QCM : Fonctions hyperboliques et équations différentielles — 67 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une application de EE vers FF ?

Elle associe à chaque élément de EE une unique image dans FF.
Elle associe certains éléments de EE à des éléments extérieurs à FF.
Elle associe à chaque élément de EE au moins deux images dans FF.
Elle associe à chaque élément de FF un unique antécédent dans EE.

Elle associe à chaque élément de $$E$$ une unique image dans $$F$$.

Explication

Une application attribue à chaque élément de l’ensemble de départ EE un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée FF. Une association pouvant donner plusieurs images à un même élément correspondrait à une relation plus générale, pas à une application.

2. Que représente l’ensemble Im⁡f\operatorname{Im} f d’une application f:E→Ff:E\to F ?

Les éléments de FF qui possèdent au moins un antécédent dans EE.
Les éléments de EE qui possèdent un unique antécédent dans FF.
Les éléments de EE qui possèdent au moins une image dans FF.
Tous les éléments de FF, qu’ils soient atteints ou non par ff.

Les éléments de $$F$$ qui possèdent au moins un antécédent dans $$E$$.

Explication

L’image regroupe les valeurs de FF effectivement obtenues sous la forme f(x)f(x) pour au moins un x∈Ex\in E. L’ensemble d’arrivée FF peut contenir des éléments qui ne sont l’image d’aucun élément de EE.

3. Une application f:E→Ff:E\to F est-elle bijective lorsqu’elle vérifie quelle condition ?

Deux éléments distincts de EE peuvent avoir la même image dans FF.
Chaque élément de EE possède une image distincte dans un sous-ensemble de FF.
Chaque élément de FF possède au moins un antécédent dans EE.
Chaque élément de FF possède un unique antécédent dans EE.

Chaque élément de $$F$$ possède un unique antécédent dans $$E$$.

Explication

La bijectivité combine l’injectivité et la surjectivité : chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent. La simple existence d’au moins un antécédent caractérise la surjectivité, sans garantir l’unicité.

4. Pour calculer (g∘f)(x)(g\circ f)(x) lorsque f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, dans quel ordre applique-t-on les applications ?

On applique d’abord ff, puis gg.
On applique d’abord gg, puis ff.
On additionne les valeurs de f(x)f(x) et de g(x)g(x).
On applique simultanément ff et gg à l’élément xx.

On applique d’abord $$f$$, puis $$g$$.

Explication

Par définition, (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)) : la valeur de xx passe d’abord par ff, puis par gg. L’ordre inverse correspondrait à une autre composée, lorsque celle-ci est définie.

5. Quelle condition doit satisfaire une loi de composition interne sur un ensemble EE ?

Le résultat de deux éléments de EE appartient encore à EE.
Le résultat de deux éléments de EE appartient nécessairement à un ensemble extérieur.
La loi associe à chaque élément de EE un résultat différent dans EE.
Chaque élément de EE possède une image unique dans un autre ensemble.

Le résultat de deux éléments de $$E$$ appartient encore à $$E$$.

Explication

Une loi interne conserve dans EE le résultat obtenu à partir de deux éléments de EE. Par exemple, la soustraction n’est pas interne sur N\mathbb{N} puisque certains résultats, comme 2−52-5, ne sont pas naturels.

6. Quelles propriétés suffisent pour qu’une loi interne définisse un groupe abélien ?

Injectivité, surjectivité, bijectivité et existence d’une image.
Fermeture, distributivité, positivité et existence d’un minimum.
Associativité, élément neutre, opposé pour chaque élément et commutativité.
Réflexivité, symétrie, transitivité et existence d’un plus grand élément.

Associativité, élément neutre, opposé pour chaque élément et commutativité.

Explication

Un groupe exige l’associativité, un élément neutre et un opposé pour chaque élément ; il est abélien lorsque la loi est en plus commutative. Les propriétés d’ordre ou celles des applications ne définissent pas cette structure algébrique.

7. Lequel des nombres suivants est irrationnel ?

2\sqrt{2}
0,250,25
−5-5
34\frac{3}{4}

$$\sqrt{2}$$

Explication

Un irrationnel est un réel qui ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers, et 2\sqrt{2} en est un exemple. Les autres nombres proposés sont rationnels, car ils s’écrivent comme des quotients d’entiers.

8. Quelle est la valeur de la partie entière E(−3,2)E(-3,2) ?

33
44
−3-3
−4-4

$$-4$$

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au réel considéré ; pour −3,2-3,2, cet entier est −4-4. Choisir −3-3 revient à prendre l’entier situé au-dessus du nombre, ce qui ne correspond pas à la définition.

9. Comment définit-on une suite de nombres réels ?

Comme une application de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} sans terme général.
Comme un ensemble fini de nombres réels sans ordre d’indices.
Comme une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}.
Comme une application de R\mathbb{R} dans N\mathbb{N}.

Comme une application de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{R}$$.

Explication

Une suite réelle associe à chaque entier naturel nn un réel unu_n ; elle est donc une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}. L’ordre des indices est essentiel, ce qui la distingue d’un ensemble non ordonné de valeurs.

10. Quelle condition exprime la convergence de la suite (un)(u_n) vers ℓ\ell ?

Pour tout NN, il existe un terme vérifiant ∣un−ℓ∣>N|u_n-\ell|>N.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe NN tel que n>Nn>N entraîne ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon.
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que tout terme vérifie ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon.
La suite atteint la valeur ℓ\ell dès qu’un indice naturel est suffisamment grand.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N$$ tel que $$n>N$$ entraîne $$|u_n-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence signifie qu’à partir d’un certain rang dépendant de ε\varepsilon, tous les termes sont à une distance inférieure à ε\varepsilon de ℓ\ell. Atteindre exactement ℓ\ell n’est pas requis pour converger vers cette limite.

