QCM : Fonctions numériques et limites (42 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description correspond à une fonction numérique de la variable réelle ?

Une fonction de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℂ
Une fonction d’une partie de ℤ dans ℝ
Une fonction de ℝ dans une partie de ℝ
Une fonction de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℝ

Une fonction de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℝ

Explication

Une fonction numérique de la variable réelle prend ses valeurs dans ℝ et son domaine est ℝ ou une partie de ℝ. Une partie de ℝ comme ensemble d’arrivée inverse les rôles, ℤ restreint à tort l’ensemble de départ et ℂ change l’ensemble d’arrivée.

2. Pour une fonction f, on cherche les réels x auxquels une image f(x) est effectivement associée. Quel ensemble obtient-on ?

L’ensemble des zéros de f
L’ensemble de définition D_f
L’ensemble des valeurs prises par f
L’ensemble ℝ au complet

L’ensemble de définition D_f

Explication

Le domaine D_f rassemble les réels x pour lesquels f(x) existe. L’ensemble des images contient des valeurs de sortie, ℝ au complet n’est pas garanti et les zéros ne sont qu’un sous-ensemble particulier du domaine.

3. Une fonction est définie par r(x)=x+2x2−9r(x)=\frac{x+2}{x^2-9}. Quelle condition faut-il imposer à x pour que r(x) existe ?

x2−9=0x^2-9=0
x2−9>0x^2-9>0
x+2≠0x+2\ne0
x2−9≠0x^2-9\ne0

$$x^2-9\ne0$$

Explication

Une fonction rationnelle existe lorsque son dénominateur est non nul; ici, il faut donc imposer x2−9≠0x^2-9\ne0. L’égalité annule le dénominateur, la condition sur le numérateur est sans effet et la positivité est plus restrictive que nécessaire.

4. Pour quelles valeurs de x l’expression s(x)=x−4s(x)=\sqrt{x-4} est-elle définie ?

x≥4x\ge4
x≤4x\le4
x≠4x\ne4
x>4x>4

$$x\ge4$$

Explication

Une racine carrée réelle existe lorsque son radicand est positif ou nul; ainsi x−4≥0x-4\ge0, soit x≥4x\ge4. La condition stricte oublie que zéro est accepté, tandis que les deux autres conditions autorisent des radicands négatifs.

5. Pour un entier naturel non nul n, vers quelle valeur tend xnx^n lorsque x tend vers +∞+\infty ?

11
00
+∞+\infty
−∞-\infty

$$+\infty$$

Explication

Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, une puissance positive de x tend vers +∞+\infty lorsque x tend vers +∞+\infty. La limite nulle correspond à x tendant vers zéro ou à l’inverse de la puissance; les deux autres valeurs ne décrivent pas cette croissance.

6. Lorsque x tend vers zéro par valeurs négatives, que devient 1x5\frac{1}{x^5} ?

00
La limite n’existe pas
+∞+\infty
−∞-\infty

$$-\infty$$

Explication

Pour une puissance impaire, x5x^5 reste négatif lorsque x approche zéro par la gauche et sa valeur absolue tend vers zéro; son inverse tend donc vers −∞-\infty. Le signe positif correspond à l’approche par la droite, tandis que le cas pair tend vers +∞+\infty des deux côtés.

7. Pour déterminer la limite de 6x3−2x3x2+5\frac{6x^3-2x}{3x^2+5} lorsque x tend vers +∞+\infty, quelle expression doit-on étudier en priorité ?

−2x5\frac{-2x}{5}
6x36x^3
63\frac{6}{3}
6x33x2\frac{6x^3}{3x^2}

$$\frac{6x^3}{3x^2}$$

Explication

La limite d’une fonction rationnelle à l’infini se déduit du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur, ici 6x33x2\frac{6x^3}{3x^2}. Les termes de degré inférieur, le numérateur seul et le seul quotient des coefficients ne représentent pas la règle générale.

