Fiche de révision : Fonctions hyperboliques et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Applications et applications réciproques
2. Structure et propriétés des réels
3. Définition et convergence des suites
4. Propriétés des suites convergentes
5. Suites particulières et récurrence
6. Suites récurrentes d’ordre un
7. Définition et convergence des séries
8. Séries de Riemann
9. Définitions des limites
10. Propriétés des limites
11. Continuité des fonctions
12. Prolongement et continuité uniforme
13. Monotonie et fonctions réciproques
14. Suites et séries de fonctions
15. Définition et règles de dérivation
16. Accroissements finis et convexité
17. Fonctions réciproques et dérivées
18. Formules de Taylor

📖 1. Applications et applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Associe à tout élément de E un et un seul élément de F.
• Image d’une application : L’image d’une application f:E→F est l’ensemble $\operatorname{Im} f=\{y\in F\mid \exists x\in E,\ y=f(x)\}$ des éléments de F qui possèdent au moins un antécédent.
• Composition des applications : Si f:E→F et g:F→G sont des applications, leur composée g∘f:E→G est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, ce qui signifie qu’on applique d’abord f puis g.
• Application réciproque : Une application g:F→E est réciproque de f:E→F si $f\circ g=i d_F$ et $g\circ f=i d_E$.

★ À maîtriser

📌 Une application est injective lorsque deux éléments distincts de E ont des images distinctes, surjective lorsque tout élément de F possède un antécédent, et bijective lorsque tout élément de F possède un unique antécédent.

📌 Une application f admet une application réciproque si et seulement si elle est bijective, et cette application réciproque est unique et notée f^{-1}.

📐 Formule — Pour deux applications bijectives f:E→F et g:F→G, la composée est bijective et vérifie $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Compléments

• L’application x↦sin x est surjective de R dans [−1,+1] mais n’est pas injective, tandis qu’elle est bijective de [−π/2,+π/2] dans [−1,+1].

📌 La composition des applications est associative : pour f:E→F, g:F→G et h:G→H, $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

💡 Astuce mémo

Application : définir, composer, inverser

📖 2. Structure et propriétés des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de composition interne : Une loi de composition interne sur un ensemble E associe à tout couple d’éléments de E un résultat qui appartient encore à E.
• Groupe abélien : Une loi de composition interne est une loi de groupe si elle est associative, possède un élément neutre et si tout élément admet un opposé ; le groupe est abélien si la loi est en plus commutative.
• Partie entière : Le plus grand entier inférieur ou égal à x ; par exemple, E(3.2)=3 et E(−3.2)=−4.
• Intervalle de R : Un intervalle de R est une partie de R contenant tout le segment reliant deux de ses éléments ; il peut être ouvert, fermé ou semi-ouvert.
• Partie bornée : Une partie A de R est majorée s’il existe M tel que tout x∈A vérifie x≤M, minorée s’il existe m tel que m≤x pour tout x∈A, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Borne supérieure : La borne supérieure sup A d’une partie non vide et majorée A de R est son plus petit majorant, qu’il appartienne ou non à A.
• Borne inférieure : La borne inférieure inf A d’une partie non vide et minorée A de R est son plus grand minorant, qu’il appartienne ou non à A.

📝 Points essentiels

• Un réel qui n’est pas rationnel est appelé irrationnel, et √2, π et e sont des exemples de nombres irrationnels cités dans le cours.

• La relation ≤ sur R est réflexive, transitive et antisymétrique, et elle est compatible avec l’addition ainsi qu’avec la multiplication par un réel positif.

• L’axiome de la borne supérieure affirme que toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, ce qui exprime la complétude de R.

💡 Astuce mémo

Q contient les rationnels ; R ajoute les irrationnels et la complétude

📖 3. Définition et convergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, généralement notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, où $u_n$ est le terme général.
• Convergence d’une suite : Si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $n>N$ implique $|u_n-\ell|<\varepsilon$.
• Suite extraite : Une suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$, où $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est strictement croissante.

★ À maîtriser

📌 Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.

Compléments

• La suite $u_n=(-1)^n$ diverge, car ses sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent respectivement vers $1$ et $-1$.