11. Si une suite converge vers ℓ\ell, vers quelle limite converge toute suite extraite de cette suite ?

Vers la même limite ℓ\ell.
Vers une limite opposée à ℓ\ell lorsque les indices sont espacés.
Vers une limite choisie selon les indices retenus.
Vers la moyenne des termes conservés.

Vers la même limite $$\ell$$.

Explication

Toute suite extraite d’une suite convergente conserve la même limite que la suite initiale. Le choix d’indices strictement croissants peut modifier la vitesse d’approche, mais pas la limite.

12. Que peut-on affirmer d’une suite convergente ?

Elle est bornée.
Elle est croissante.
Elle est strictement positive.
Elle est périodique.

Elle est bornée.

Explication

Toute suite convergente est nécessairement bornée, même si elle n’est ni monotone ni positive. La convergence n’implique donc pas la croissance ni la périodicité.

13. Laquelle de ces conditions caractérise une suite croissante ?

un=un+1u_n=u_{n+1} pour tout nn
un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour tout nn
un<un+1u_n<u_{n+1} pour un certain nn
un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout nn

$$u_n\leq u_{n+1}$$ pour tout $$n$$

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au suivant. La condition inverse caractérise une suite décroissante, tandis qu’une seule comparaison ne suffit pas.

14. Quelle propriété garantit la convergence d’une suite réelle croissante ?

Elle est bornée par zéro.
Elle est majorée.
Elle est strictement positive.
Elle est minorée.

Elle est majorée.

Explication

Une suite croissante et majorée converge d’après le théorème de convergence monotone. Le fait d’être minorée ou positive ne suffit pas à assurer sa convergence.

15. Si un→3u_n\to 3 et vn→−5v_n\to -5, vers quelle limite converge la suite un+vnu_n+v_n ?

3−5\frac{3}{-5}
−15-15
−2-2
88

$$-2$$

Explication

La limite d’une somme est la somme des limites, donc un+vn→3+(−5)=−2u_n+v_n\to 3+(-5)=-2. Le produit ou le quotient des limites correspondrait à d’autres opérations, pas à une addition.

16. Dans une paire de suites adjacentes, quelle configuration de monotonie est correcte ?

Les deux suites sont croissantes.
La première est décroissante et la seconde croissante.
La première est croissante et la seconde décroissante.
Les deux suites sont décroissantes.

La première est croissante et la seconde décroissante.

Explication

Deux suites adjacentes sont ordonnées de façon à ce que la première soit croissante et la seconde décroissante, avec une différence qui tend vers zéro. La monotonie dans la configuration inverse ne correspond pas à la définition donnée.

17. Que peut-on conclure pour deux suites adjacentes ?

Elles ont des limites nécessairement distinctes.
Elles sont seulement bornées sans être convergentes.
Elles convergent vers une même limite.
Elles divergent vers deux limites opposées.

Elles convergent vers une même limite.

Explication

Deux suites adjacentes convergent toutes deux vers une limite commune. Leurs variations opposées et l’écart qui tend vers zéro permettent cette conclusion, contrairement à la simple monotonie.

18. Quelle condition définit une suite de Cauchy ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, chaque terme unu_n est à distance au plus ε\varepsilon de zéro dès que n≥Nn\geq N.
Les termes successifs vérifient ∣un+1−un∣≤ε|u_{n+1}-u_n|\leq\varepsilon pour tout nn.
La suite est croissante et ses termes sont majorés par un réel fixe.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, les termes umu_m et unu_n sont à distance au plus ε\varepsilon dès que m,n≥Nm,n\geq N.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, les termes $$u_m$$ et $$u_n$$ sont à distance au plus $$\varepsilon$$ dès que $$m,n\geq N$$.

Explication

Une suite de Cauchy possède des termes qui deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang. La proximité avec zéro, entre termes successifs ou la monotonie majorée décrit d’autres propriétés.

19. Dans R\mathbb{R}, quelle relation existe entre convergence et propriété de Cauchy ?

Toute suite de Cauchy est divergente si elle n’est pas monotone.
Une suite converge dès qu’elle est bornée, même sans autre condition.
Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.
La propriété de Cauchy concerne uniquement les suites croissantes.

Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Explication

Dans les réels, la complétude affirme qu’une suite converge exactement lorsqu’elle est de Cauchy. La bornitude ou la monotonie seules ne suffisent pas à établir cette équivalence.

20. Quelle donnée caractérise une suite récurrente d’ordre un ?

Une valeur limite et une relation un=f(un+1)u_n=f(u_{n+1}).
Un terme initial et une relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).
Deux termes initiaux et une relation un+1=f(un−1,un)u_{n+1}=f(u_{n-1},u_n).
Un terme initial et une formule directe de unu_n en fonction de nn.

Un terme initial et une relation $$u_{n+1}=f(u_n)$$.

Explication

Une suite récurrente d’ordre un est construite à partir d’un terme initial et du seul terme précédent par la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). Une relation faisant intervenir deux termes antérieurs relève d’un ordre supérieur.

21. Pour quelle condition sur KK le critère de Lipschitz garantit-il la convergence vers un point fixe ?

0<K<10<K<1
K=1K=1
K<0K<0
K>1K>1

$$0<K<1$$

Explication

Lorsque 0<K<10<K<1, l’application est contractante et toute suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) converge vers le point fixe. Pour K≥1K\geq1, cette proposition ne peut pas être appliquée.

