QCM : Combinatoire et probabilités (39 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le cardinal d’un ensemble fini :

Le cardinal d’un ensemble fini désigne le nombre de ses sous-ensembles propres.
Deux ensembles finis équipotents possèdent le même cardinal.
Le cardinal d’un ensemble fini se note Card(E) lorsque l’ensemble est E.
Le cardinal d’un ensemble fini correspond au nombre de ses éléments.
Le cardinal d’un ensemble fini est un nombre entier positif ou nul.

Deux ensembles finis équipotents possèdent le même cardinal. · Le cardinal d’un ensemble fini se note Card(E) lorsque l’ensemble est E. · Le cardinal d’un ensemble fini correspond au nombre de ses éléments. · Le cardinal d’un ensemble fini est un nombre entier positif ou nul.

Explication

Le cardinal compte les éléments de l’ensemble et se note Card(E) pour E ; des ensembles équipotents ont le même nombre d’éléments. Il peut être nul pour l’ensemble vide, tandis que le nombre de sous-ensembles propres n’est pas sa définition.

2. Parmi les propositions suivantes concernant le complémentaire de A dans E, lesquelles sont exactes ?

Il rassemble les éléments communs à A et à E.
Il rassemble les éléments de E qui appartiennent à A.
Il rassemble les éléments de A qui n’appartiennent pas à E.
Il rassemble les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Il rassemble les éléments extérieurs à E qui n’appartiennent pas à A.

Il rassemble les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

Explication

Le complémentaire de A dans E contient les éléments appartenant à E mais pas à A. Les autres descriptions désignent des éléments de A, extérieurs à E, ou communs à A et E, et ne définissent donc pas ce complémentaire.

3. Une partition d’un ensemble fini E possède les caractéristiques suivantes :

Elle permet de répartir les éléments de E sans recouvrement.
Chaque élément de E appartient à l’un de ses sous-ensembles.
La somme de leurs cardinaux diffère du cardinal de E.
La réunion de ses sous-ensembles est égale à l’ensemble E.
Elle est formée de sous-ensembles deux à deux disjoints.

Elle permet de répartir les éléments de E sans recouvrement. · Chaque élément de E appartient à l’un de ses sous-ensembles. · La réunion de ses sous-ensembles est égale à l’ensemble E. · Elle est formée de sous-ensembles deux à deux disjoints.

Explication

Une partition est une famille de sous-ensembles deux à deux disjoints dont la réunion constitue E ; chaque élément de E est donc couvert sans recouvrement. La somme des cardinaux de ses sous-ensembles est égale au cardinal de E, mais ces sous-ensembles ne sont pas tenus d’avoir tous le même cardinal.

4. Pour deux parties A et B de E, quelle égalité donne le cardinal de leur réunion ?

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∪B).
Card(A∪B) = Card(A∩B) − Card(A) − Card(B).
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) + Card(A∩B).
Card(A∪B) = Card(A) − Card(B) + Card(A∩B).
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B).

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B).

Explication

Le cardinal de la réunion s’obtient en additionnant les cardinaux de A et B, puis en soustrayant celui de leur intersection, comptée deux fois. Les autres égalités modifient le signe ou remplacent l’intersection par la réunion.

5. À propos d’un arrangement de taille k parmi n éléments :

Chaque arrangement de taille k utilise des éléments distincts de E.
Un arrangement de taille k est un sous-ensemble sans ordre de E.
Un arrangement est une suite ordonnée de k éléments distincts de E.
La taille k indique le nombre d’éléments de la suite ordonnée.
L’ordre des éléments distingue deux arrangements de même contenu.

Chaque arrangement de taille k utilise des éléments distincts de E. · Un arrangement est une suite ordonnée de k éléments distincts de E. · La taille k indique le nombre d’éléments de la suite ordonnée. · L’ordre des éléments distingue deux arrangements de même contenu.

Explication

Un arrangement est une suite ordonnée de k éléments distincts ; l’ordre compte et la suite contient k éléments. Un sous-ensemble sans ordre correspond à une combinaison, non à un arrangement.

6. Pour compter les arrangements de taille k parmi n éléments, on utilise :

Ank=n!(n−k)!A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}
Ank=n!k!A_n^k=\frac{n!}{k!}
Ank=(n−k)!k!A_n^k=\frac{(n-k)!}{k!}
Ank=(n−k)!n!A_n^k=\frac{(n-k)!}{n!}
Ank=n!k!(n−k)!A_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

Explication

Le nombre d’arrangements de taille k est n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}. La formule comportant aussi le facteur k!k! au dénominateur compte les combinaisons, tandis que les autres expressions ne donnent pas le nombre d’arrangements.

