

Lorsque f(x) et g(x) existent et que f(x) est non nul

Lorsque f(x) et g(x) existent et que g(x) est non nul

Lorsque f(x) et g(x) existent, y compris si g(x) est nul

Explication

Le quotient est défini lorsque les deux valeurs existent et que le dénominateur g(x) n’est pas nul. Contrairement à la somme, à la différence et au produit, le quotient impose cette condition supplémentaire sur g(x).

Question 34

34. Pour c > 0, quelle transformation du graphe correspond à $y=f(x-c)$ ?

Une translation verticale de c unités vers le haut

Une translation horizontale de c unités vers la gauche

Une translation horizontale de c unités vers la droite

Une translation verticale de c unités vers le bas

Explication

Remplacer x par x − c translate le graphe de c unités vers la droite. Une translation vers la gauche correspond à remplacer x par x + c.

Question 35

35. Si c > 1, quel effet $y=f(cx)$ produit-il sur le graphe de f ?

Un étirement vertical d’un facteur c

Une compression horizontale d’un facteur c

Une compression verticale d’un facteur c

Un étirement horizontal d’un facteur c

Explication

Multiplier l’entrée par c resserre horizontalement le graphe d’un facteur c. C’est plutôt $y=f(x/c)$ qui l’étire horizontalement.

Question 36

36. Pour calculer $(f\circ g)(x)$ , dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

On additionne d’abord

f(x)

et

g(x)

, puis on applique

f

.

On applique d’abord

g

, puis

f

.

On applique d’abord

f

, puis

g

.

On applique d’abord

f

, puis on soustrait

g(x)

.

Explication

La composition $(f\circ g)(x)$ vaut $f(g(x))$ : la fonction interne $g$ agit avant la fonction externe $f$ . L’ordre inverse correspondrait à $(g\circ f)(x)$ .

Question 37

37. Pour quelles conditions la valeur de $(f\circ g)(x)$ existe-t-elle ?

Il faut que

g(x)

existe et que

f(g(x))

soit définie.

Il faut que les deux fonctions aient la même expression pour toute valeur de

x

.

Il faut que

f(x)

et

g(x)

soient définies au même endroit.

Il faut que

f(g(x))

existe et que

g(f(x))

soit définie.

Explication

La composition est définie lorsque le résultat de $g(x)$ peut être calculé puis utilisé comme entrée de $f$ . La définition de $f(x)$ au point initial n’est pas requise en soi.

Question 38

38. Quelle démarche algébrique permet de déterminer la réciproque d’une fonction donnée par $y=f(x)$ ?

Remplacer

x

par

-x

, puis isoler

y

.

Élever les deux membres au carré, puis conserver

x

inchangé.

Remplacer

y

par

1/y

, puis isoler

x

.

Échanger

x

et

y

, puis isoler

y

.

Explication

Pour obtenir la relation de la fonction réciproque, on échange les rôles de $x$ et $y$ , puis on résout l’équation pour $y$ . Remplacer $x$ par $-x$ ne réalise pas cet échange des variables.

Question 39

39. Quelle transformation géométrique relie le graphe d’une fonction à celui de sa réciproque ?

Une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Une symétrie par rapport à la droite

y=x

.

Une translation d’une unité vers la droite.

Une rotation d’un demi-tour autour de l’origine.

Explication

Le graphe de la réciproque s’obtient par réflexion du graphe initial autour de la droite $y=x$ , ce qui échange les coordonnées de chaque point. Une réflexion autour de l’axe des abscisses changerait plutôt le signe des ordonnées.

Question 40

40. Pourquoi la relation réciproque de $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ n’est-elle pas une fonction ?

La valeur

4

correspond aux deux images

-2

et

2

.

La valeur

4

n’a aucune image réelle dans la relation réciproque.

La fonction initiale n’associe aucune image à

x=0

.

Les images

-2

et

2

correspondent toutes deux à la valeur

-4

.

Explication

Comme $x^2=4$ pour $x=-2$ et pour $x=2$ , la relation réciproque associe deux images à la même entrée $4$ . En restreignant le domaine initial à une seule branche, on évite cette ambiguïté.