22. Pour une suite de terme général unu_n, que désigne la série associée ?

La somme infinie obtenue sans calculer de sommes partielles
La limite éventuelle lim⁡n→∞un\lim_{n\to\infty}u_n
La suite des sommes partielles Sn=∑i=0nuiS_n=\sum_{i=0}^{n}u_i
La suite des termes unu_n considérée comme une limite

La suite des sommes partielles $$S_n=\sum_{i=0}^{n}u_i$$

Explication

Une série est définie comme la suite de ses sommes partielles, où SnS_n contient les termes de u0u_0 à unu_n. La suite unu_n est le terme général de la série, et non la série elle-même.

23. Quand une série de terme général unu_n converge-t-elle, et que vaut alors sa somme ?

Lorsque SnS_n devient nul après un nombre fini de termes
Lorsque chaque somme partielle vaut la même valeur finie
Lorsque SnS_n converge, avec S=lim⁡n→∞SnS=\lim_{n\to\infty}S_n
Lorsque unu_n converge, avec S=lim⁡n→∞unS=\lim_{n\to\infty}u_n

Lorsque $$S_n$$ converge, avec $$S=\lim_{n\to\infty}S_n$$

Explication

La convergence d’une série signifie que la suite de ses sommes partielles SnS_n possède une limite, qui est la somme de la série. La convergence de unu_n vers une valeur ne suffit pas à définir la somme de la série.

24. Pour quelle condition sur le réel rr la série géométrique ∑n=0∞rn\sum_{n=0}^{\infty}r^n converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

Elle converge si r≠1r\neq1 et sa somme vaut 11−r\frac{1}{1-r}
Elle converge si ∣r∣>1|r|>1 et sa somme vaut 1r−1\frac{1}{r-1}
Elle converge si r<1r<1 et sa somme vaut 11+r\frac{1}{1+r}
Elle converge si ∣r∣<1|r|<1 et sa somme vaut 11−r\frac{1}{1-r}

Elle converge si $$|r|<1$$ et sa somme vaut $$\frac{1}{1-r}$$

Explication

La série géométrique converge lorsque la valeur absolue de sa raison est strictement inférieure à 1, et sa somme est alors 11−r\frac{1}{1-r}. La condition r≠1r\neq1 permet la formule des sommes partielles, mais ne garantit pas la convergence.

25. Quelle condition doit nécessairement vérifier le terme général unu_n si la série ∑un\sum u_n converge ?

Il doit rester positif à partir d’un certain rang
Il doit tendre vers zéro lorsque nn tend vers l’infini
Il doit avoir une somme partielle nulle à chaque rang
Il doit être décroissant dès le premier terme

Il doit tendre vers zéro lorsque $$n$$ tend vers l’infini

Explication

La convergence d’une série impose que son terme général vérifie un→0u_n\to0. La positivité ou la décroissance ne sont pas nécessaires dans toutes les séries convergentes.

26. Quel est le terme général d’une série de Riemann d’exposant réel α\alpha ?

1nα\frac{1}{n^\alpha}
nαn^\alpha
rnr^n
1αn\frac{1}{\alpha^n}

$$\frac{1}{n^\alpha}$$

Explication

Une série de Riemann est construite avec le terme général 1nα\frac{1}{n^\alpha} et ses sommes partielles commencent à l’indice 1. Le terme rnr^n caractérise une série géométrique.

27. Pour quelle valeur de l’exposant α\alpha la série de Riemann ∑n=1∞1nα\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} converge-t-elle ?

Pour α>1\alpha>1
Pour α≥0\alpha\geq0
Pour α≥1\alpha\geq1
Pour α<1\alpha<1

Pour $$\alpha>1$$

Explication

La série de Riemann converge lorsque α\alpha est strictement supérieur à 1. Le cas limite α=1\alpha=1 est divergent et appartient donc au régime α≤1\alpha\leq1.

28. Deux séries à termes réels positifs ont des termes équivalents, un∼vnu_n\sim v_n. Que peut-on conclure sur leur convergence ?

La première converge et la seconde diverge
Elles convergent ou divergent simultanément
Elles ont nécessairement la même somme
Leurs termes deviennent nécessairement égaux

Elles convergent ou divergent simultanément

Explication

Pour des termes positifs équivalents, le critère d’équivalence permet de transférer la convergence ou la divergence d’une série à l’autre. L’équivalence ne garantit pas que les sommes soient égales ni que les termes coïncident.

29. Une suite positive vérifie un∼Anαu_n\sim\frac{A}{n^\alpha} avec A>0A>0. Dans quel cas la série ∑un\sum u_n converge-t-elle ?

Lorsque α<1\alpha<1
Lorsque A<1A<1
Lorsque α>1\alpha>1
Lorsque α≥1\alpha\geq1

Lorsque $$\alpha>1$$

Explication

L’équivalence avec Anα\frac{A}{n^\alpha} permet de comparer la série à une série de Riemann, dont le seuil de convergence est α>1\alpha>1. La valeur positive de AA ne modifie pas ce seuil.