7. Une permutation d’un ensemble à n éléments se caractérise par :

Une permutation correspond à un arrangement de taille n.
Une permutation est une suite ordonnée de tous les éléments de l’ensemble.
Une permutation est un sous-ensemble de n éléments sans ordre.
Une permutation est un arrangement qui utilise n éléments.
Chaque élément de l’ensemble figure dans une permutation.

Une permutation correspond à un arrangement de taille n. · Une permutation est une suite ordonnée de tous les éléments de l’ensemble. · Une permutation est un arrangement qui utilise n éléments. · Chaque élément de l’ensemble figure dans une permutation.

Explication

Une permutation est un arrangement de taille n : elle ordonne tous les éléments de l’ensemble. Un sous-ensemble sans ordre ne caractérise pas une permutation.

8. Concernant une combinaison de taille k choisie parmi n éléments, cochez les propositions exactes :

Deux choix des mêmes éléments dans des ordres différents donnent deux combinaisons.
Une combinaison est un sous-ensemble constitué de k éléments distincts.
Une combinaison se distingue d’un arrangement par l’absence d’ordre.
Une combinaison ne distingue pas les éléments selon leur ordre.
Une combinaison de taille k contient k éléments de l’ensemble considéré.

Une combinaison est un sous-ensemble constitué de k éléments distincts. · Une combinaison se distingue d’un arrangement par l’absence d’ordre. · Une combinaison ne distingue pas les éléments selon leur ordre. · Une combinaison de taille k contient k éléments de l’ensemble considéré.

Explication

Une combinaison est un sous-ensemble de k éléments distincts, sans ordre ; elle contient donc k éléments et ne distingue pas les ordres. Les mêmes éléments ordonnés différemment ne forment pas deux combinaisons distinctes.

9. Les coefficients binomiaux interviennent dans le développement de (a+b)n (a+b)^n de la manière suivante :

Les coefficients binomiaux ne dépendent pas de l’exposant n.
Les nombres CnkC_n^k sont les exposants de a dans tous les termes.
Les nombres CnkC_n^k sont les coefficients des termes du développement.
Le terme associé à k contient le facteur an−kbka^{n-k}b^k.
Le développement s’écrit ∑k=0nCnkan−kbk\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k.

Les nombres $$C_n^k$$ sont les coefficients des termes du développement. · Le terme associé à k contient le facteur $$a^{n-k}b^k$$. · Le développement s’écrit $$\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$$.

Explication

Dans le développement, les coefficients sont les nombres CnkC_n^k et les termes correspondants contiennent an−kbka^{n-k}b^k, pour k allant de 0 à n. Les coefficients ne sont pas les exposants de a et dépendent de n.

10. Quelle relation de Pascal relie les coefficients binomiaux d’indices voisins ?

Cn+1k=Cnk+Cnk−1C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}
Cn+1k=Cn−1k+Cnk−1C_{n+1}^k=C_{n-1}^k+C_n^{k-1}
Cn+1k=Cnk−Cnk−1C_{n+1}^k=C_n^k-C_n^{k-1}
Cn+1k=Cnk+Cnk+1C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k+1}
Cn+1k=Cnk−1−CnkC_{n+1}^k=C_n^{k-1}-C_n^k

$$C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}$$

Explication

La relation de Pascal exprime Cn+1kC_{n+1}^k comme la somme de CnkC_n^k et Cnk−1C_n^{k-1}. Les autres propositions changent un signe ou un indice, ce qui ne correspond pas à cette relation.

11. Concernant le nombre de permutations d’objets répartis en groupes indistinguables :

Pour des groupes de tailles n1,…,nkn_1,\ldots,n_k, le dénombrement vaut n1!⋯nk!n!\frac{n_1!\cdots n_k!}{n!}.
Le numérateur est le produit des factorielles des tailles des groupes.
Le dénominateur tient compte des permutations internes aux groupes indistinguables.
Pour des groupes de tailles n1,…,nkn_1,\ldots,n_k, le dénombrement vaut n!n1+⋯+nk\frac{n!}{n_1+\cdots+n_k}.
Pour des groupes de tailles n1,…,nkn_1,\ldots,n_k, le dénombrement vaut n!n1!⋯nk!\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}.

Le dénominateur tient compte des permutations internes aux groupes indistinguables. · Pour des groupes de tailles $$n_1,\ldots,n_k$$, le dénombrement vaut $$\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}$$.

Explication

Le quotient n!n1!⋯nk!\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!} compte les permutations en corrigeant les permutations internes indistinguables. Inverser le quotient ou remplacer le dénominateur par la somme des tailles ne donne pas cette formule ; le numérateur est n!n!.