💡 Astuce mémo

Définir → converger → extraire → comparer

📖 4. Propriétés des suites convergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite est croissante si $u_n\leq u_{n+1}$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$, et monotone si elle est croissante ou décroissante.

★ À maîtriser

📌 Toute suite convergente est bornée.

📌 Toute suite croissante et majorée est convergente, et toute suite décroissante et minorée est convergente.

📐 Formule — Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $\hat u$ et $\hat v$, alors $\lim_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\hat u+\hat v$ et $\lim_{n\to\infty}(\lambda u_n)=\lambda\hat u$.

Compléments

📌 La somme d’une suite tendant vers $+\infty$ et d’une suite tendant vers $-\infty$ est une indétermination de type $+\infty-\infty$, tandis que le produit d’une suite tendant vers l’infini par une suite tendant vers zéro est une indétermination de type $0\times\infty$.

💡 Astuce mémo

Croissante majorée, décroissante minorée

📖 5. Suites particulières et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Lorsque la première est croissante, la seconde décroissante et que leur différence tend vers zéro.
• Suite de Cauchy : Si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que, pour tous $m,n\geq N$, on ait $|u_m-u_n|\leq\varepsilon$.

📝 Points essentiels

📌 Deux suites adjacentes convergent toutes deux vers la même limite.

📌 Une suite réelle converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy.

💡 Astuce mémo

Contraction de Lipschitz → convergence vers le point fixe

📖 6. Suites récurrentes d’ordre un

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente d’ordre 1 : est définie par un terme initial u₀ donné et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour n ≥ 0, où seul le terme uₙ intervient explicitement dans la définition de uₙ₊₁.

★ À maîtriser

📌 Si f vérifie la condition de Lipschitz $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ avec 0 < K < 1 et possède un point fixe l tel que l = f(l), alors toute suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers l.

Compléments

📐 Formule — Sous les hypothèses de Lipschitz et de point fixe, l’écart à la limite vérifie $0\le |u_n-l|\le K^n|u_0-l|$.

💡 Astuce mémo

Contraction de f → rapprochement vers le point fixe

📖 7. Définition et convergence des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de terme général : Étant donnée une suite (uₙ), la série de terme général uₙ est la suite des sommes partielles définies par $S_n=\sum_{i=0}^{n}u_i=u_0+u_1+\cdots+u_n$.
• Convergence d’une série : Une série de terme général uₙ converge si la suite de ses sommes partielles Sₙ converge, et sa somme est alors $S=\lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{i=0}^{\infty}u_i$.

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty}r^n$ converge si |r| < 1 et sa somme vaut $\frac{1}{1-r}$ ; elle diverge pour les autres valeurs de r.

📌 Une condition nécessaire de convergence d’une série est que son terme général tende vers 0, c’est-à-dire $u_n\to 0$.

Compléments

📐 Formule — Pour r ≠ 1, les sommes partielles de la série géométrique vérifient $S_n=\sum_{i=0}^{n}r^i=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$.

📌 Si deux séries convergent, leur série somme converge et la somme de la série somme est la somme de leurs sommes ; pour tout réel λ, la série de terme général λuₙ converge et sa somme vaut λ fois la somme de la série initiale.

💡 Astuce mémo

Somme partielle finie Sn ≠ somme S définie par une limite

📖 8. Séries de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Riemann : Pour α réel, la série de Riemann est la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^\alpha}$, dont les sommes partielles sont $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^\alpha}$.

★ À maîtriser

• La série de Riemann $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ diverge et tend vers +∞ si α ≤ 1, tandis qu’elle converge si α > 1.

• Pour deux séries à termes généraux réels positifs telles que uₙ ∼ vₙ, l’une converge si et seulement si l’autre converge, et l’une diverge si et seulement si l’autre diverge.

• Si une suite positive vérifie $u_n\sim\frac{A}{n^\alpha}$ avec A > 0, alors la série de terme général uₙ converge si et seulement si α > 1.