30. Quelle formulation exprime la limite lim⁡x→af(x)=l\lim_{x\to a}f(x)=l ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que 0<∣x−a∣<η0<|x-a|<\eta entraîne ∣f(x)−l∣<ε|f(x)-l|<\varepsilon
La valeur f(a)f(a) est égale à ll dès que xx est proche de aa
Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que tout xx vérifie ∣f(x)−l∣<ε|f(x)-l|<\varepsilon
Pour tout η>0\eta>0, il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣x−a∣<ε|x-a|<\varepsilon entraîne ∣f(x)−l∣<η|f(x)-l|<\eta

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\eta>0$$ tel que $$0<|x-a|<\eta$$ entraîne $$|f(x)-l|<\varepsilon$$

Explication

La définition impose que les valeurs de f(x)f(x) soient arbitrairement proches de ll lorsque xx est suffisamment proche de aa, avec x≠ax\neq a. Elle ne requiert donc pas que la fonction soit définie en aa ni que f(a)=lf(a)=l.

31. Quelles valeurs de xx sont utilisées pour définir la limite à droite de ff en aa ?

Des valeurs satisfaisant a−η<x<aa-\eta<x<a
Des valeurs satisfaisant ∣x−a∣<η|x-a|<\eta, y compris x=ax=a
Des valeurs satisfaisant a<x<a+ηa<x<a+\eta
Des valeurs satisfaisant x<a−ηx<a-\eta

Des valeurs satisfaisant $$a<x<a+\eta$$

Explication

La limite à droite examine les points situés immédiatement au-dessus de aa, dans l’intervalle ]a,a+η[]a,a+\eta[ . L’intervalle ]a−η,a[]a-\eta,a[ correspond à l’approche par la gauche.

32. À quelle condition une fonction admet-elle une limite en aa ?

Sa limite à gauche existe, même si celle de droite n’existe pas
Sa limite à droite existe, même si celle de gauche est différente
La fonction est définie en aa et ses deux limites sont finies
Ses limites à droite et à gauche existent et sont égales

Ses limites à droite et à gauche existent et sont égales

Explication

Une limite bilatérale en aa existe exactement lorsque les deux limites latérales existent et coïncident. La définition de la limite n’exige pas que la fonction soit définie en aa.

33. Quelle propriété caractérise la limite de ff en aa au moyen des suites ?

Pour toute suite xn→ax_n\to a avec xn≠ax_n\neq a, la suite f(xn)f(x_n) converge vers la même limite
Toute suite xnx_n constante en aa suffit à déterminer la limite de ff
Il existe une suite xn→ax_n\to a telle que f(xn)f(x_n) converge vers une limite quelconque
Pour toute suite xn→ax_n\to a, les valeurs f(xn)f(x_n) doivent être égales à f(a)f(a)

Pour toute suite $$x_n\to a$$ avec $$x_n\neq a$$, la suite $$f(x_n)$$ converge vers la même limite

Explication

La caractérisation séquentielle exige que toute suite approchant aa sans prendre la valeur aa produise des images convergeant vers la même limite. Une seule suite ne suffit pas, et cette propriété ne demande pas que f(a)f(a) soit défini.

34. Si f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) au voisinage de aa, que peut-on conclure lorsque ff et gg admettent respectivement les limites α\alpha et β\beta en aa ?

On a nécessairement α<β\alpha<\beta.
On a nécessairement α≤β\alpha\leq\beta.
On a nécessairement α=β\alpha=\beta.
On ne peut comparer α\alpha et β\beta.

On a nécessairement $$\alpha\leq\beta$$.

Explication

L’inégalité entre les fonctions au voisinage de aa se transmet à leurs limites, ce qui donne α≤β\alpha\leq\beta. L’inégalité stricte ou l’égalité ne sont pas imposées par l’hypothèse, et la comparaison reste donc possible.

35. Si f1(x)≤f(x)≤f2(x)f_1(x)\leq f(x)\leq f_2(x) au voisinage de aa et si f1f_1 et f2f_2 tendent toutes deux vers ll, vers quelle limite tend ff ?

La limite de ff ne peut pas être déterminée.
Vers la plus grande des limites encadrantes.
Vers une limite située entre les deux fonctions encadrantes.
Vers ll, par le théorème des gendarmes.

Vers $$l$$, par le théorème des gendarmes.

Explication

Le théorème des gendarmes impose à la fonction intermédiaire la même limite que les deux fonctions encadrantes lorsqu’elles ont une limite commune ll. Une simple majoration, sans encadrement inférieur correspondant, ne suffit pas pour appliquer ce théorème.

36. Si lim⁡x→af(x)=α\lim_{x\to a}f(x)=\alpha et lim⁡x→ag(x)=β\lim_{x\to a}g(x)=\beta, quelle égalité est directement valable pour la limite du produit ?

lim⁡x→a(f(x)g(x))=α+β\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\alpha+\beta
lim⁡x→a(f(x)g(x))=β−α\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\beta-\alpha
lim⁡x→a(f(x)g(x))=αβ\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\alpha\beta
lim⁡x→a(f(x)g(x))=α/β\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\alpha/\beta

$$\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\alpha\beta$$

Explication

La règle du produit donne directement le produit des limites, soit αβ\alpha\beta. Le quotient demande en plus que le dénominateur ait une limite non nulle, tandis que la somme correspond à une autre opération.

37. Quelle condition caractérise lim⁡x→af(x)=+∞\lim_{x\to a}f(x)=+\infty ?

Pour tout réel AA, il existe η>0\eta>0 tel que 0<∣x−a∣<η0<|x-a|<\eta implique f(x)>Af(x)>A.
La fonction possède une valeur infinie définie directement en aa.
Pour tout réel AA, il existe η>0\eta>0 tel que ∣x−a∣<η|x-a|<\eta implique f(x)<Af(x)<A.
Il existe un réel AA tel que 0<∣x−a∣<η0<|x-a|<\eta implique f(x)>Af(x)>A.