8. En évaluant directement les opérations, quelles expressions correspondent aux formes indéterminées usuelles ?

+∞−∞+\infty-\infty, 0×∞0\times\infty, 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty}
0−00-0, 0×00\times0, 01\frac{0}{1} et 1∞\frac{1}{\infty}
+∞−∞+\infty-\infty, 0+∞0+\infty, 10\frac{1}{0} et ∞0\frac{\infty}{0}
+∞+∞+\infty+\infty, 0+∞0+\infty, 10\frac{1}{0} et 0∞\frac{0}{\infty}

$$+\infty-\infty$$, $$0\times\infty$$, $$\frac{0}{0}$$ et $$\frac{\infty}{\infty}$$

Explication

Les quatre formes indéterminées usuelles sont +∞−∞+\infty-\infty, 0×∞0\times\infty, 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty}. Les sommes d’infinis ou les quotients proposés dans les autres choix ne font pas partie de cette liste.

9. Pour calculer une limite donnant une forme 00\frac{0}{0}, un élève identifie respectivement un numérateur polynomial puis une expression avec des racines. Quelle méthode doit-il privilégier dans chaque cas ?

Multiplier par l’expression conjuguée dans les deux calculs
Factoriser le polynôme comme les racines dans les deux calculs
Factoriser le polynôme, puis multiplier par l’expression conjuguée pour les racines
Multiplier par l’expression conjuguée pour le polynôme, puis factoriser les racines

Factoriser le polynôme, puis multiplier par l’expression conjuguée pour les racines

Explication

La factorisation est la méthode indiquée pour lever une indétermination dans une fonction polynomiale, tandis que l’expression conjuguée convient aux fonctions irrationnelles. Inverser ces méthodes ou appliquer une seule méthode aux deux types d’expressions confond leurs domaines d’emploi.

10. Pour un réel non nul aa, quelle limite obtient-on lorsque xx tend vers zéro dans sin⁡(5x)x\frac{\sin(5x)}{x} ?

11
55
15\frac{1}{5}
00

$$5$$

Explication

La limite classique donne lim⁡x→0sin⁡(ax)x=a\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a; avec a=5a=5, la limite vaut donc 55. Répondre 11 oublie le facteur intérieur, et 15\frac{1}{5} inverse son effet.

11. Pour un réel non nul aa, quelle est la limite de 1−cos⁡(4x)x2\frac{1-\cos(4x)}{x^2} lorsque xx tend vers zéro ?

00
22
44
88

$$8$$

Explication

La limite vaut a22\frac{a^2}{2}; en prenant a=4a=4, on obtient 162=8\frac{16}{2}=8. Les valeurs 22 et 44 proviennent respectivement de l’oubli du carré et de la division par deux.

12. À partir d’un certain rang, une fonction ff vérifie f(x)≥x2f(x)\geq x^2. Que peut-on conclure lorsque xx tend vers +∞+\infty ?

f(x)f(x) tend vers 00
f(x)f(x) tend vers −∞-\infty
La limite de f(x)f(x) ne peut pas être déterminée
f(x)f(x) tend vers +∞+\infty

$$f(x)$$ tend vers $$+\infty$$

Explication

Comme f(x)≥x2f(x)\geq x^2 à partir d’un certain rang et que x2→+∞x^2\to+\infty lorsque x→+∞x\to+\infty, le théorème de comparaison impose f(x)→+∞f(x)\to+\infty. Les réponses vers une limite finie ignorent cette minoration, et l’inversion de l’inégalité ne justifie pas la conclusion.

13. Sur un intervalle de la forme ]a;+∞[]a;+\infty[, des fonctions gg, ff et hh vérifient g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x). Si g(x)g(x) et h(x)h(x) tendent toutes deux vers 33 en +∞+\infty, quelle est la limite de f(x)f(x) ?

L’encadrement ne permet aucune conclusion tant que g=f=hg=f=h
+∞+\infty
g(x)g(x) tend vers 33, mais la limite de f(x)f(x) reste indéterminée
33

$$3$$

Explication

Le théorème des gendarmes donne à ff la même limite que ses deux bornes lorsque celles-ci tendent vers une même valeur; ici, cette valeur est 33. Il n’est pas nécessaire que les fonctions soient égales, et la limite d’une seule borne ne suffirait pas à elle seule.

14. Sur un intervalle ]a;+∞[]a;+\infty[, deux fonctions vérifient f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), avec lim⁡x→+∞f(x)=2\lim_{x\to+\infty}f(x)=2 et lim⁡x→+∞g(x)=7\lim_{x\to+\infty}g(x)=7. Quelle relation entre les limites est conforme au théorème de comparaison ?