12. Les coefficients multinomiaux interviennent dans le développement de quelle expression et sous quelle condition ?

Les tailles des groupes peuvent être des entiers non négatifs dont la somme vaut nn.
Les quotients n!n1!⋯nk!\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!} sont des coefficients multinomiaux lorsque n1+⋯+nk=kn_1+\cdots+n_k=k.
Ces coefficients interviennent dans le développement de (a1+⋯+ak)n(a_1+\cdots+a_k)^n.
Les quotients n!n1!⋯nk!\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!} sont des coefficients multinomiaux lorsque n1+⋯+nk=nn_1+\cdots+n_k=n.
Ces coefficients interviennent dans le développement de (a1+⋯+an)k(a_1+\cdots+a_n)^k.

Les tailles des groupes peuvent être des entiers non négatifs dont la somme vaut $$n$$. · Ces coefficients interviennent dans le développement de $$(a_1+\cdots+a_k)^n$$. · Les quotients $$\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}$$ sont des coefficients multinomiaux lorsque $$n_1+\cdots+n_k=n$$.

Explication

Les coefficients multinomiaux ont la forme n!n1!⋯nk!\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!} avec une somme des indices égale à nn, et apparaissent dans le développement de (a1+⋯+ak)n(a_1+\cdots+a_k)^n. La somme des indices n’est pas fixée à kk, et l’exposant du développement est nn.

13. Concernant la définition d’un événement en probabilités :

Un événement peut contenir plusieurs résultats de l’univers des possibles.
Un événement est un élément extérieur à l’univers des possibles EE.
L’univers des possibles est un élément de chaque événement.
Une partie de EE constitue un événement.
Un événement est une partie de l’univers des possibles EE.

Un événement peut contenir plusieurs résultats de l’univers des possibles. · Une partie de $$E$$ constitue un événement. · Un événement est une partie de l’univers des possibles $$E$$.

Explication

Un événement est une partie de l’univers EE, ce qui inclut les parties contenant plusieurs résultats. Un événement n’est pas extérieur à EE, et l’univers n’est pas un élément de chaque événement.

14. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire simultanément. Quelles propositions caractérisent cette incompatibilité ?

Deux événements incompatibles ne peuvent pas être réalisés simultanément.
Deux événements incompatibles correspondent à deux parties égales de l’univers.
Deux événements incompatibles ont une intersection vide dans l’univers.
Deux événements incompatibles possèdent au moins un résultat commun.
Deux événements incompatibles correspondent à deux parties disjointes de l’univers.

Deux événements incompatibles ne peuvent pas être réalisés simultanément. · Deux événements incompatibles ont une intersection vide dans l’univers. · Deux événements incompatibles correspondent à deux parties disjointes de l’univers.

Explication

L’incompatibilité signifie que les événements ne peuvent être réalisés simultanément ; leurs parties de l’univers sont donc disjointes et leur intersection est vide. Des événements ayant un résultat commun ne sont pas incompatibles, et ils ne sont pas nécessairement égaux.

15. Lors d’un lancer de dé, comment représenter l’événement élémentaire « obtenir 5 » ?

L’événement « obtenir 5 » est l’ensemble ∅\varnothing.
L’événement « obtenir 5 » est l’ensemble {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}.
L’événement « obtenir 5 » est l’ensemble {5}\{5\}.
Un événement élémentaire associé à ce lancer contient une seule issue.
L’événement « obtenir 5 » contient une issue du lancer de dé.

L’événement « obtenir 5 » est l’ensemble $$\{5\}$$. · Un événement élémentaire associé à ce lancer contient une seule issue. · L’événement « obtenir 5 » contient une issue du lancer de dé.

Explication

L’événement « obtenir 5 » est {5}\{5\} : il contient une seule issue et est donc élémentaire. L’ensemble de toutes les issues est l’événement certain, tandis que ∅\varnothing représente l’événement impossible.

16. Pour un lancer de dé dont les issues sont les nombres de 1 à 6, quelles propositions décrivent les événements certain et impossible ?

L’événement impossible ne contient aucune issue du dé.
L’événement certain est ∅\varnothing.
L’événement certain est {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}.
L’événement certain est {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}.
L’événement impossible est ∅\varnothing.

L’événement impossible ne contient aucune issue du dé. · L’événement certain est $$\{1,2,3,4,5,6\}$$. · L’événement impossible est $$\varnothing$$.

Explication

L’événement certain contient toutes les issues du dé, soit {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\} ; l’événement impossible est l’ensemble vide et ne contient aucune issue. L’ensemble vide ne peut donc pas représenter l’événement certain, et retirer une issue produit un événement différent.