Pour tout réel $$A$$, il existe $$\eta>0$$ tel que $$0<|x-a|<\eta$$ implique $$f(x)>A$$.

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie que f(x)f(x) dépasse tout seuil réel AA dès que xx est suffisamment proche de aa, avec x≠ax\neq a. Une condition portant sur un seul seuil ou une valeur attribuée en aa ne décrit pas cette définition.

38. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction ff en aa ?

La fonction possède une dérivée en aa.
La limite de ff en aa existe et vaut f(a)f(a).
La fonction est bornée dans un voisinage de aa.
La limite de ff en aa existe, quelle que soit sa valeur par rapport à f(a)f(a).

La limite de $$f$$ en $$a$$ existe et vaut $$f(a)$$.

Explication

La continuité en aa exige simultanément l’existence de la limite et son égalité avec la valeur f(a)f(a). Une limite différente de f(a)f(a) peut exister sans que la fonction soit continue, et la bornitude ou la dérivabilité ne constituent pas la définition demandée.

39. Dans quelle situation la fonction 1/g1/g est-elle continue en aa ?

Lorsque gg est continue en aa et que g(a)=0g(a)=0.
Lorsque gg admet une limite en aa, même si elle vaut zéro.
Lorsque gg est bornée près de aa, sans autre condition.
Lorsque gg est continue en aa et que g(a)≠0g(a)\neq0.

Lorsque $$g$$ est continue en $$a$$ et que $$g(a)\neq0$$.

Explication

L’inverse d’une fonction continue reste continue au point considéré lorsque la valeur du dénominateur y est non nulle. Si g(a)=0g(a)=0, l’expression 1/g1/g n’est pas définie en aa, même si gg est continue.

40. Soit ff continue sur un intervalle II, avec a<ba<b dans II et f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Il existe c∈]a,b[c\in]a,b[ tel que f′(c)=0f'(c)=0.
Il existe c∈]a,b[c\in]a,b[ tel que f(c)=0f(c)=0.
La fonction atteint son maximum en aa ou en bb.
La fonction est strictement croissante sur [a,b][a,b].

Il existe $$c\in]a,b[$$ tel que $$f(c)=0$$.

Explication

Des valeurs de signes opposés aux extrémités, associées à la continuité, garantissent un passage par zéro en un point intérieur cc. Les autres conclusions concernent la dérivée, la monotonie ou les extrema et ne découlent pas de ces seules hypothèses.

41. Que peut-on affirmer pour une fonction continue sur un segment fermé borné [a,b][a,b] ?

Elle est uniformément croissante et son image est nécessairement tout R\mathbb{R}.
Elle possède une dérivée en chaque point et son image est un intervalle ouvert.
Elle atteint un minimum et un maximum, et son image est un segment fermé borné.
Elle atteint un seul extremum, situé à l’une des deux extrémités.

Elle atteint un minimum et un maximum, et son image est un segment fermé borné.

Explication

La continuité sur un segment fermé borné assure l’existence d’un minimum et d’un maximum, tandis que l’image est elle-même un segment fermé borné. Elle n’impose ni dérivabilité, ni monotonie, ni unicité d’un extremum.

42. Comment définit-on le prolongement par continuité de ff en aa lorsque lim⁡x→af(x)=l\lim_{x\to a}f(x)=l existe ?

On attribue à f~(a)\tilde f(a) une valeur arbitraire et on conserve les autres valeurs.
On pose f~(x)=l\tilde f(x)=l pour tout xx du domaine.
On pose f~(x)=f(x)\tilde f(x)=f(x) pour x≠ax\neq a et f~(a)=l\tilde f(a)=l.
On supprime le point aa du domaine afin d’éviter toute discontinuité.

On pose $$\tilde f(x)=f(x)$$ pour $$x\neq a$$ et $$\tilde f(a)=l$$.

Explication

Le prolongement conserve les valeurs initiales hors de aa et attribue à ce point la limite ll, ce qui rend la fonction continue en aa. Une valeur arbitraire ne garantit pas la continuité, et remplacer toutes les valeurs ou supprimer le point ne constitue pas ce prolongement.

43. Quelle propriété définit la continuité uniforme de f:Ω→Rf:\Omega\to\mathbb{R} sur Ω\Omega ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 indépendant de x,yx,y tel que ∣x−y∣<η|x-y|<\eta implique ∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon.
Pour tout x∈Ωx\in\Omega, il existe ηx>0\eta_x>0 tel que les valeurs de ff soient proches près de xx.
Il existe un même ε>0\varepsilon>0 qui convient à toutes les paires de points de Ω\Omega.
La fonction prend des valeurs proches dès que les points sont éloignés d’une distance supérieure à η\eta.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\eta>0$$ indépendant de $$x,y$$ tel que $$|x-y|<\eta$$ implique $$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$$.

Explication

La continuité uniforme utilise un seuil η\eta choisi en fonction de ε\varepsilon, mais indépendant des points xx et yy. La continuité simple autorise en revanche un seuil dépendant du point, ce qui correspond à la deuxième proposition.

44. Quelle relation générale existe entre continuité uniforme et continuité ?

Les deux notions sont équivalentes sur tout domaine.
Toute fonction continue est uniformément continue, mais une fonction uniformément continue peut être discontinue.
Toute fonction uniformément continue est continue, mais une fonction continue peut ne pas être uniformément continue.
Une fonction uniformément continue est bornée, tandis qu’une fonction continue ne l’est pas.