2≤72\leq7
7≤27\leq2
Aucune relation d’ordre ne peut être déduite
2=72=7

$$2\leq7$$

Explication

Si f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sur l’intervalle considéré et si les deux limites existent, alors la limite de ff est inférieure ou égale à celle de gg; ici, 2≤72\leq7. L’ordre des limites suit celui des fonctions et n’implique pas leur égalité.

15. On sait que lim⁡x→2g(x)=3\lim_{x\to 2}g(x)=3 et que lim⁡u→3f(u)=−1\lim_{u\to 3}f(u)=-1. Quelle est alors la limite de f(g(x))f(g(x)) lorsque xx tend vers 22 ?

33
22
La limite n’existe pas nécessairement
−1-1

$$-1$$

Explication

La limite de la composée s’obtient en appliquant la limite extérieure de f au point vers lequel tend g : ici, lim⁡u→3f(u)=−1\lim_{u\to3}f(u)=-1. La réponse 33 confond la limite de g avec celle de la composée, tandis que 22 reprend le point d’approche.

16. À l’infini, une fonction hh tend vers +∞+\infty tandis que le quotient h(x)x\frac{h(x)}{x} tend vers 00. Quelle caractéristique décrit la branche de sa courbe au voisinage de l’infini ?

Une branche parabolique de direction (Oy)(Oy)
Une asymptote horizontale
Une branche parabolique de direction (Ox)(Ox)
Une asymptote oblique

Une branche parabolique de direction $$(Ox)$$

Explication

Lorsque la fonction tend vers +∞+\infty et que son quotient par x tend vers 0, sa courbe possède une branche parabolique de direction (Ox)(Ox). La direction (Oy)(Oy) correspond au quotient tendant vers +∞+\infty, tandis qu’un quotient nul ne suffit pas à établir une asymptote horizontale.

17. Une fonction ff est définie en x0x_0 et vérifie lim⁡x→x0f(x)=5\lim_{x\to x_0}f(x)=5 ainsi que f(x0)=5f(x_0)=5. Quelle conclusion s’impose ?

La continuité dépend de la valeur de ff ailleurs
ff n’est pas continue en x0x_0
ff est continue en x0x_0
ff est continue à gauche en x0x_0, sans conclusion globale

$$f$$ est continue en $$x_0$$

Explication

Une fonction définie en x0x_0 est continue en ce point lorsque sa limite en x0x_0 égale sa valeur en x0x_0 ; les deux valent ici 5. La continuité à gauche seule ne résume pas le critère de continuité en un point, et la limite n’a pas à être nulle.

18. En un point x0x_0, une fonction a pour limite à gauche 4, pour limite à droite 4 et vérifie f(x0)=4f(x_0)=4. Quel diagnostic convient ?

ff est continue en x0x_0
ff est discontinue en x0x_0 car les limites latérales diffèrent
La continuité ne peut pas être établie sans connaître les limites ailleurs
ff est continue à gauche, mais pas à droite en x0x_0

$$f$$ est continue en $$x_0$$

Explication

La continuité en x0x_0 exige que les limites à gauche et à droite existent et soient égales à f(x0)f(x_0) ; les trois valeurs sont ici égales à 4. L’affirmation selon laquelle les limites diffèrent contredit les données, et une seule limite latérale ne suffirait pas à conclure à la continuité.

19. Pour une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant 2, quelle condition caractérise sa dérivabilité en 2 ?

La limite du taux d’accroissement en 2 existe et vaut l’infini
La limite du taux d’accroissement en 2 existe et est un réel
La valeur de la fonction en 2 est un nombre réel
Le taux d’accroissement en 2 vaut zéro pour tout x

La limite du taux d’accroissement en 2 existe et est un réel

Explication

La dérivabilité en 2 exige que la limite du taux d’accroissement lorsque x tend vers 2 existe et soit réelle. Une limite infinie ne convient pas, la limite n’a pas à être nulle, et la valeur de la fonction seule ne suffit pas.

20. Pour une fonction f, la limite du taux d’accroissement en 3 existe et vaut −2. Quel est le nombre dérivé de f en 3 ?

f′(3)=−2f'(3)=-2
f′(3)=f(3)f'(3)=f(3)
f′(3)=3f'(3)=3
f′(3)=2f'(3)=2

$$f'(3)=-2$$

Explication

La limite du taux d’accroissement, lorsqu’elle vaut un réel, est par définition le nombre dérivé : ici f′(3)=−2f'(3)=-2. L’opposé change son signe, tandis que l’abscisse et la valeur de la fonction ne désignent pas cette limite.