Question 41

41. Comment définit-on la puissance $a^n$ , lorsque $n$ est un entier naturel non nul ?

Comme le quotient de

a

par

n

.

Comme le produit de

a

facteurs égaux à

n

.

Comme la somme de

n

termes égaux à

a

.

Comme le produit de

n

facteurs égaux à

a

.

Explication

La puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs identiques, chacun égal à $a$ . La somme répétée de $a$ décrit plutôt une multiplication par $n$ .

Question 42

42. Pour $a\ne 0$ , quelle expression est égale à $(a^3)^2$ ?

2a^3

a^9

a^6

a^5

Explication

La règle d’une puissance élevée à une puissance donne $(a^n)^m=a^{nm}$ , donc $(a^3)^2=a^6$ . Additionner les exposants donnerait à tort une règle applicable au produit de puissances de même base.

Question 43

43. Pour $a>0$ , que désigne la racine $n$ -ième de $a$ , où $n$ est un entier naturel non nul ?

Le nombre positif

r

tel que

a^n=r

.

L’unique nombre réel

r

tel que

r+a=n

.

Le quotient de

a

par le nombre

n

.

L’unique nombre positif

r

tel que

r^n=a

.

Explication

La racine $n$ -ième de $a$ est définie comme l’unique nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ . La relation $a^n=r$ inverse les rôles du nombre de départ et de la racine.

Question 44

44. Quelle est la valeur de $\sqrt{(-5)^2}$ ?

25

5

\sqrt{5}

-5

Explication

La règle $\sqrt{a^2}=|a|$ donne ici $|-5|=5$ . La racine carrée désigne la valeur positive, et non le nombre négatif dont le carré est le même.

Question 45

45. Quelle valeur l’exponentielle de base $a$ associe-t-elle à un exposant réel $x$ , sous quelles conditions sur $a$ ?

La valeur

x^a

, avec

a>0

et

a\ne1

La valeur

a^x

, avec

a>0

et

a\ne1

La valeur

a^x

, avec

a\geq0

et

a\ne1

La valeur

a^x

, avec

a>0

et

a=1

Explication

L’exponentielle de base $a$ associe à chaque exposant réel $x$ la puissance $a^x$ , avec une base positive différente de 1. Une base nulle n’est pas admise, même si elle est non négative.

Question 46

46. Si $0<a<1$ , comment varie la fonction exponentielle $x\mapsto a^x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Elle n’est définie que pour les exposants positifs.

Elle est strictement décroissante sur

\mathbb{R}

.

Elle est strictement croissante sur

\mathbb{R}

.

Elle est constante sur

\mathbb{R}

.

Explication

Lorsque la base est comprise entre 0 et 1, l’exponentielle est strictement décroissante sur les réels. La croissance stricte correspond au cas où la base est supérieure à 1.

Question 47

47. Pour une base $a>0$ avec $a\ne1$ , quel énoncé décrit correctement l’ensemble de définition, les valeurs prises et la bijectivité de $x\mapsto a^x$ ?

Elle est définie sur

\mathbb{R}_+^*

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}_+^*

et n’est pas bijective.

Elle est définie sur

\mathbb{R}

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}_+^*

et est bijective.

Elle est définie sur

\mathbb{R}

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}

et n’est pas bijective.

Elle est définie sur

\mathbb{R}_+^*

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}

et est bijective.

Explication

L’exponentielle de base admissible est définie pour tout réel, prend des valeurs strictement positives et est bijective. L’énoncé qui échange les domaines de l’exponentielle et du logarithme confond leurs ensembles de définition et de valeurs.

Question 48

48. Si $a^x=y$ avec $a>0$ , $a\ne1$ et $y>0$ , quelle relation exprime le logarithme comme opération réciproque de l’exponentielle ?

\log_a(x)=y

\log_a(y)=x

\log_y(x)=a

\log_y(a)=x

Explication

Le logarithme de base $a$ renvoie l’exposant auquel il faut élever $a$ pour obtenir $y$ , donc $\log_a(y)=x$ . Écrire $\log_a(x)=y$ inverse les rôles de l’exposant et du résultat.