Toute fonction uniformément continue est continue, mais une fonction continue peut ne pas être uniformément continue.

Explication

La continuité uniforme fournit un contrôle valable avec le même seuil spatial pour tous les points, donc elle entraîne la continuité. La réciproque est fausse en général, car une fonction continue peut nécessiter des seuils dépendant de la position.

45. Que peut-on conclure pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b][a,b] ?

Elle y est nécessairement bornée sur tout intervalle ouvert contenant [a,b][a,b].
Elle y est nécessairement dérivable.
Elle y est uniformément continue.
Elle y possède une limite infinie aux deux extrémités.

Elle y est uniformément continue.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue sur cet intervalle. Cette hypothèse ne garantit pas la dérivabilité, ni un comportement particulier sur un intervalle plus grand, ni des limites infinies aux extrémités.

46. Si une fonction est strictement décroissante sur un intervalle, quelle propriété possède sa fonction réciproque sur l’image de cet intervalle ?

Elle est constante sur cette image
Elle est strictement décroissante
Elle est strictement croissante
Elle n’est pas définie sur cette image

Elle est strictement décroissante

Explication

Une fonction strictement monotone est bijective sur son image, et sa réciproque conserve le même sens de monotonie. Ainsi, la réciproque d’une fonction décroissante reste décroissante, contrairement à l’idée qu’elle deviendrait croissante.

47. Si une fonction est continue et strictement croissante sur un intervalle ouvert Ω, quelles propriétés possède sa réciproque sur Ω′=f(Ω) ?

Elle est définie, continue et strictement croissante
Elle est définie, discontinue et strictement croissante
Elle est continue, mais strictement décroissante
Elle est définie, continue et constante

Elle est définie, continue et strictement croissante

Explication

La continuité et la stricte monotonie de la fonction sur Ω garantissent que sa réciproque est définie, continue et strictement monotone sur son image, avec le même sens de variation. Elle reste donc croissante, et non décroissante.

48. Que désigne une suite de fonctions définies sur un ensemble D ?

Une seule fonction de D vers ℝ dépendant d’un paramètre réel
Une famille de fonctions de D vers ℝ indexées par des entiers
Une famille de nombres réels indexés par les points de D
Une somme finie de fonctions définies sur D

Une famille de fonctions de D vers ℝ indexées par des entiers

Explication

Une suite de fonctions associe à chaque indice entier n une application fn:D→Rf_n:D\to\mathbb R. Elle ne se réduit donc pas à une fonction unique dépendant d’un paramètre réel.

49. Comment définit-on la série de fonctions de terme général fnf_n ?

Comme la suite des sommes partielles Sn(x)=∑k=0nfk(x)S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f_k(x)
Comme la suite des produits partiels Pn(x)=∏k=0nfk(x)P_n(x)=\prod_{k=0}^{n}f_k(x)
Comme la dérivée de chaque fonction fnf_n sur son domaine
Comme la limite ponctuelle de la suite fn(x)f_n(x)

Comme la suite des sommes partielles $$S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f_k(x)$$

Explication

Une série de fonctions est étudiée à travers sa suite de sommes partielles, donnée par Sn(x)=∑k=0nfk(x)S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f_k(x). Une suite de produits partiels décrit une autre construction et ne définit pas cette série.

50. Dans la convergence simple de fnf_n vers ff sur D, quelle condition doit être satisfaite ?

Les sommes partielles de fnf_n convergent uniformément vers ff
Pour chaque x fixé, fn(x)f_n(x) converge vers f(x)f(x)
Un même rang N convient à tous les points x de D
Les fonctions fnf_n sont bornées par une constante indépendante de n

Pour chaque x fixé, $$f_n(x)$$ converge vers $$f(x)$$

Explication

La convergence simple exige que, pour tout point x de D, la suite numérique fn(x)f_n(x) converge vers f(x)f(x). Le rang à partir duquel l’approximation est valable peut dépendre de x, ce qui la distingue de la convergence uniforme.

51. Quelle condition caractérise la convergence uniforme de fnf_n vers ff sur D ?

La quantité fn(x)−f(x)f_n(x)-f(x) est nulle pour tout n assez grand
La suite fnf_n converge vers f seulement sur un sous-ensemble fini de D
Pour chaque x∈D, un rang N différent peut être choisi
Pour tout ε>0, un même N convient à tout x∈D

Pour tout ε>0, un même N convient à tout x∈D

Explication

La convergence uniforme impose que, pour tout ε>0, il existe un rang N indépendant de x tel que ∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)|<ε pour tout n>N et tout x∈D. La possibilité de choisir un rang dépendant de x correspond à la convergence simple.

52. Quelle expression définit la dérivée de f au point a lorsqu’elle existe ?

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
f′(a)=lim⁡h→0f(a)−f(a−h)af'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{a}
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)+f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)+f(a)}{h}
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)f(a)f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{f(a)}

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Explication

La dérivée en a est la limite du taux d’accroissement entre a et a+h, soit f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h} lorsque h tend vers zéro. Les autres expressions ne représentent pas ce taux d’accroissement.