21. Une courbe passe par le point (2;5)(2;5) et y admet une tangente de coefficient directeur 3. Quelle est l’équation de cette tangente ?

y=3(x−2)+5y=3(x-2)+5
y=3(x+2)+5y=3(x+2)+5
y=5(x−2)+3y=5(x-2)+3
y=3x+5y=3x+5

$$y=3(x-2)+5$$

Explication

La tangente en x0x_0 a pour équation y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) ; ici, cela donne y=3(x−2)+5y=3(x-2)+5. Prendre 5 comme pente confond ordonnée et coefficient directeur, et les autres équations déplacent incorrectement le point de tangence.

22. Une fonction est dérivable en x0=1x_0=1 et son nombre dérivé vaut −4-4. Quel coefficient directeur a la tangente à sa courbe au point d’abscisse 1 ?

44
f(1)f(1)
11
−4-4

$$-4$$

Explication

Lorsque f est dérivable en x0x_0, le coefficient directeur de la tangente en ce point est f′(x0)f'(x_0) ; il vaut donc −4-4. L’opposé inverse le signe, et l’abscisse ou l’ordonnée du point ne donnent pas ici la pente.

23. En un point d’abscisse 0, une fonction possède des dérivées latérales égales à 2. D’après le critère de dérivabilité, quelle conclusion s’impose ?

La fonction est dérivable en 0 dès que sa dérivée à gauche existe
La fonction est dérivable en 0 seulement si les dérivées valent zéro
La fonction est dérivable en 0 et son nombre dérivé vaut 2
La fonction n’est pas dérivable en 0 car les valeurs sont positives

La fonction est dérivable en 0 et son nombre dérivé vaut 2

Explication

Une fonction est dérivable en un point si ses dérivées à gauche et à droite existent et sont égales ; leur valeur commune est alors le nombre dérivé. L’existence d’une seule dérivée latérale ne suffit pas, et la valeur commune n’a pas à être nulle.

24. Au point correspondant à x0=1x_0=1, une courbe a des dérivées latérales réelles égales à 2 à gauche et 5 à droite. Quelle interprétation géométrique convient ?

Une tangente unique et un point régulier
Deux demi-tangentes obliques et un point anguleux
Deux tangentes verticales et un point de rebroussement
Aucune demi-tangente et un point de discontinuité

Deux demi-tangentes obliques et un point anguleux

Explication

Des dérivées latérales réelles et différentes donnent deux demi-tangentes obliques de pentes distinctes ; le point est donc anguleux. Une tangente unique correspondrait à des dérivées latérales égales, tandis que des valeurs finies distinctes ne décrivent ni une tangente verticale ni, à elles seules, une discontinuité.

25. Pour la fonction f(x)=3x4−2x+7f(x)=3x^4-2x+7, quelle est l’expression de f′(x)f'(x) ?

12x3+712x^3+7
3x4−23x^4-2
12x3−212x^3-2
3x3−23x^3-2

$$12x^3-2$$

Explication

La dérivée de 3x43x^4 est 3×4x3=12x33\times4x^3=12x^3, celle de −2x-2x est −2-2 et celle de la constante est nulle. L’option 3x3−23x^3-2 oublie le facteur de puissance, tandis que les deux autres erreurs portent sur la constante ou l’exposant.

26. Si g(x)=cos⁡x+2sin⁡xg(x)=\cos x+2\sin x, quelle est l’expression de g′(x)g'(x) ?

sin⁡x+2cos⁡x\sin x+2\cos x
−cos⁡x+2sin⁡x-\cos x+2\sin x
−sin⁡x+cos⁡x-\sin x+\cos x
−sin⁡x+2cos⁡x-\sin x+2\cos x

$$-\sin x+2\cos x$$

Explication

La dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x et celle de 2sin⁡x2\sin x est 2cos⁡x2\cos x. L’expression sin⁡x+2cos⁡x\sin x+2\cos x perd le signe négatif du cosinus; les autres propositions intervertissent des dérivées ou perdent un coefficient.