Question 49

49. Pour $0<a<1$ , quel énoncé décrit le domaine, les valeurs et le sens de variation de $x\mapsto\log_a(x)$ ?

Elle est définie sur

\mathbb{R}_+^*

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}

et décroît.

Elle est définie sur

\mathbb{R}

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}_+^*

et croît.

Elle est définie sur

\mathbb{R}

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}_+^*

et décroît.

Elle est définie sur

\mathbb{R}_+^*

, prend ses valeurs dans

\mathbb{R}

et croît.

Explication

Le logarithme est défini pour les arguments strictement positifs, prend des valeurs réelles et est décroissant lorsque sa base est comprise entre 0 et 1. Le domaine de tous les réels et les valeurs positives décrivent plutôt l’exponentielle.

Question 50

50. Quelle caractérisation du nombre $e$ est correcte ?

Il est environ égal à 2,71828 et il est irrationnel.

Il est environ égal à 2,71828 et il est rationnel.

Il est environ égal à 3,14159 et il est rationnel.

Il est environ égal à 3,14159 et il est irrationnel.

Explication

Le nombre $e$ vaut approximativement 2,71828 et ne peut pas s’écrire comme un quotient de deux entiers. La valeur proche de 3,14159 correspond à une approximation de $\pi$ , pas de $e$ .

Question 51

51. Pour calculer $\log_a(x)$ à l’aide d’un logarithme de base $b$ , quelle formule de changement de base utilise-t-on lorsque $a,b>0$ , $a,b\ne1$ et $x>0$ ?

\log_a(x)=\log_b(x)\,\log_b(a)

\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

\log_a(x)=\frac{\log_b(a)}{\log_b(x)}

\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(1)}

Explication

Le changement de base exprime le logarithme de $x$ en base $a$ comme le quotient de $\log_b(x)$ par $\log_b(a)$ . Le quotient inversé ne donne pas cette conversion et ne respecte pas la formule.

Question 52

52. Quelle démarche générale permet de résoudre une équation où l’inconnue apparaît en exposant ?

Transformer l’équation en équation polynomiale en développant les puissances.

Comparer les bases dans tous les cas, même lorsqu’elles sont différentes.

Utiliser les propriétés des puissances et/ou l’équivalence entre exponentielle et logarithme.

Remplacer l’inconnue par la base, puis appliquer les propriétés des racines.

Explication

On peut résoudre une équation exponentielle en appliquant les propriétés des puissances ou en passant par l’équivalence entre exponentielle et logarithme. Comparer les exposants est une méthode utile lorsque les deux membres peuvent être écrits avec une même base, mais elle ne couvre pas tous les cas.

QCM : Fonctions et premiers polynômes (52 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise l’association définie par une fonction entre un élément de départ et son image ?

2. Pour déterminer le domaine de définition de f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2}f(x)=x−21​, quelles valeurs de xxx faut-il retenir ?

3. Si f(3)=7f(3)=7f(3)=7, comment désigne-t-on les nombres 333 et 777 par rapport à la fonction fff ?

4. Sur le graphe d’une fonction, que représente un zéro de la fonction ?

5. Pour une valeur de xxx telle que f(x)<0f(x)<0f(x)<0, quel est le signe de la fonction en ce point ?

6. Quelle information principale fournit un tableau des signes d’une fonction ?

7. Pour dresser le tableau des signes d’un produit de facteurs, quelle démarche faut-il suivre ?

8. Quel critère permet d’identifier une fonction polynomiale de degré nnn ?

9. Une fonction polynomiale peut-elle être indéfinie en une valeur réelle, par exemple à cause d’un dénominateur qui s’annule ?

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise une équation cartésienne d’une droite non verticale écrite sous la forme ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0 ?