53. Si f et g sont dérivables en a et si g(a)≠0, quelle formule donne la dérivée de leur quotient en a ?

(fg)′(a)=f′(a)g′(a)−f(a)g(a)g(a)2\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g'(a)-f(a)g(a)}{g(a)^2}
(fg)′(a)=f′(a)g(a)−f(a)g′(a)g(a)2\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}
(fg)′(a)=f(a)g′(a)−f′(a)g(a)g(a)\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f(a)g'(a)-f'(a)g(a)}{g(a)}
(fg)′(a)=f′(a)+g′(a)g(a)\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)+g'(a)}{g(a)}

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$$

Explication

La règle du quotient combine les dérivées au numérateur selon f′(a)g(a)−f(a)g′(a)f'(a)g(a)-f(a)g'(a) et divise par g(a)2g(a)^2, avec la condition g(a)≠0. La formule comportant un dénominateur g(a)g(a) et un ordre inversé ne respecte pas cette règle.

54. Si g est dérivable en a et f est dérivable en g(a), quelle est la dérivée de la composée f∘g en a ?

(f∘g)′(a)=f′(g(a))+g′(a)(f\circ g)'(a)=f'(g(a))+g'(a)
(f∘g)′(a)=f′(a)g′(a)(f\circ g)'(a)=f'(a)g'(a)
(f∘g)′(a)=f′(g(a))g′(a)(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)
(f∘g)′(a)=f′(g′(a))g(a)(f\circ g)'(a)=f'(g'(a))g(a)

$$(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)$$

Explication

La règle de la chaîne évalue la dérivée de f au point intermédiaire g(a), puis la multiplie par g'(a). Utiliser f'(a) néglige le changement de variable introduit par la fonction g.

55. Que peut-on affirmer au sujet de la dérivée en un point intérieur où une fonction dérivable possède un extremum local ?

Sa dérivée s’annule en ce point
Sa fonction devient constante sur tout l’intervalle
Sa dérivée est strictement positive en ce point
Sa dérivée est strictement négative en ce point

Sa dérivée s’annule en ce point

Explication

Le théorème de Fermat affirme qu’un extremum local situé à l’intérieur de l’intervalle de définition entraîne l’annulation de la dérivée en ce point. Cette condition est nécessaire, mais elle ne signifie pas que la fonction soit constante autour du point.

56. Dans quelles conditions le théorème de Rolle garantit-il l’existence d’un point c∈]a,b[c\in]a,b[ tel que f′(c)=0f'(c)=0 ?

Lorsque f est dérivable sur [a,b] et vérifie f'(a)=f'(b)
Lorsque f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b)
Lorsque f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)≠f(a)\ne f(b)
Lorsque f est continue sur ]a,b[, dérivable sur [a,b] et vérifie f(a)=f(b)

Lorsque f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b)

Explication

Le théorème de Rolle exige la continuité sur [a,b], la dérivabilité sur ]a,b[ et l’égalité des valeurs aux extrémités. La formule des accroissements finis ne requiert pas cette égalité, ce qui distingue les deux résultats.

57. Si une fonction f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, quelle relation existe-t-il pour un certain c∈]a,b[c\in]a,b[ ?

f(b)−f(a)=(b−a)f′′(c)f(b)-f(a)=(b-a)f''(c)
f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)
f(b)+f(a)=(b−a)f′(c)f(b)+f(a)=(b-a)f'(c)
f(b)−f(a)=(a+b)f′(c)f(b)-f(a)=(a+b)f'(c)

$$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$$

Explication

Le théorème des accroissements finis relie la variation globale de f à sa dérivée en un point intérieur par f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)f(b)-f(a)=(b-a)f'(c). Les autres relations utilisent une somme, un mauvais facteur ou une dérivée d’ordre inadéquat.

58. Que peut-on conclure si une fonction dérivable sur un intervalle vérifie f′(x)≥0f'(x)\ge 0 en tout point de cet intervalle ?

La fonction est constante sur l’intervalle
La fonction est décroissante sur l’intervalle
La fonction est croissante sur l’intervalle
La fonction est nécessairement strictement croissante sur l’intervalle

La fonction est croissante sur l’intervalle

Explication

Une dérivée positive ou nulle en tout point caractérise la croissance d’une fonction dérivable. La stricte positivité serait une condition plus forte, tandis qu’une dérivée nulle correspond à une fonction constante.

59. Quelle inégalité caractérise la convexité d’une fonction f sur un ensemble Ω pour x,y∈Ωx,y\in\Omega et θ∈[0,1]\theta\in[0,1] ?

f(θx+(1−θ)y)=θf(x)+(1−θ)f(y)f(\theta x+(1-\theta)y)=\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
f(θx+(1−θ)y)≤f(x)+f(y)f(\theta x+(1-\theta)y)\le f(x)+f(y)
f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)f(\theta x+(1-\theta)y)\le\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
f(θx+(1−θ)y)≥θf(x)+(1−θ)f(y)f(\theta x+(1-\theta)y)\ge\theta f(x)+(1-\theta)f(y)

$$f(\theta x+(1-\theta)y)\le\theta f(x)+(1-\theta)f(y)$$

Explication

La convexité signifie que l’image d’une combinaison convexe est inférieure ou égale à la combinaison correspondante des images. L’inégalité inversée caractérise la concavité, tandis que l’égalité générale décrit une situation plus restrictive.

60. Si f est strictement monotone, dérivable et vérifie f′(x)≠0f'(x)\ne0, comment s’exprime la dérivée de sa réciproque ?

(f−1)′(y)=1f′(y)(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(y)}
(f−1)′(y)=f′(y−1)(f^{-1})'(y)=f'(y^{-1})
(f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
(f−1)′(y)=f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=f'(f^{-1}(y))

$$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

Explication

La dérivée de la réciproque est l’inverse de la dérivée de f évaluée au point réciproque correspondant, d’où la composition avec f−1(y)f^{-1}(y). Évaluer directement f' en y ignore le changement de variable nécessaire.