Compléments

• La série de terme général $u_n=\frac{n+\cos n}{2n^3+1}$ converge car $u_n\sim\frac{1}{2n^2}$ et la série de Riemann d’exposant 2 converge.

💡 Astuce mémo

α ≤ 1 diverge, α > 1 converge

📖 9. Définitions des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La fonction f tend vers l lorsque x tend vers a si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que 0<|x−a|<η entraîne |f(x)−l|<ε.
• Voisinage d’un point : Partie de R qui contient un intervalle ouvert de la forme ]a−α,a+α[ avec α>0.
• Limite à l’infini : Si f est définie sur ]ω,+∞[, f tend vers l quand x tend vers +∞ si, pour tout ε>0, il existe B≥ω tel que x>B entraîne |f(x)−l|<ε.

📝 Points essentiels

• La limite à droite en a utilise les valeurs a<x<a+η, tandis que la limite à gauche utilise les valeurs a−η<x<a.

• Une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à droite et à gauche en a existent et sont égales.

• La limite de f en a est caractérisée par le fait que, pour toute suite (x_n) convergeant vers a avec x_n≠a, la suite (f(x_n)) converge vers la même limite.

💡 Astuce mémo

Limite en a : 0<|x−a| ; continuité en a : |x−a| inclut a

📖 10. Propriétés des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite généralisée : La fonction f tend vers +∞ quand x tend vers a si, pour tout A∈R, il existe η>0 tel que 0<|x−a|<η entraîne f(x)>A.

★ À maîtriser

📌 Si f(x)≤g(x) au voisinage de a et si leurs limites sont α et β, alors α≤β.

📌 Si f_1(x)≤f(x)≤f_2(x) au voisinage de a et si f_1 et f_2 tendent vers l, alors f tend vers l par le théorème des gendarmes.

📐 Formule — Si f tend vers α et g tend vers β en a, alors $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\alpha+\beta$ et $\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\alpha\beta$.

📌 Les formes ∞/∞, 0/0, ∞−∞ et 0·∞ sont indéterminées et ne permettent pas de conclure directement.

Compléments

📌 Si f tend vers y_0 en x_0, si g tend vers z_0 en y_0 et si g(y_0)=z_0, alors g∘f tend vers z_0 en x_0.

📌 Si g tend vers +∞ et f est bornée au voisinage de a, alors f(x)/g(x) tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Comparaison des fonctions → comparaison des limites

📖 11. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité uniforme : Une fonction continue f:Ω→R est uniformément continue sur Ω si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que pour tous x,y∈Ω, |x−y|<η entraîne |f(x)−f(y)|<ε.

★ À maîtriser

• Une fonction est continue en a si et seulement si sa limite en a existe et vaut f(a).

• La somme, le produit et le multiple réel de deux fonctions continues en a sont continus en a, et l’inverse de g est continu en a si g(a)≠0.

• Si f est continue sur un intervalle I et si a<b dans I avec f(a)f(b)<0, alors il existe c∈]a,b[ tel que f(c)=0.

• Une fonction continue sur un segment [a,b] atteint un minimum et un maximum, et son image est un segment fermé borné.

Compléments

📌 La composée g∘f est continue en a si f est continue en a et g est continue en f(a).

• Pour prolonger f par continuité en a, on conserve f(x) pour x≠a et on définit la nouvelle valeur en a par la limite l=lim_{x→a}f(x), lorsque cette limite existe.

💡 Astuce mémo

Continuité → opérations → valeurs intermédiaires → prolongement

📖 12. Prolongement et continuité uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : Consiste, lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=l$ existe, à définir $\tilde f(x)=f(x)$ pour x∈Ω{a} et $\tilde f(a)=l$.
• Continuité uniforme : Si, pour tout ε>0, il existe η>0 indépendant des points x et y tel que, pour tous x,y∈Ω, $|x-y|<η\Rightarrow|f(x)-f(y)|<ε$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque est fausse en général.

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] y est uniformément continue.

Compléments

• La fonction $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ se prolonge continûment en 0 en posant $\tilde f(0)=1$, car $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.

💡 Astuce mémo

Prolongement par continuité : remplir un point par une limite ; continuité uniforme : un même η pour tous les points.