27. Sur un intervalle où v(x)≠0v(x)\neq0, on pose f(x)=u(x)v(x)f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}. Quelle règle permet de calculer f′(x)f'(x) ?

u′v−uv′v\frac{u'v-uv'}{v}
u′v+uv′u'v+uv'
uv′−u′vv2\frac{uv'-u'v}{v^2}
u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^2}

$$\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

Explication

La dérivée d’un quotient est u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^2}. u′v+uv′u'v+uv' est la règle du produit, tandis que les autres erreurs inversent les termes du numérateur ou omettent le carré du dénominateur.

28. Pour h(x)=sin⁡(3x+1)h(x)=\sin(3x+1), quelle est l’expression de la dérivée ?

(3x+1)cos⁡(3x+1)(3x+1)\cos(3x+1)
−3sin⁡(3x+1)-3\sin(3x+1)
cos⁡(3x+1)\cos(3x+1)
3cos⁡(3x+1)3\cos(3x+1)

$$3\cos(3x+1)$$

Explication

La règle de composition donne h′(x)=(3x+1)′cos⁡(3x+1)=3cos⁡(3x+1)h'(x)=(3x+1)'\cos(3x+1)=3\cos(3x+1). cos⁡(3x+1)\cos(3x+1) omet le facteur intérieur, la forme avec −sin⁡-\sin confond les dérivées trigonométriques, et la dernière multiplie par l’argument au lieu de sa dérivée.

29. Une fonction ff est continue sur [−2,4][-2,4], dérivable sur ]−2,4[]-2,4[, et vérifie f(−2)=f(4)f(-2)=f(4). Quelle conclusion garantit le théorème de Rolle ?

Il existe c∈]−2,4[c\in]-2,4[ tel que f′(c)=0f'(c)=0.
Il existe c∈[−2,4]c\in[-2,4] tel que f′(c)=0f'(c)=0.
Pour tout x∈]−2,4[x\in]-2,4[, f′(x)=0f'(x)=0.
Il existe c∈]−2,4[c\in]-2,4[ tel que f(c)=0f(c)=0.

Il existe $$c\in]-2,4[$$ tel que $$f'(c)=0$$.

Explication

Les hypothèses de Rolle garantissent un point intérieur où la dérivée s’annule. La dérivée n’est pas forcément nulle partout; le point garanti est intérieur, et le théorème ne garantit pas que la fonction s’annule.

30. Sur [1,5][1,5], une fonction dérivable vérifie 2≤f′(x)≤62\leq f'(x)\leq6 pour tout xx. Quel encadrement en découle pour f(5)−f(1)f(5)-f(1) ?

8≤f(5)−f(1)≤248\leq f(5)-f(1)\leq24
−24≤f(5)−f(1)≤−8-24\leq f(5)-f(1)\leq-8
2≤f(5)−f(1)≤62\leq f(5)-f(1)\leq6
24≤f(5)−f(1)≤824\leq f(5)-f(1)\leq8

$$8\leq f(5)-f(1)\leq24$$

Explication

L’inégalité des accroissements finis donne m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a). Ici b−a=4b-a=4, donc l’encadrement est 2×4≤f(5)−f(1)≤6×42\times4\leq f(5)-f(1)\leq6\times4; les autres résultats inversent les bornes, oublient le facteur 4 ou changent le signe.

31. Une fonction ff est définie sur R\mathbb R. Pour tout réel xx, on constate que f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). Quelle propriété satisfait ff ?

Elle est paire.
Elle admet un centre de symétrie quelconque.
Elle est impaire.
Elle est croissante sur R\mathbb R.

Elle est paire.

Explication

Une fonction est paire lorsque son domaine est stable par opposition et que f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx de ce domaine. La condition d’imparité exige f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), tandis qu’un centre quelconque et la croissance ne découlent pas de l’égalité donnée.

32. Une fonction gg est définie sur un domaine stable par opposition et vérifie g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x) pour chaque xx de ce domaine. Comment qualifie-t-on gg ?

Elle est symétrique par rapport à un axe vertical.
Elle est paire.
Elle est positive sur son domaine.
Elle est impaire.

Elle est impaire.

Explication

La relation g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x), sur un domaine stable par opposition, caractérise une fonction impaire. La parité correspond à g(−x)=g(x)g(-x)=g(x), et les deux autres propriétés ne sont pas impliquées par la relation.