61. Sur quel intervalle la fonction Arc sinus est-elle définie comme réciproque de la fonction sinus ?

Sur [0,π], avec des valeurs dans [−1,1]
Sur ]−π/2,π/2[, avec des valeurs dans ℝ
Sur [−π,π], avec des valeurs dans [0,1]
Sur [−π/2,π/2], avec des valeurs dans [−1,1]

Sur [−π/2,π/2], avec des valeurs dans [−1,1]

Explication

Arc sinus est la réciproque de sinus restreint à [−π/2,π/2], et ses valeurs appartiennent à [−1,1]. L’intervalle [0,π] correspond à la restriction utilisée pour l’Arc cosinus.

62. Quelle est la dérivée de la fonction Arc cosinus pour y∈]−1,1[y\in]−1,1[ ?

d Arc cos⁡dy(y)=−11+y2\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=-\frac{1}{1+y^2}
d Arc cos⁡dy(y)=11−y2\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
d Arc cos⁡dy(y)=−11−y2\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
d Arc cos⁡dy(y)=1−y2\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=\sqrt{1-y^2}

$$\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

Explication

La dérivée d’Arc cosinus est négative et vaut −1/1−y2-1/\sqrt{1-y^2} sur l’intervalle considéré. Le signe positif correspond à la dérivée d’Arc sinus, tandis que 1/(1+y2)1/(1+y^2) appartient à l’Arc tangente.

63. Quelle propriété caractérise la dérivée de l’Arc tangente ?

Elle vaut −11−y2-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} pour y∈]−1,1[y\in]−1,1[
Elle vaut 11−y2\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} pour y∈]−1,1[y\in]−1,1[
Elle vaut 11+y2\frac{1}{1+y^2} pour tout réel y
Elle vaut 11−y2\frac{1}{1-y^2} pour tout réel y

Elle vaut $$\frac{1}{1+y^2}$$ pour tout réel y

Explication

L’Arc tangente est définie pour tout réel y et sa dérivée est 1/(1+y2)1/(1+y^2). Les expressions contenant 1−y2\sqrt{1-y^2} concernent les fonctions Arc sinus et Arc cosinus, dont le domaine de dérivation est restreint.

64. Quelle formule donne exactement un polynôme P de degré n à partir de ses dérivées en 0 ?

P(x)=∑k=0nP(k)(x)k!xkP(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(x)}{k!}x^k
P(x)=∑k=0nP(k)(0)k!xkP(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^k
P(x)=∑k=1nP(k)(0)k!xkP(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^k
P(x)=∑k=0nP(k)(0)k!xk+1P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^{k+1}

$$P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

Explication

La formule polynomiale de Taylor est exacte et utilise les dérivées évaluées en 0, avec les puissances correspondantes xkx^k. Une fonction générale nécessite en revanche l’ajout d’un reste.

65. Dans le reste de Lagrange du développement de Taylor à l’ordre n autour de a, où la dérivée d’ordre n+1 est-elle évaluée ?

En a−θha-\theta h avec θ∈]0,1[\theta\in]0,1[
En a+θha+\theta h avec θ∈]0,1[\theta\in]0,1[
En a pour tout h considéré
En a+ha+h avec θ∈]0,1[\theta\in]0,1[

En $$a+\theta h$$ avec $$\theta\in]0,1[$$

Explication

Le reste de Lagrange prend la forme hn+1(n+1)!f(n+1)(a+θh)\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta h), où le point d’évaluation se situe entre a et a+ha+h. Le reste de Young ne repose pas sur cette évaluation intermédiaire précise.

66. Quelle répartition des puissances apparaît dans les développements de Mac-Laurin de cosinus et sinus ?

Les deux fonctions contiennent les mêmes puissances alternées
Cosinus contient les puissances paires et sinus les puissances impaires
Cosinus contient les puissances impaires et sinus les puissances paires
Les deux fonctions contiennent exclusivement des puissances paires

Cosinus contient les puissances paires et sinus les puissances impaires

Explication

Le développement de cosinus commence par 1−x2/2!+x4/4!−⋯1-x^2/2!+x^4/4!-\cdots, tandis que celui de sinus commence par x−x3/3!+x5/5!−⋯x-x^3/3!+x^5/5!-\cdots. Cette parité découle directement des dérivées successives de ces deux fonctions.

67. Que signifie l’écriture f∼gf\sim g au voisinage de a ?

f et g ont une limite nulle et lim⁡x→af(x)g(x)=0\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0
g est non nulle en a et lim⁡x→af(x)g(x)=∞\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty
f et g sont égales dans un voisinage de a
g est non nulle au voisinage de a et lim⁡x→af(x)g(x)=1\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1

g est non nulle au voisinage de a et $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

Explication

Deux fonctions sont équivalentes lorsque leur quotient tend vers 1 et que le dénominateur g reste non nul au voisinage considéré. Cette relation exprime un comportement asymptotique commun, sans imposer l’égalité des fonctions.

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Mémorisez les réponses avec 78 flashcards sur Fonctions hyperboliques et équations différentielles.

Qu'est-ce qu'une application f:E→F ?

Une application associe à chaque élément de E un unique élément de F.

Comment se définit l'image d'une application f:E→F ?

C'est l'ensemble des éléments de F ayant au moins un antécédent dans E.

Quand une application est-elle injective ?

Quand deux éléments distincts de E ont des images distinctes.

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