11. Dans l’équation réduite y=mx+hy=mx+hy=mx+h d’une droite non verticale, que représente hhh ?

12. Une droite passe par A(2;3)A(2;3)A(2;3) et B(6;11)B(6;11)B(6;11). Quelle est sa pente ?

13. Deux droites non verticales ont pour pentes 333 et −13-\frac{1}{3}−31​. Quelle relation ont-elles ?

14. Quelle expression définit une fonction polynomiale de degré zéro ?

15. Laquelle des fonctions suivantes est polynomiale de degré un ?

16. Le graphe de f(x)=−4x+7f(x)=-4x+7f(x)=−4x+7 est une droite. Quelle sont sa pente et son ordonnée à l’origine ?

17. Une fonction affine de degré un a un coefficient directeur négatif. Quel comportement peut-on en déduire ?

18. Quelle propriété géométrique définit une parabole ?

19. Laquelle de ces équations peut représenter une parabole associée à une fonction quadratique ?

20. Pour la parabole d’équation y=2x2−8x+3y=2x^2-8x+3y=2x2−8x+3, quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

21. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole d’équation y=x2+4x+3y = x^2 + 4x + 3y=x2+4x+3 ?

22. Une parabole a un coefficient aaa négatif dans son équation sous forme développée. Comment est-elle orientée ?

23. Quelle expression définit une fonction quadratique réelle ?

24. Pour une fonction quadratique f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c, que représente le point d’intersection de son graphe avec l’axe des ordonnées ?

25. Une fonction quadratique a un discriminant Δ=0\Delta = 0Δ=0. Combien de zéros réels possède-t-elle ?

26. Une fonction quadratique a un coefficient a>0a > 0a>0. Quel comportement décrit sa variation autour de son sommet ?

27. Quel est l’objectif central d’un problème d’optimisation ?

28. Après avoir défini les variables et exprimé la quantité à optimiser, quelle démarche complète permet de poursuivre correctement la résolution ?

29. Quelle forme générale caractérise une fonction polynomiale de degré n≥3n \geq 3n≥3 ?

30. Un polynôme réel de degré 5 peut-il avoir six racines réelles distinctes ?

31. Qu’est-ce qui caractérise une fonction définie par morceaux ?

32. Si une fonction est définie par plusieurs sous-fonctions, comment obtenir son domaine de définition ?

33. Pour quelles valeurs de x le quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ est-il défini ?

34. Pour c > 0, quelle transformation du graphe correspond à y=f(x−c)y=f(x-c)y=f(x−c) ?

35. Si c > 1, quel effet y=f(cx)y=f(cx)y=f(cx) produit-il sur le graphe de f ?

36. Pour calculer (f∘g)(x)(f\circ g)(x)(f∘g)(x), dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

37. Pour quelles conditions la valeur de (f∘g)(x)(f\circ g)(x)(f∘g)(x) existe-t-elle ?

38. Quelle démarche algébrique permet de déterminer la réciproque d’une fonction donnée par y=f(x)y=f(x)y=f(x) ?

39. Quelle transformation géométrique relie le graphe d’une fonction à celui de sa réciproque ?

40. Pourquoi la relation réciproque de f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 sur R\mathbb{R}R n’est-elle pas une fonction ?

41. Comment définit-on la puissance ana^nan, lorsque nnn est un entier naturel non nul ?

42. Pour a≠0a\ne 0a=0, quelle expression est égale à (a3)2(a^3)^2(a3)2 ?

43. Pour a>0a>0a>0, que désigne la racine nnn-ième de aaa, où nnn est un entier naturel non nul ?

44. Quelle est la valeur de (−5)2\sqrt{(-5)^2}(−5)2​ ?

45. Quelle valeur l’exponentielle de base aaa associe-t-elle à un exposant réel xxx, sous quelles conditions sur aaa ?

46. Si 0<a<10<a<10<a<1, comment varie la fonction exponentielle x↦axx\mapsto a^xx↦ax sur R\mathbb{R}R ?

47. Pour une base a>0a>0a>0 avec a≠1a\ne1a=1, quel énoncé décrit correctement l’ensemble de définition, les valeurs prises et la bijectivité de x↦axx\mapsto a^xx↦ax ?

48. Si ax=ya^x=yax=y avec a>0a>0a>0, a≠1a\ne1a=1 et y>0y>0y>0, quelle relation exprime le logarithme comme opération réciproque de l’exponentielle ?

49. Pour 0<a<10<a<10<a<1, quel énoncé décrit le domaine, les valeurs et le sens de variation de x↦log⁡a(x)x\mapsto\log_a(x)x↦loga​(x) ?