17. Concernant la probabilité de la réunion de deux événements :

La formule soustrait l’intersection après avoir additionné les probabilités des deux événements.
La probabilité de la réunion est la somme des deux probabilités, sans correction de recouvrement.
La soustraction de l’intersection évite de compter deux fois les issues communes aux événements.
La correction porte sur la probabilité du complémentaire de la réunion.
La formule ajoute la probabilité de l’intersection à celles des deux événements.

La formule soustrait l’intersection après avoir additionné les probabilités des deux événements. · La soustraction de l’intersection évite de compter deux fois les issues communes aux événements.

Explication

La réunion s’obtient en additionnant les probabilités puis en retranchant l’intersection, ce qui corrige le double comptage. Une somme simple ou l’ajout de l’intersection ne donne pas cette formule, et le complémentaire n’est pas le terme de correction.

18. Pour définir une distribution de probabilité sur un ensemble fini EE, quelles conditions doivent être réunies ?

Chaque probabilité d’une issue appartient à l’intervalle [0,1][0,1] et leur somme vaut 1.
Les probabilités des issues peuvent dépasser 1 si leur somme reste égale à 1.
La fonction associe à chaque issue de EE un réel compris entre 0 et 1.
Chaque probabilité d’une issue est strictement positive et leur somme vaut 1.
La somme des probabilités des issues peut être inférieure à 1.

Chaque probabilité d’une issue appartient à l’intervalle $$[0,1]$$ et leur somme vaut 1. · La fonction associe à chaque issue de $$E$$ un réel compris entre 0 et 1.

Explication

Une distribution attribue à chaque issue une valeur entre 0 et 1, et la somme de ces valeurs vaut 1. Les probabilités peuvent être nulles, ne peuvent dépasser 1, et leur somme ne peut être inférieure à 1.

19. La probabilité d’un événement AA inclus dans un ensemble fini EE se calcule comment ?

Elle est le quotient du nombre d’issues de AA par celui de EE.
Elle est le produit des probabilités des issues élémentaires appartenant à AA.
Elle est la somme des probabilités des issues élémentaires appartenant à AA.
Elle est égale à la probabilité de l’issue la plus probable de AA.
Elle est la somme des probabilités des issues de EE qui ne sont pas dans AA.

Elle est la somme des probabilités des issues élémentaires appartenant à $$A$$.

Explication

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de toutes les issues élémentaires qui le composent. Le produit et la somme sur le complément ne définissent pas cette probabilité; le quotient des effectifs suppose notamment une distribution uniforme.

20. Dans une distribution uniforme sur un ensemble fini EE, comment calculer la probabilité d’un événement AA ?

La probabilité d’une issue élémentaire est 1/Card⁡(E)1/\operatorname{Card}(E).
Elle est égale au cardinal de AA divisé par le cardinal de EE.
Chaque issue de EE reçoit une probabilité égale au cardinal de AA.
La probabilité de AA est le cardinal de EE divisé par celui de AA.
Chaque issue élémentaire reçoit une probabilité égale à l’inverse du cardinal de EE.

La probabilité d’une issue élémentaire est $$1/\operatorname{Card}(E)$$. · Elle est égale au cardinal de $$A$$ divisé par le cardinal de $$E$$. · Chaque issue élémentaire reçoit une probabilité égale à l’inverse du cardinal de $$E$$.

Explication

En loi uniforme, toutes les issues ont la même probabilité, égale à l’inverse du cardinal de EE; ainsi, P(A)=Card⁡(A)/Card⁡(E)P(A)=\operatorname{Card}(A)/\operatorname{Card}(E). Les deux rapports inversés ne sont pas les formules de la loi uniforme.

21. Une expérience de Bernoulli se caractérise par quelles propriétés ?

Elle compte le nombre de succès obtenus lors de plusieurs expériences indépendantes.
Elle comporte deux issues, souvent codées 0 et 1 selon l’échec et le succès.
Elle attribue une probabilité égale à 1/21/2 à chacune des deux issues.
Elle comporte trois issues équiprobables, correspondant à deux succès et un échec.
Elle représente une expérience aléatoire à deux issues possibles.

Elle comporte deux issues, souvent codées 0 et 1 selon l’échec et le succès. · Elle représente une expérience aléatoire à deux issues possibles.

Explication

Une expérience de Bernoulli possède deux issues, souvent notées 0 et 1, associées à l’échec et au succès. Le comptage des succès sur plusieurs essais relève de la loi binomiale, et les deux issues ne sont pas nécessairement équiprobables.