33. Pour une courbe de fonction définie sur un domaine stable par la transformation x↦2x0−xx\mapsto 2x_0-x, quelle égalité vérifiée pour tout xx établit que Ω(x0;y0)\Omega(x_0;y_0) est un centre de symétrie ?

f(2x0−x)+f(x)=y0f(2x_0-x)+f(x)=y_0
f(2x0−x)+f(x)=2y0f(2x_0-x)+f(x)=2y_0
f(2x0−x)=f(x)f(2x_0-x)=f(x)
f(x0−x)+f(x)=2y0f(x_0-x)+f(x)=2y_0

$$f(2x_0-x)+f(x)=2y_0$$

Explication

Le centre Ω(x0;y0)\Omega(x_0;y_0) impose que les ordonnées de deux points symétriques aient pour somme 2y02y_0, d’où f(2x0−x)+f(x)=2y0f(2x_0-x)+f(x)=2y_0. L’égalité sans somme caractérise un axe vertical; les autres expressions modifient le niveau ou la transformation requis.

34. Une courbe de fonction est étudiée autour de la droite verticale x=3x=3. Quelle relation doit vérifier ff pour que cette droite soit un axe de symétrie ?

f(6−x)+f(x)=0f(6-x)+f(x)=0
f(6−x)=f(x)f(6-x)=f(x)
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)
f(6−x)+f(x)=6f(6-x)+f(x)=6

$$f(6-x)=f(x)$$

Explication

Pour l’axe x=ax=a, les abscisses symétriques sont xx et 2a−x2a-x, et leurs ordonnées doivent être égales. Avec a=3a=3, cela donne f(6−x)=f(x)f(6-x)=f(x); les relations avec une somme relèvent d’une condition de centre, et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) correspond à l’axe des ordonnées.

35. Sur un intervalle II, quelle condition caractérise une fonction ff périodique de période T>0T>0 ?

Pour tout x∈Ix\in I, les deux translatés appartiennent à II, et f(x+T)=f(x−T)f(x+T)=f(x-T).
Pour tout x∈Ix\in I, les deux translatés appartiennent à II, et f(x+T)+f(x−T)=f(x)f(x+T)+f(x-T)=f(x).
Pour tout x∈Ix\in I, x+Tx+T appartient à II, et f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x).
Pour tout x∈Ix\in I, x+Tx+T et x−Tx-T appartiennent à II, et f(x+T)=f(x−T)=f(x)f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Pour tout $$x\in I$$, $$x+T$$ et $$x-T$$ appartiennent à $$I$$, et $$f(x+T)=f(x-T)=f(x)$$.

Explication

La définition impose que les deux points translatés restent dans l’intervalle et que la fonction garde sa valeur en ces trois points. La seule inclusion de x+Tx+T omet une condition de domaine, tandis que l’égalité entre les seules valeurs décalées ne suffit pas.

36. Quelle association donne correctement les périodes de sin⁡x\sin x et de tan⁡x\tan x ?

sin⁡x\sin x a pour période π\pi, et tan⁡x\tan x a pour période 2π2\pi.
sin⁡x\sin x et tan⁡x\tan x ont toutes deux pour période π\pi.
sin⁡x\sin x et tan⁡x\tan x ont toutes deux pour période 2π2\pi.
sin⁡x\sin x a pour période 2π2\pi, et tan⁡x\tan x a pour période π\pi.

$$\sin x$$ a pour période $$2\pi$$, et $$\tan x$$ a pour période $$\pi$$.

Explication

Le sinus a pour période 2π2\pi, alors que la tangente a pour période π\pi. L’échange de ces valeurs confond les deux périodes, et les associations où elles sont identiques attribuent à l’une des fonctions la période de l’autre.

37. Une fonction est périodique de période 66. Après l’avoir étudiée sur [1;7][1;7], comment compléter sa courbe sur le reste du plan ?

Par dilatations horizontales successives de facteur 6 autour de l’origine.
Par translations horizontales successives de vecteurs 6i⃗6\vec i et −6i⃗-6\vec i.
Par translations horizontales successives de vecteurs 3i⃗3\vec i et −3i⃗-3\vec i.
Par translations verticales successives de vecteurs 6j⃗6\vec j et −6j⃗-6\vec j.

Par translations horizontales successives de vecteurs $$6\vec i$$ et $$-6\vec i$$.

Explication

Une période de longueur 6 permet de reproduire le tracé par translations horizontales de vecteurs 6i⃗6\vec i et −6i⃗-6\vec i. Les translations verticales changent l’ordonnée, tandis qu’une demi-période ou une dilatation ne correspond pas à la règle de prolongement.

