Fiche de révision : Fonctions et taux de variation

📋 Plan du Cours

1. Modéliser avec une fonction
2. Définir une fonction
3. Lire une courbe fonctionnelle
4. Variations et signe
5. Pente et taux de variation

📖 1. Modéliser avec une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction comme modèle : Modélise la dépendance entre deux grandeurs et peut être définie par une formule algébrique ou une courbe.

📝 Points essentiels

• Pour un abonnement de transport à 30 € et un tarif préférentiel de 0,80 € par trajet, le tarif en fonction du nombre de trajets x est $T(x)=30+0{,}80x$.

💡 Astuce mémo

Grandeurs liées → fonction → modèle d’évolution

📖 2. Définir une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Association, à tout nombre x appartenant à D, d’un unique nombre y noté $y=f(x)$.
• Ensemble de définition : Ensemble des valeurs que peut prendre x.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction, y=f(x) est l’image de x et x est un antécédent de y.

Compléments

• Pour f définie sur ℝ par $f(x)=x^2+2x-8$, on obtient $f(3)=7$ et $f(2)=0$; ainsi 3 est un antécédent de 7, tandis que 2 est un antécédent de 0.

💡 Astuce mémo

x est l’antécédent, f(x) est l’image

📖 3. Lire une courbe fonctionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points du plan repéré dont les coordonnées sont de la forme $(x;f(x))$.

★ À maîtriser

• Sur la courbe représentative, l’abscisse d’un point M est l’antécédent x et son ordonnée est l’image f(x).

Compléments

• Pour la fonction g représentée, son ensemble de définition est l’intervalle [-4 ; 5], l’image de -2 est 5 et les antécédents de 3 sont -4, 1 et 5.

💡 Astuce mémo

Sur la courbe, l’abscisse donne x et l’ordonnée donne f(x)

📖 4. Variations et signe

★ À maîtriser

• La lecture du signe consiste à déterminer, sur chaque intervalle, si la fonction est négative, nulle ou positive, puis à reporter ces informations dans un tableau de signe.

Compléments

• La lecture des variations consiste à relever les valeurs de la fonction aux abscisses remarquables, puis à les reporter dans un tableau de variations.

• Dans l’exemple du tableau de signe, h(x) est négatif avant -4, nul en -4, positif entre -4 et -1, nul en -1, nul en 2, puis positif après 2 jusqu’à 5.

📖 5. Pente et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur m d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées passant par A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Taux de variation : Pour une fonction f définie sur un intervalle et deux réels distincts x_1 et x_2, le taux de variation entre x_1 et x_2 est $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

★ À maîtriser

📌 Le taux de variation entre deux abscisses correspond au coefficient directeur de la sécante à la courbe passant par les deux points associés.

📌 Si une fonction est croissante sur un intervalle I, son taux de variation entre deux réels distincts de I est positif; si elle est décroissante sur I, ce taux est négatif.

Compléments

• Pour A(1 ; 2) et B(5 ; 5), le coefficient directeur vaut $m=\frac{5-2}{5-1}=\frac34$.

• Pour $f(x)=2x^2-6x-6$, le taux de variation entre -2 et 1 vaut -8, tandis qu’entre 2 et 4 il vaut 6.

💡 Astuce mémo

Pente d’une droite : constante ; taux d’une fonction : dépend de l’intervalle

📊 Tableaux de synthèse

Croissance et taux de variation