Fiche de révision : Fonctions et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction et vocabulaire
2. Représentations des fonctions
3. Entiers naturels et suites numériques
4. Formules explicites et récurrence
5. Variations des fonctions
6. Variations des suites numériques

📖 1. Notion de fonction et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à chaque nombre réel x un unique nombre réel noté f(x), également noté y.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction f, f(x) est l’image de x et x est un antécédent de f(x) ; une valeur peut avoir plusieurs antécédents.

💡 Astuce mémo

L’image est la valeur obtenue ; l’antécédent est la valeur de départ.

📖 2. Représentations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative C_f d’une fonction f est constituée des points de coordonnées (x ; f(x)).

📝 Points essentiels

• Une fonction peut être représentée par :
  • une expression littérale
  • un algorithme
  • un graphique
  • un tableau de valeurs

💡 Astuce mémo

La courbe rassemble les points (x ; f(x)) : x à l’horizontale, f(x) à la verticale.

📖 3. Entiers naturels et suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : ℕ désigne les entiers naturels 0, 1, 2, 3, …, tandis que ℕ* désigne les entiers naturels strictement positifs 1, 2, 3, ….
• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ qui associe à tout entier naturel n son image u(n), appelée terme de la suite et aussi notée uₙ.

📝 Points essentiels

• Dans un repère, la représentation graphique des termes d’une suite est le nuage de points de coordonnées (n ; u(n)).

📖 4. Formules explicites et récurrence

📝 Points essentiels

📌 Une suite explicite exprime u(n) en fonction de n, tandis qu’une suite définie par récurrence donne un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

• Pour la suite définie par u(1) = 1 et u(n + 1) = (n + 1)u(n), le terme initial permet de calculer successivement u(2) = 2, u(3) = 6, u(4) = 24 et u(5) = 120.

📌 Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, il faut connaître le terme initial et les termes précédents, contrairement à une suite explicite où chaque terme se calcule directement à partir de n.

💡 Astuce mémo

Explicite : partir de n ; récurrence : repartir du terme précédent.

📖 5. Variations des fonctions

📝 Points essentiels

📌 Dans un tableau de variations, une flèche descendante indique que la fonction est décroissante, une flèche montante qu’elle est croissante et une flèche horizontale qu’elle est constante.

📌 Pour comparer les variations d’une fonction entre deux abscisses, on compare les images correspondantes : si x₁ < x₂ et f(x₁) > f(x₂), la fonction décroît entre ces valeurs, tandis que f(x₁) < f(x₂) indique une croissance entre elles.

💡 Astuce mémo

Flèche montante : fonction croissante ; flèche descendante : fonction décroissante.

📖 6. Variations des suites numériques

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite, si u(n + 1) − u(n) > 0 pour tout n considéré, la suite est strictement croissante ; si cette différence est négative, elle est strictement décroissante ; si elle est nulle, elle est constante.

💡 Astuce mémo

u(n+1) − u(n) positif → suite croissante ; négatif → suite décroissante.