22. Les caractéristiques d’une distribution uniforme comprennent :

Les issues élémentaires reçoivent des probabilités déterminées par leur ordre.
Les issues élémentaires reçoivent toutes la même probabilité.
Les issues élémentaires reçoivent des probabilités proportionnelles à leur rang.
La probabilité de chaque issue élémentaire est identique à celle des autres.
Les événements formés de deux issues ont une probabilité égale à 1/Card⁡(E)1/\operatorname{Card}(E).

Les issues élémentaires reçoivent toutes la même probabilité. · La probabilité de chaque issue élémentaire est identique à celle des autres.

Explication

Une distribution uniforme attribue la même probabilité à chaque issue élémentaire. Le rang ou l’ordre des issues ne détermine pas leurs probabilités, et un événement de deux issues a une probabilité qui dépend de la taille de l’ensemble et du nombre d’issues qu’il contient.

23. Pour une variable XX suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp, quelle expression donne P(X=k)P(X=k) ?

L’exposant de pp est kk et celui de 1−p1-p est n−kn-k.
La probabilité s’écrit (kn)pk(1−p)n−k\binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k} pour kk entre 0 et nn.
La probabilité s’écrit (nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} pour kk entre 0 et nn.
Le facteur (nk)\binom{n}{k} multiplie la probabilité de kk succès et de n−kn-k échecs.
La probabilité s’écrit (nk)pn−k(1−p)k\binom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^k pour kk entre 0 et nn.

L’exposant de $$p$$ est $$k$$ et celui de $$1-p$$ est $$n-k$$. · La probabilité s’écrit $$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ pour $$k$$ entre 0 et $$n$$. · Le facteur $$\binom{n}{k}$$ multiplie la probabilité de $$k$$ succès et de $$n-k$$ échecs.

Explication

La formule binomiale est (nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} : le coefficient compte les configurations et les exposants correspondent aux succès et aux échecs. L’option qui échange les exposants et celle qui inverse les indices du coefficient ne respectent pas cette formule.

24. Pour P(B)>0P(B)>0, comment exprimer la probabilité de AA sachant BB ?

Elle est égale à P(B∣A)P(B\mid A) lorsque les événements ont une intersection.
Elle est égale à P(A)P(B)P(A)P(B) pour tous événements.
Le dénominateur de cette probabilité conditionnelle est P(B)P(B).
Elle est égale à P(A∩B)/P(A)P(A\cap B)/P(A).
Elle est égale à P(A∩B)/P(B)P(A\cap B)/P(B).

Le dénominateur de cette probabilité conditionnelle est $$P(B)$$. · Elle est égale à $$P(A\cap B)/P(B)$$.

Explication

La définition est P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B), avec P(B)>0P(B)>0. Le dénominateur P(A)P(A) correspondrait à la condition inverse, et la probabilité conditionnelle n’est pas généralement égale à une probabilité conjointe ou à P(B∣A)P(B\mid A).

25. Deux événements AA et BB sont indépendants lorsque :

Leur probabilité d’intersection est le produit de leurs probabilités.
La probabilité de leur réunion est égale au produit de leurs probabilités.
Le produit P(A)P(B)P(A)P(B) coïncide avec P(A∩B)P(A\cap B).
La relation P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B) est vérifiée.
Leur probabilité d’intersection est la somme de leurs probabilités.

Leur probabilité d’intersection est le produit de leurs probabilités. · Le produit $$P(A)P(B)$$ coïncide avec $$P(A\cap B)$$. · La relation $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$ est vérifiée.

Explication

L’indépendance équivaut à P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B). Une somme des probabilités ou la probabilité de la réunion ne caractérise pas l’indépendance.

26. Si P(A)>0P(A)>0 et P(B)>0P(B)>0, quelle relation exprime le théorème de Bayes ?

La probabilité de AA sachant BB dépend de P(B∣A)P(B\mid A) et de P(A)P(A).
P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.
P(A∣B)=P(A∣B)P(B)P(A)P(A\mid B)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}.
Le dénominateur de la formule de Bayes est la probabilité de BB.
P(A∣B)=P(A)P(B)P(B∣A)P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B)}{P(B\mid A)}.

La probabilité de $$A$$ sachant $$B$$ dépend de $$P(B\mid A)$$ et de $$P(A)$$. · $$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$. · Le dénominateur de la formule de Bayes est la probabilité de $$B$$.

Explication

Le théorème de Bayes donne P(A∣B)=P(B∣A)P(A)/P(B)P(A\mid B)=P(B\mid A)P(A)/P(B), sous les conditions indiquées. La formule utilise la probabilité de BB au dénominateur; les autres expressions inversent ou altèrent les termes.