38. Une famille de courbes dépend d’un paramètre mm. Quelle propriété permet d’affirmer que M0(x0;y0)M_0(x_0;y_0) est un point fixe de cette famille ?

Deux courbes de la famille se coupent en M0M_0.
Toutes les courbes de la famille passent par M0M_0.
Une seule courbe de la famille passe par M0M_0.
Toutes les courbes de la famille ont la même pente en M0M_0.

Toutes les courbes de la famille passent par $$M_0$$.

Explication

Un point est fixe lorsque toutes les courbes de la famille passent par ce même point. L’appartenance à une seule courbe ou l’intersection de deux courbes ne garantit pas cette propriété, et la condition porte sur le passage par le point, non sur les pentes.

39. Pour trouver les intersections de la courbe de f(x)=x2−5x+6f(x)=x^2-5x+6 avec l’axe des abscisses, quelle équation faut-il résoudre ?

x=0x=0, puis calcule f(0)f(0).
2x−5=02x-5=0.
x2−5x+6=1x^2-5x+6=1.
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0.

$$x^2-5x+6=0$$.

Explication

Sur l’axe des abscisses, l’ordonnée vaut zéro : les intersections vérifient donc f(x)=0f(x)=0, ici x2−5x+6=0x^2-5x+6=0. Poser x=0x=0 sert à trouver l’intersection avec l’axe des ordonnées, et résoudre f′(x)=0f'(x)=0 cherche des points stationnaires.

40. Pour déterminer l’intersection de la courbe de f(x)=2x2−3x+4f(x)=2x^2-3x+4 avec l’axe des ordonnées, quelle démarche faut-il appliquer ?

Poser x=0x=0 et calculer f(0)=4f(0)=4, ce qui donne le point (0;4)(0;4).
Résoudre 2x2−3x+4=02x^2-3x+4=0 pour obtenir les abscisses des intersections.
Calculer f(1)=3f(1)=3 pour obtenir le point (0;3)(0;3).
Résoudre 4x−3=04x-3=0 pour déterminer l’ordonnée à l’origine.

Poser $$x=0$$ et calculer $$f(0)=4$$, ce qui donne le point $$(0;4)$$.

Explication

L’axe des ordonnées est défini par x=0x=0 : on calcule donc f(0)=4f(0)=4, et le point d’intersection est (0;4)(0;4). Résoudre f(x)=0f(x)=0 concerne l’axe des abscisses, tandis que la dérivée ou la valeur en 1 ne donne pas l’ordonnée à l’origine.

41. Une courbe représentative de ff contient le point (3;−2)(3; -2). Quel point correspondant appartient à la courbe de g(x)=−f(x)g(x)=-f(x) ?

(3;−2)(3; -2)
(3;2)(3; 2)
(−3;−2)(-3; -2)
(−3;2)(-3; 2)

$$(3; 2)$$

Explication

Remplacer f(x)f(x) par −f(x)-f(x) conserve l’abscisse et change le signe de l’ordonnée : le point devient (3;2)(3;2). Le point (−3;−2)(-3;-2) correspond à une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées, et (−3;2)(-3;2) à une symétrie par rapport à l’origine.

42. La courbe de ff passe par (4;−1)(4; -1). Quel point appartient à la courbe de g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x), obtenue par symétrie de celle de ff par rapport à l’origine ?

(4;1)(4; 1)
(−4;−1)(-4; -1)
(4;−1)(4; -1)
(−4;1)(-4; 1)

$$(-4; 1)$$

Explication

La symétrie par rapport à l’origine transforme chaque point (x;y)(x;y) en (−x;−y)(-x;-y), donc (4;−1)(4;-1) devient (−4;1)(-4;1). Le point (4;1)(4;1) ne change que l’ordonnée, tandis que (−4;−1)(-4;-1) ne change que l’abscisse.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 77 flashcards sur Fonctions numériques et limites.

Qu’est-ce qu’une fonction numérique de variable réelle ?

Une fonction de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℝ.

Que représente l’ensemble de définition DfD_f d’une fonction ff ?

L’ensemble des réels xx pour lesquels f(x)f(x) existe.

À quelle condition une fonction rationnelle p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)} existe-t-elle ?

Lorsque q(x)≠0q(x)\ne 0.

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