📖 13. Monotonie et fonctions réciproques

★ À maîtriser

📌 Une fonction strictement croissante ou strictement décroissante définie sur un intervalle I est bijective de I sur son image J=f(I), et sa fonction réciproque est strictement monotone dans le même sens.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert Ω, alors sa réciproque est définie, continue et strictement monotone sur Ω′=f(Ω), dans le même sens que f.

Compléments

📌 L’image par une fonction continue strictement monotone d’un intervalle ouvert Ω de R est un intervalle ouvert.

💡 Astuce mémo

Monotonie stricte → injectivité → bijection sur l’image → réciproque monotone.

📖 14. Suites et séries de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de fonctions : Une famille d’applications $f_n:D\to\mathbb R$ indexées par les entiers n≥n₀.
• Série de fonctions : La suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f_k(x)$.
• Convergence simple : Si, pour tout x∈D, la suite numérique (f_n(x)) converge vers $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$.
• Convergence uniforme : Si, pour tout ε>0, il existe N indépendant de x tel que, pour tout n>N et tout x∈D, $|f_n(x)-f(x)|<ε$.
• Convergence normale : La série numérique $\sum_{n\ge n_0}u_n$ converge, où $u_n=\sup_{x\in D}|f_n(x)|$.

★ À maîtriser

• Pour des fonctions bornées, la convergence uniforme équivaut à la convergence vers zéro de la suite $u_n=\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|$, lorsque chaque u_n est bien défini dans R.

• La convergence uniforme d’une suite de fonctions continues sur D entraîne la continuité de sa fonction limite sur D.

• La convergence normale d’une série de fonctions entraîne sa convergence uniforme, mais la réciproque est fausse.

Compléments

• La suite $f_n(x)=x^n$ converge simplement sur ]−1,1] vers la fonction nulle sur ]−1,1[ et vers 1 en x=1.

💡 Astuce mémo

Convergence simple : le rang dépend de x ; convergence uniforme : un même rang convient à tout x.

📖 15. Définition et règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : La fonction f est dérivable au point a si la limite $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe.

★ À maîtriser

📌 Une fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais une fonction continue en un point peut ne pas y être dérivable.

📐 Formule — Si f et g sont dérivables au point a, alors $\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$ sous la condition $g(a)\ne 0$.

📐 Formule — Si g est dérivable en a et f est dérivable en g(a), alors $(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)$.

📌 Si une fonction dérivable possède un extremum local en un point intérieur de son intervalle de définition, alors sa dérivée s'annule en ce point.

Compléments

📐 Formule — La formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$, avec $(f)^{(0)}=f$.

💡 Astuce mémo

Définir, additionner, multiplier, composer

📖 16. Accroissements finis et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction f est convexe sur Ω si, pour tous x,y dans Ω et tout θ dans [0,1], $f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Rolle affirme que si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que $f'(c)=0$.

📐 Formule — Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

📌 Une fonction dérivable sur un intervalle est croissante si et seulement si sa dérivée y est partout positive ou nulle, décroissante si et seulement si sa dérivée y est partout négative ou nulle, et constante si et seulement si sa dérivée y est partout nulle.

📌 Pour une fonction deux fois continûment dérivable sur un ouvert Ω, la convexité équivaut à $f''(x)\ge 0$ pour tout x dans Ω, et $f''(x)>0$ partout suffit pour obtenir la stricte convexité.

Compléments

📌 Si un majorant M de |f'| est connu sur [a−|δ|,a+|δ|], alors l'approximation de f(a+δ) par f(a) vérifie $|f(a+\delta)-f(a)|\le M|\delta|$.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → monotonie ; signe de la dérivée seconde → convexité

📖 17. Fonctions réciproques et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Arc sinus : La fonction Arc sinus est la réciproque de sin restreinte à [−π/2,π/2], à valeurs dans [−1,1], et elle vérifie $\frac{d\,\operatorname{Arc\,sin}}{dy}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ pour y dans ]−1,1[.
• Racine n-ième : Pour n≥1 et y≥0, la racine n-ième de y est l'unique réel x≥0 tel que $x^n=y$, noté $\sqrt[n]{y}=y^{1/n}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f est continue, dérivable et strictement monotone sur Ω, avec f'(x)≠0 pour tout x, alors sa réciproque est dérivable et vérifie $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

📐 Formule — La fonction Arc cosinus est définie par des valeurs dans [0,π] et vérifie $\frac{d\,\operatorname{Arc\,cos}}{dy}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ pour y dans ]−1,1[.