27. Si les événements {Ai}i∈I\{A_i\}_{i\in I} forment une partition de EE, comment calculer P(B)P(B) ?

On somme les probabilités P(Ai∣B)P(B)P(A_i\mid B)P(B) sur les indices de la partition.
On somme les termes P(B∣Ai)P(Ai)P(B\mid A_i)P(A_i) sur tous les indices de la partition.
La probabilité de BB est obtenue en additionnant les probabilités conditionnelles pondérées par P(Ai)P(A_i).
Chaque terme de la somme est le produit de P(B∣Ai)P(B\mid A_i) par P(Ai)P(A_i).
On calcule P(B)P(B) par le produit des probabilités P(B∣Ai)P(B\mid A_i).

On somme les termes $$P(B\mid A_i)P(A_i)$$ sur tous les indices de la partition. · La probabilité de $$B$$ est obtenue en additionnant les probabilités conditionnelles pondérées par $$P(A_i)$$. · Chaque terme de la somme est le produit de $$P(B\mid A_i)$$ par $$P(A_i)$$.

Explication

La formule des probabilités totales est P(B)=∑i∈IP(B∣Ai)P(Ai)P(B)=\sum_{i\in I}P(B\mid A_i)P(A_i) lorsque les AiA_i forment une partition. Elle additionne les probabilités conditionnelles pondérées par les probabilités des éléments de la partition, et non les probabilités conditionnelles inverses ni leur produit.

28. Concernant la définition d’une variable aléatoire sur un ensemble fini :

Une variable aléatoire associe une probabilité à chaque issue élémentaire de l’ensemble.
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’ensemble des issues élémentaires.
Une variable aléatoire prend ses valeurs dans l’ensemble des nombres réels.
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue élémentaire de l’ensemble.
Une variable aléatoire associe un nombre entier à chaque issue élémentaire de l’ensemble.

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’ensemble des issues élémentaires. · Une variable aléatoire prend ses valeurs dans l’ensemble des nombres réels. · Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue élémentaire de l’ensemble.

Explication

Une variable aléatoire est bien une fonction qui attribue une valeur réelle à chaque issue élémentaire. Elle ne renvoie pas une probabilité à chaque issue et ses valeurs ne sont pas limitées aux entiers.

29. Une transformation affine aX+baX+b est appliquée à une variable aléatoire ; concernant son espérance :

Multiplier X par a multiplie son espérance par a2a^2.
L’espérance d’une somme de variables est la somme de leurs variances.
L’espérance de aX+baX+b vaut aE(X)+baE(X)+b.
Ajouter une constante b à X ajoute b à son espérance.
La linéarité permet d’écrire E(X+Y)=E(X)E(Y)E(X+Y)=E(X)E(Y).

L’espérance de $$aX+b$$ vaut $$aE(X)+b$$. · Ajouter une constante b à X ajoute b à son espérance.

Explication

La linéarité donne E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b, donc l’ajout de b augmente l’espérance de b. Le facteur a n’est pas mis au carré, et l’espérance d’une somme ne se calcule ni comme un produit d’espérances ni comme une somme de variances.

30. Au sujet de la définition de la variance d’une variable aléatoire :

La variance est l’espérance de la valeur absolue de l’écart à la moyenne.
La variance est la racine carrée de l’espérance du carré de l’écart à la moyenne.
La variance est l’espérance du carré de l’écart entre X et sa moyenne.
La variance est l’espérance du carré de l’écart entre X et sa médiane.
La variance est le carré de l’espérance de l’écart entre X et sa moyenne.

La variance est l’espérance du carré de l’écart entre X et sa moyenne.

Explication

Par définition, V(X)=E((X−E(X))2)V(X)=E((X-E(X))^2) : on élève au carré l’écart à la moyenne, puis on en prend l’espérance. La racine carrée de la variance est l’écart-type, et la définition ne porte ni sur la valeur absolue ni sur l’écart à la médiane.

31. Parmi les propositions suivantes concernant l’écart-type, lesquelles sont exactes ?

L’écart-type est le carré de la variance de la variable aléatoire.
L’écart-type s’obtient en multipliant la variance par elle-même.
L’écart-type est la racine carrée de l’espérance de la variable.
L’écart-type est la racine carrée de la variance de la variable aléatoire.
L’écart-type est l’espérance du carré de l’écart à la moyenne.

L’écart-type est la racine carrée de la variance de la variable aléatoire.

Explication

L’écart-type est défini par σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}. Le carré de l’écart à la moyenne intervient dans la variance, tandis que les autres expressions ne correspondent pas à la définition de l’écart-type.

