Fiche de révision : Proportionnalité et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Produit en croix et proportionnalité
2. Applications de la proportionnalité
3. Représentation graphique
4. Angles et constructions géométriques
5. Parallélogrammes et diagonales
6. Triangles égaux
7. Calculs numériques et mesures

📖 1. Produit en croix et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’un coefficient multiplicateur permet de passer de l’une à l’autre ; ce coefficient est appelé coefficient de proportionnalité.

📝 Points essentiels

📌 Dans un tableau de proportionnalité, les nombres vérifient $a\times d=b\times c$, et cette égalité permet réciproquement de reconnaître un tableau de proportionnalité.

• 🔄 Pour trouver la quatrième proportionnelle:
  1. Utiliser les trois nombres connus
  2. Écrire l’égalité des produits en croix
  3. Isoler le nombre recherché

💡 Astuce mémo

Produit en croix correct → tableau proportionnel

📖 2. Applications de la proportionnalité

★ À maîtriser

• Pour fabriquer 4 kg de gruyère avec 50 L de lait, il faut 87,5 L de lait pour fabriquer 7 kg de gruyère.

Compléments

• Dans le tableau où 180 et 30 sont sur la première ligne, 15 et x sur la seconde, le calcul donne $x=\frac{30\times15}{180}=2{,}5$.

• Dans le tableau masse d’élèves-volume d’huile, le coefficient de proportionnalité entre la masse et le volume est 6,8.

💡 Astuce mémo

Masse → coefficient → quantité recherchée

📖 3. Représentation graphique

★ À maîtriser

📌 Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points représentant leurs valeurs sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

• Le côté d’un carré et son périmètre sont proportionnels, car les points associés aux valeurs 1, 2 et 3 pour le côté et 4, 8 et 12 pour le périmètre sont alignés avec l’origine.

📌 Le côté et l’aire d’un carré ne sont pas proportionnels, car les points correspondant aux valeurs 1, 2 et 3 pour le côté et 1, 2 et 9 pour l’aire ne sont pas alignés.

Compléments

📌 L’âge et la taille de la plante ne sont pas proportionnels, car les points sont alignés mais la droite ne passe pas par l’origine.

💡 Astuce mémo

Alignés avec l’origine = proportionnels ; alignés sans l’origine = non proportionnels

📖 4. Angles et constructions géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur : La droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
• Bissectrice : La demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

📝 Points essentiels

📌 Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes ont la même mesure ; réciproquement, des angles alternes-internes de même mesure permettent de conclure que les droites sont parallèles.

• Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

• La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

📐 Formule — L’aire d’un triangle est égale à $\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$.

📖 5. Parallélogrammes et diagonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélogramme : Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

📝 Points essentiels

• Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur et les diagonales se coupent en leur milieu.

• Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

• Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.

• Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

💡 Astuce mémo

Diagonales perpendiculaires → losange ; diagonales de même longueur → rectangle

📖 6. Triangles égaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles égaux : Des triangles superposables qui ont des côtés de même longueur et des angles de même mesure.

★ À maîtriser

• Deux triangles sont égaux s’ils ont un côté de même longueur et deux angles adjacents de même mesure.

• Deux triangles sont égaux s’ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.

• Deux triangles sont égaux s’ils ont trois côtés de même longueur.

Compléments

• Dans deux triangles égaux, les sommets, les côtés et les angles qui se correspondent sont dits homologues.

• Deux triangles égaux ont les mêmes mesures d’angles et de côtés homologues.

💡 Astuce mémo

Un côté et deux angles → deux côtés et l’angle compris → trois côtés

📖 7. Calculs numériques et mesures

★ À maîtriser

📌 Pour additionner des nombres relatifs, on additionne les nombres de même signe et on soustrait les nombres de signes différents en conservant le signe du nombre de plus grande valeur absolue.

• Pour calculer une expression numérique, on effectue d’abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.

Compléments

• L’expression $(-4)+6$ vaut 2.

• L’expression $9\times8-6\times7$ vaut 30 après calcul des produits puis de la soustraction.

• 3 h 15 min correspondent à 195 min, car $3\times60+15=195$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas d’égalité des triangles