📐 Formule — La fonction Arc tangente prend ses valeurs dans ]−π/2,π/2[ et vérifie $\frac{d\,\operatorname{Arc\,tan}}{dy}(y)=\frac{1}{1+y^2}$ pour tout réel y.

💡 Astuce mémo

Fonction directe : pente f′ ; fonction réciproque : pente 1/f′

📖 18. Formules de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Infiniment petit : Un infiniment petit au voisinage de a est une fonction f telle que $\lim_{x\to a}f(x)=0$.
• Fonctions équivalentes : Deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de a, noté f∼g, si g est non nulle au voisinage de a et si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.
• Ordre d’un infiniment petit : Un infiniment petit f est d’ordre p au voisinage de a si f et (x−a)^p sont du même ordre, c’est-à-dire si leur quotient tend vers une limite non nulle.
• Développement limité : Une fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de a si $f(a+h)=\alpha_0+\alpha_1h+\cdots+\alpha_nh^n+h^n\varepsilon(h)$ avec ε(h)→0 quand h→0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un polynôme P de degré n, on a $P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^k$.

📐 Formule — Si f est n+1 fois dérivable sur un intervalle ouvert I, alors, pour a et a+h dans I, il existe θ∈]0,1[ tel que $f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{h^k}{k!}f^{(k)}(a)+\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta h).$

📐 Formule — Les développements de Mac-Laurin de cos x et sin x comportent respectivement les puissances paires $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$ et les puissances impaires $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$.

📐 Formule — Si f est n fois continûment dérivable au voisinage de a, alors il existe ε tel que ε(h)→0 quand h→0 et $f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{h^k}{k!}f^{(k)}(a)+h^n\varepsilon(h).$

• Le développement limité à un ordre donné est unique lorsqu’il existe.

• La somme et le produit par un réel de deux développements limités à l’ordre n s’obtiennent en additionnant ou en multipliant leurs parties régulières, tandis que le produit de fonctions se tronque à l’ordre n.

• Si une fonction continue au voisinage de a admet un développement limité à l’ordre n, alors toute primitive admet un développement limité à l’ordre n+1 obtenu en intégrant terme à terme et en ajoutant la constante F(a).

📐 Formule — Si $f(a+h)=\alpha_0+\alpha_1h+\cdots+\alpha_nh^n+h^n\varepsilon(h)$, alors $F(a+h)=F(a)+\alpha_0h+\alpha_1\frac{h^2}{2}+\cdots+\alpha_n\frac{h^{n+1}}{n+1}+h^{n+1}\widetilde\varepsilon(h)$.

• Pour calculer une limite indéterminée par développement limité, on développe le numérateur et le dénominateur jusqu’à faire apparaître leurs premiers termes non nuls, puis on simplifie par la puissance commune dominante.

• Le développement limité à l’ordre 3 donne $x-\arctan x=\frac{x^3}{3}(1+\varepsilon_1(x))$ et $x^2\sin x=x^3(1+\varepsilon_2(x))$, donc $\lim_{x\to0}\frac{x-\arctan x}{x^2\sin x}=\frac13$.

📌 Pour une courbe y=f(x), si f''(x_0)>0, la courbe est au-dessus de sa tangente et x_0 est un minimum local lorsque f'(x_0)=0; si f''(x_0)<0, elle est au-dessous de sa tangente et x_0 est un maximum local.

📌 Si f'(x_0)=0, f''(x_0)=0 et f'''(x_0)≠0, alors la courbe traverse sa tangente en x_0 et x_0 est un point d’inflexion, sans extremum.

💡 Astuce mémo

Polynôme → Lagrange → Mac-Laurin → Young

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Types de convergence