32. Concernant l’effet d’une transformation affine sur la variance, cochez la proposition exacte :

La variance de aX+baX+b vaut aV(X)+baV(X)+b pour tous réels a et b.
La variance de aX+baX+b vaut a2V(X)+b2a^2V(X)+b^2 pour tous réels a et b.
La variance de aX+baX+b vaut aV(X)+b2aV(X)+b^2 pour tous réels a et b.
La variance de aX+baX+b vaut a2V(X)+ba^2V(X)+b pour tous réels a et b.
La variance de aX+baX+b vaut a2V(X)a^2V(X) pour tous réels a et b.

La variance de $$aX+b$$ vaut $$a^2V(X)$$ pour tous réels a et b.

Explication

La formule est V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X) : le facteur multiplicatif est élevé au carré et l’ajout de b n’ajoute aucun terme à la variance. Les expressions proposées avec un terme en b ou en b2b^2 ne respectent pas cette règle.

33. Concernant la définition de la covariance de deux variables aléatoires :

La covariance est l’espérance du produit des écarts de X et de Y à leurs moyennes respectives.
Chaque écart intervenant dans la définition est calculé par rapport à la moyenne de sa variable.
La covariance est l’espérance du produit des écarts de X et de Y à leurs variances respectives.
La covariance est la somme des espérances des écarts de X et de Y à leurs moyennes.
La définition multiplie les écarts centrés de X et de Y avant d’en prendre l’espérance.

La covariance est l’espérance du produit des écarts de X et de Y à leurs moyennes respectives. · Chaque écart intervenant dans la définition est calculé par rapport à la moyenne de sa variable. · La définition multiplie les écarts centrés de X et de Y avant d’en prendre l’espérance.

Explication

La covariance est E((X−E(X))(Y−E(Y)))E((X-E(X))(Y-E(Y))) : les deux variables sont centrées par leur propre moyenne, puis leurs écarts sont multipliés avant l’espérance. Les médianes ne servent pas de valeurs de centrage, et la définition ne consiste pas à additionner les espérances des écarts.

34. Pour calculer la variance de la somme de deux variables aléatoires, quelles propositions sont exactes ?

La formule générale comprend deux fois la covariance de X et Y.
La variance de la somme comprend V(X)V(X) et V(Y)V(Y).
La variance de la somme est la somme des variances augmentée d’une fois la covariance.
La variance de la somme s’écrit V(X)+V(Y)+2Cov⁡(X,Y)V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y).
La covariance contribue à la variance de la somme avec un coefficient égal à deux.

La formule générale comprend deux fois la covariance de X et Y. · La variance de la somme comprend $$V(X)$$ et $$V(Y)$$. · La variance de la somme s’écrit $$V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$$. · La covariance contribue à la variance de la somme avec un coefficient égal à deux.

Explication

La formule générale est V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov⁡(X,Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y). Elle contient les deux variances et deux fois la covariance ; le coefficient de la covariance n’est donc pas un.

35. Concernant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Pour le poids de Hamming, avec λ≈4,24, la borne vaut environ 0,024.
La borne de probabilité s’écrit pour des écarts mesurés à partir de σ.
Pour tout λ, la probabilité que |X−μ| dépasse λσ est au plus 1λ2\frac{1}{\lambda^2}.
Pour un écart supérieur à λσ autour de μ, la probabilité est majorée par 1λ2\frac{1}{\lambda^2}.
Si X a pour espérance μ et variance σ², la borne porte sur les écarts à μ.

Pour tout λ, la probabilité que |X−μ| dépasse λσ est au plus $$\frac{1}{\lambda^2}$$. · Pour un écart supérieur à λσ autour de μ, la probabilité est majorée par $$\frac{1}{\lambda^2}$$. · Si X a pour espérance μ et variance σ², la borne porte sur les écarts à μ.

Explication

La borne générale est 1/λ21/\lambda^2 et concerne l’écart à l’espérance μ, exprimé en multiples de σ. Pour le poids de Hamming sur 32 bits, la borne associée à λ≈4,24 est environ 0,056, et non 0,024. Une mesure des écarts à partir de σ seul ne précise pas leur centre.

36. Dans le modèle des boules et urnes, quelle est la probabilité que deux boules données entrent en collision ?

Cette probabilité vaut 1n\frac{1}{n}, où n désigne le nombre d’urnes.
La probabilité de collision est 1n2\frac{1}{n^2} pour deux boules données.
Cette probabilité dépend du nombre total de boules plutôt que des urnes.
Deux boules données ont une probabilité de collision égale à l’inverse du nombre d’urnes.
La probabilité de collision de deux boules données est 1m\frac{1}{m}.