50. Quelle caractérisation du nombre eee est correcte ?

51. Pour calculer log⁡a(x)\log_a(x)loga​(x) à l’aide d’un logarithme de base bbb, quelle formule de changement de base utilise-t-on lorsque a,b>0a,b>0a,b>0, a,b≠1a,b\ne1a,b=1 et x>0x>0x>0 ?

52. Quelle démarche générale permet de résoudre une équation où l’inconnue apparaît en exposant ?

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2. Pour déterminer le domaine de définition de $f(x)=\frac{1}{x-2}$ , quelles valeurs de $x$ faut-il retenir ?

3. Si $f(3)=7$ , comment désigne-t-on les nombres $3$ et $7$ par rapport à la fonction $f$ ?

5. Pour une valeur de $x$ telle que $f(x)<0$ , quel est le signe de la fonction en ce point ?

8. Quel critère permet d’identifier une fonction polynomiale de degré $n$ ?

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise une équation cartésienne d’une droite non verticale écrite sous la forme $ax+by+c=0$ ?

11. Dans l’équation réduite $y=mx+h$ d’une droite non verticale, que représente $h$ ?

12. Une droite passe par $A(2;3)$ et $B(6;11)$ . Quelle est sa pente ?

13. Deux droites non verticales ont pour pentes $3$ et $-\frac{1}{3}$ . Quelle relation ont-elles ?

16. Le graphe de $f(x)=-4x+7$ est une droite. Quelle sont sa pente et son ordonnée à l’origine ?

20. Pour la parabole d’équation $y=2x^2-8x+3$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

21. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole d’équation $y = x^2 + 4x + 3$ ?

22. Une parabole a un coefficient $a$ négatif dans son équation sous forme développée. Comment est-elle orientée ?

24. Pour une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ , que représente le point d’intersection de son graphe avec l’axe des ordonnées ?

25. Une fonction quadratique a un discriminant $\Delta = 0$ . Combien de zéros réels possède-t-elle ?

26. Une fonction quadratique a un coefficient $a > 0$ . Quel comportement décrit sa variation autour de son sommet ?

29. Quelle forme générale caractérise une fonction polynomiale de degré $n \geq 3$ ?

33. Pour quelles valeurs de x le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est-il défini ?

34. Pour c > 0, quelle transformation du graphe correspond à $y=f(x-c)$ ?

35. Si c > 1, quel effet $y=f(cx)$ produit-il sur le graphe de f ?

36. Pour calculer $(f\circ g)(x)$ , dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

37. Pour quelles conditions la valeur de $(f\circ g)(x)$ existe-t-elle ?

38. Quelle démarche algébrique permet de déterminer la réciproque d’une fonction donnée par $y=f(x)$ ?

40. Pourquoi la relation réciproque de $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ n’est-elle pas une fonction ?

41. Comment définit-on la puissance $a^n$ , lorsque $n$ est un entier naturel non nul ?

42. Pour $a\ne 0$ , quelle expression est égale à $(a^3)^2$ ?

43. Pour $a>0$ , que désigne la racine $n$ -ième de $a$ , où $n$ est un entier naturel non nul ?

44. Quelle est la valeur de $\sqrt{(-5)^2}$ ?

45. Quelle valeur l’exponentielle de base $a$ associe-t-elle à un exposant réel $x$ , sous quelles conditions sur $a$ ?

46. Si $0<a<1$ , comment varie la fonction exponentielle $x\mapsto a^x$ sur $\mathbb{R}$ ?

47. Pour une base $a>0$ avec $a\ne1$ , quel énoncé décrit correctement l’ensemble de définition, les valeurs prises et la bijectivité de $x\mapsto a^x$ ?

48. Si $a^x=y$ avec $a>0$ , $a\ne1$ et $y>0$ , quelle relation exprime le logarithme comme opération réciproque de l’exponentielle ?

49. Pour $0<a<1$ , quel énoncé décrit le domaine, les valeurs et le sens de variation de $x\mapsto\log_a(x)$ ?

50. Quelle caractérisation du nombre $e$ est correcte ?

51. Pour calculer $\log_a(x)$ à l’aide d’un logarithme de base $b$ , quelle formule de changement de base utilise-t-on lorsque $a,b>0$ , $a,b\ne1$ et $x>0$ ?