Cette probabilité vaut $$\frac{1}{n}$$, où n désigne le nombre d’urnes. · Deux boules données ont une probabilité de collision égale à l’inverse du nombre d’urnes.

Explication

Deux boules choisissent indépendamment une urne parmi n, et la probabilité qu’elles choisissent la même urne est 1/n1/n. Elle n’est pas déterminée par 1/m1/m ou 1/n21/n^2, ni par le seul nombre de boules.

37. Pour m boules réparties dans n urnes, le nombre moyen de collisions entre paires vaut :

La moyenne vaut 1n2(m2)\frac{1}{n^2}\binom{m}{2} pour les paires de boules.
Le nombre moyen de collisions s’écrit 1n(m2)\frac{1}{n}\binom{m}{2}.
1m(n2)\frac{1}{m}\binom{n}{2}, en comptant les paires d’urnes.
1n(m2)\frac{1}{n}\binom{m}{2}, en comptant toutes les paires de boules.
La moyenne est le nombre de paires de boules multiplié par leur probabilité de collision.

Le nombre moyen de collisions s’écrit $$\frac{1}{n}\binom{m}{2}$$. · $$\frac{1}{n}\binom{m}{2}$$, en comptant toutes les paires de boules. · La moyenne est le nombre de paires de boules multiplié par leur probabilité de collision.

Explication

Chaque paire de boules a une probabilité de collision de 1/n1/n, et il existe (m2)\binom{m}{2} paires, d’où la formule. Les expressions utilisant les paires d’urnes, 1/m1/m ou 1/n21/n^2 ne donnent pas cette moyenne.

38. À propos de la probabilité qu’une urne donnée soit vide :

Pour une urne fixée, sa probabilité d’être vide est (1−1n)m\left(1-\frac{1}{n}\right)^m, approximativement.
Elle est approximativement (1e)m/n\left(\frac{1}{e}\right)^{m/n}.
Elle vaut (1−1m)n\left(1-\frac{1}{m}\right)^n.
Elle vaut (1−1n)m\left(1-\frac{1}{n}\right)^m.
Elle est approximativement n(1e)m/nn\left(\frac{1}{e}\right)^{m/n}.

Pour une urne fixée, sa probabilité d’être vide est $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^m$$, approximativement. · Elle est approximativement $$\left(\frac{1}{e}\right)^{m/n}$$. · Elle vaut $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^m$$.

Explication

Pour une urne donnée, chaque boule l’évite avec probabilité 1−1/n1-1/n, d’où la probabilité exacte (1−1/n)m\left(1-1/n\right)^m et l’approximation indiquée. Le facteur n concerne le nombre moyen d’urnes vides, non la probabilité pour une urne fixée.

39. Lorsque m=n, quelle majoration de la charge maximale est garantie avec la probabilité indiquée ?

La charge maximale est majorée par ln⁡nln⁡ln⁡n\frac{\ln n}{\ln\ln n} avec une probabilité 1−1n1-\frac{1}{n}.
Avec une probabilité 1−1n1-\frac{1}{n}, elle est majorée par 3ln⁡nln⁡ln⁡n\frac{3\ln n}{\ln\ln n}.
La charge maximale moyenne est majorée par 3ln⁡nln⁡ln⁡n\frac{3\ln n}{\ln\ln n} avec probabilité 1−1n1-\frac{1}{n}.
La borne de forte probabilité s’applique lorsque le nombre de boules égale celui des urnes.
Pour m=n, la majoration de forte probabilité comporte un facteur 3 au numérateur.

Avec une probabilité $$1-\frac{1}{n}$$, elle est majorée par $$\frac{3\ln n}{\ln\ln n}$$. · La borne de forte probabilité s’applique lorsque le nombre de boules égale celui des urnes. · Pour m=n, la majoration de forte probabilité comporte un facteur 3 au numérateur.

Explication

Lorsque m=n, la charge maximale est majorée par 3ln⁡n/ln⁡ln⁡n3\ln n/\ln\ln n avec probabilité 1−1/n1-1/n. La formule sans facteur 3 décrit plutôt l’ordre de grandeur de la charge maximale moyenne, et non cette borne de forte probabilité.

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Que désigne le cardinal d’un ensemble fini E ?

Le nombre d’éléments de E.

Quels éléments appartiennent au complémentaire de A dans E ?

Les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

Quelles propriétés caractérisent une partition d’un ensemble fini E ?

Ses sous-ensembles sont deux à deux disjoints et leur réunion est E.

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